謝宗翰的隨筆

MATLAB 中所提供的 symbolic toolbox 是非常強大的符號運算工具，其中的 ezplot 幫助我們能對未定符號進行快速畫圖，現在假定我們非常滿意圖形的結果，並且想試圖擷取 ezplot中的 x軸與 y軸的 圖形資料該怎麼辦？

以下我們用一個例子說明如何擷取圖形資料:

syms x %使用 symbolic toolbox 定義變數 $x$ 

f = ezplot( x^2, [-1,1] ); %使用 ezplot 繪製 $x^2$ 且限定 區間 $[-1,1]$
f_xaxis = get(f,'xdata'); %從 ezplot 提取 圖形 $x$ 軸資料 f_yaxis = get(f,  'ydata'); %從 ezplot 提取 圖形 $y$ 軸資料
那麼上述中的 f_xaxis 即為我們原函數在ezplot 的x軸資料， f_yaxis 為我們原函數在ezplot 的y軸資料。一旦擷取完畢，要做剩餘的運算會變得相當容易，比如說要找ezplot 圖中的最大值，我們可以直接針對剛剛截取到的 y軸資料使用

max(f_yaxis)

NOTE:
由於我們是從 ezplot 的 x軸與 y軸資料來擷取最大值，故此法不保證取得的結果為 "真正" 的極值。僅是一種簡便的方法。如果讀者目的在於要找極值，則建議使用 fmincon 或者 fminunc 等函數會更為精準。

我們知道線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ 的解僅有三種可能

無解有解，且有無窮多解有解，且僅有唯一解

也就是說 $A {\bf x} = {\bf b}$ 不可能僅有兩解，故現在我們考慮以下問題：

令 ${\bf x}_1$ 與 ${\bf x}_2$ 恰好為線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ 之兩解，則由前所述可知線性系統不可能只有這兩個解，故此系統必定是有無窮多解，現在我們想問是否能找出其餘的解：


由於 ${\bf x}_1$ 與 ${\bf x}_2$ 恰好為線性系統 $A {\bf x} = {\bf b}$ 之兩解，故我們有 $A {\bf x}_1 = {\bf b}$ 與 $A {\bf x}_2 = {\bf b}$。我們考慮新的可能解為前兩者之線性組合
\[
{\bf y} := c {\bf x}_1 + d {\bf x}_2
\]其中 $c,d$ 為待定係數。現在我們企圖檢驗什麼情況之下，可以使 $\bf y$ 成為我們的線性系統的解。亦即我們希望找出 $c,d$ 使得 $A {\bf y} = {\bf b}$

故我們觀察左式可知
\[\begin{array}{l}
A{\bf{y}} = A\left( {c{{\bf{x}}_1} + d{{\bf{x}}_2}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = A\left( {c{{\bf{x}}_1}} \right) + A\left( {d{{\bf{x}}_2}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = c\underbrace {A{{\bf{x}}_1}}_{ = {\bf{b}}} + d\underbrace {A{{\bf{x}}_2}}_{ = {\bf{b}}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = c{\bf{b}} + d{\bf{b}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} = \left( {c + d} \right){\bf{b}}
\end{arra…

假設進行一次隨機試驗，若其結果可以僅分為 "成功" 或者 "失敗"兩類，現在我們令隨機變數 $X=1$ 時表示成功，$X=0$ 表示失敗，則 $X$ 對應的機率質量函數 (Probability mass function, pmf) 可以表示為
\[
P(X=1) = p;\;\;\; P(X=0)=1-p
\]其中 $p$ 表為實驗成功的機率且滿足 $0 \le p \le 1$。

===============
Definition: Bernoulli Random Variable
我們說隨機變數 $X$ 為 白努力 (Bernoulli) 隨機變數 若下列條件成立：
存在 $p\in(0,1)$ 使得 $X$ 的機率質量函數滿足
\[
P(X=1) = p;\;\;\; P(X=0)=1-p
\]===============



