謝宗翰的隨筆

考慮以下問題 令 $A$ 為 任意 $n \times n$ 矩陣，試問下列陳述是否正確
Claim: $ A^2 = I  $則 $A = I$?

讀者可能注意到 $A^2 = AA = I$ 表示我們有
\[
A= A^{-1}
\]故上述陳述看來頗為誘人讓人想回答 True 但事實上此陳述為錯誤陳述，因為若我們考慮
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
1&0
\end{array}} \right]\]則
\[
A^2 = I_{2 \times 2}
\]但 $A \neq I_{2 \times 2}$

令 $V$ 為有限維度向量空間配備基底 $S=\{{\bf s}_1,{\bf s}_2,...,{\bf s}_n\}$ 且 $L: V \to V$ 為線性算子，則必存在唯一 的 一個 對應於基底 $S$ 的 $n \times n$ 矩陣代表 $A$  來 表示 $L$ (我們稱此矩陣代表 $A$ 為  representation of $L$ with respect to $S$) 使得 對任意 ${\bf x} \in V$ 我們有
\[
[L({\bf x})]_S = A [{\bf x}]_S \;\;\;\;\; (\star)
\]其中 $[{\bf x}]_S$ 表示 ${\bf x}$基於 基底 $S$ 的座標向量 (coordinate vector)，亦即 若\[{[{\bf{x}}]_S} = \left[ \begin{array}{l}
{a_1}\\
{a_2}\\
 \vdots \\
{a_n}
\end{array} \right] \Leftrightarrow {\bf{x}} = {a_1}{{\bf{s}}_1} + {a_2}{{\bf{s}}_2} + ... + {a_n}{{\bf{s}}_n}\]

現在我們回憶原本 定義在 線性算子 $L$ 之上的特徵問題：亦即我們要 找出一組 特徵值 $\lambda$ 與其對應的 特徵向量 ${\bf x} \neq {\bf 0}$ 且 ${\bf x} \in V$ 滿足
\[
L({\bf x}) = \lambda {\bf x}\;\;\;\;\; (*)
\]
觀察 $(\star)$ 式，我們可得到透過 $A$ 矩陣所描述的等價特徵問題如下
\[\begin{array}{l}
{[L({\bf{x}})]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\
 \Rightarrow {[\lambda {\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;\\
 \Rightarrow \lambda {[{\bf{x}}]_S} = A{[{\bf{x}}]_S}\;
\end{array}
\]則我們的目標變成要找 一組 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \mathbb{C}$) 與 $[{\bf x}…

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Definition: Linear Operator
令 $V$ 為 $n$ 維 向量空間 且 $L: V \to V$ 為線性轉換 (Linear transformation)：亦即給定任意兩向量 ${\bf u,v} \in V$ 與 $c \in \mathbb{R}$ (or $c \in \mathbb{C}$)滿足
\[\begin{array}{l}
L\left( {{\bf{u}} + {\bf{v}}} \right) = L\left( {\bf{u}} \right) + L\left( {\bf{v}} \right)\\
L\left( {c{\bf{u}}} \right) = cL\left( {\bf{u}} \right)
\end{array}\]則我們稱該 $L:V \to V$ 為定義在 $V$ 上的線性算子 (Linear Operator)
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那麼我們現在想問一個基本問題：是否可以找到 一組非零向量 ${\bf v} \neq {\bf 0}$ 與 純量 $\lambda \in \mathbb{R}$ (or $\in \mathbb{C}$) 使得
\[
L({\bf v}) = \lambda{\bf v}
\]
此問題在工程領域有諸多應用，一般而言上述問題又稱為特徵值問題。

Comments:
1. 上述討論中所提及的 Linear Operator 僅僅表示 domain 與 codomain 都為同一個向量空間 $V$，其餘皆與線性轉換定義相同。也就是說若我們將 domain $V$ 與 codomain $W$ 設為不同的向量空間，且若 $L: V \to W$ 滿足
\[\begin{array}{l}
L\left( {{\bf{u}} + {\bf{v}}} \right) = L\left( {\bf{u}} \right) + L\left( {\bf{v}} \right)\\
L\left( {c{\bf{u}}} \right) = cL\left( {\bf{u}} \right)
\end{array}\]則我們稱 $L$ 為線性轉換 (Linear Transformation)。

2. 若 ${…