透過上述的 Bernoulli 隨機變數，我們考慮其進一步推廣：
假設進行 $n$ 次獨立隨機試驗，且每次試驗仍僅有 "成功" 或者 "失敗"兩類，且成功的機率均為 $p$ 失敗的機率均為 $1-p$。現在我們定義隨機變數 $X$ 為 $n$ 次實驗中成功的次數，則稱 $X$ 為參數 (n,p) 的二項 (Binomial)隨機變數且其對應的機率質量函數滿足 對任意 $i=0,1,2,...,n$，
\[
p(X=k): = \left( \begin{array}{l}
n\\
k\end{array} \right){p^k}{\left( {1 - p} \right)^{n - k}} \;\;\;\; (*)
\]

Comments:
1. 注意到 Bernoulli 隨機變數為參數 $(1,p)$ 的 Binomial 隨機變數。
2. Binomial 隨機變數 $X$ 亦稱做 $X$ 服從 Binomial 分佈，且分佈由上述 $(*)$ 所描述。


以下我們驗證為何 Binomial 隨機變數的滿足機率質量函數的要求 亦即我們證明
1. 對任意 $i=0,1,2,..,n$, $P(X=k) \ge 0$
2. $\sum_{k=0}^n P(X=k) = 1$

Proof:
條件 1 不難驗證，讀者可直接觀察 $(*)$而得。
條件 2…

首先給出 Binomial Theorem 的陳述

Theorem: 
令 $a,b \in \mathbb{R}$ 且 $n \in \mathbb{N}$ 則
\[{(a + b)^n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \left( \begin{array}{l}
n\\
k
\end{array} \right){a^k}{b^{n - k}}\]


在證明 Binomial Theorem之前，我們會需要以下結果來幫助我們，

FACT: 給定 $n,k \in \mathbb{N}$ 且 $n \ge k$，則
\[\left( \begin{array}{l}
n + 1\\
k
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}
n\\
k
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
n\\
k - 1

\end{array} \right)\]
Proof: 觀察左式，由定義可知
\[\left( \begin{array}{l}
n + 1\\
k
\end{array} \right): = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{k!\left( {n + 1 - k} \right)!}}\]
故如果我們可以證明右式等同於左式，則證明完畢。現在觀察右式
\[\begin{array}{l}
\left( \begin{array}{l}
n\\
k
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
n\\
k - 1
\end{array} \right) = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + \frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - \left( {k - 1} \right)} \right)!}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{n!\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!\left( {n - k + …

給定 $X$ 為任意隨機變數，期望值 $E[X]$ 的定義為
\[
E[X] := E[X^+] - E[X^-]
\]其中 $X^+ := \max\{X,0\} \ge 0$ 且 $ X^- := -\min\{X,0\} \ge 0$。

當我們說 $E[X]$ 為 定義良好 (well-defined) 若 $E[X^+],E[X^-] <\infty$ 或者只有其中一項為無窮，亦即要不 $E[X^+]=\infty$ 就是 $E[X^-] =\infty$。但不可以兩者都為無窮


Comments:
1. 讀者可驗證 $X = X^+ - X^-$ 且 $|X| = X^+ + X^-$ 恆成立。
2. 上述 $E[X] = E[X^+] - E[X^-]$ 的定義在於避免 $\infty - \infty$ 發生
3. 上述 $E[X]= E[X^+] - E[X^-]$ 的定義允許 $E[X]=\infty$ 或者 $E[X]=-\infty$
4. 給定 $X$ 為在機率空間 $(\Omega, \mathcal{F},P)$上的隨機變數， 則上述 $E[X]$ 定義一般亦寫作 $$E[X] = \int_\Omega X(\omega) P(d\omega)$$


現在我們考慮以下幾組問題
Question 1: 
$E[X]$ 為 well-defined 則 $E[X] < \infty$
Answer: False
Proof: 因為 $E[X]$ 可以取值到無窮大，此結果違反 $E[X]<\infty$ $\square$


Question 2:
$-\infty < E[X] < \infty$ 則 $E[X]$ 為 well-defined
Answer: True
Proof: 因為若 $ -\infty < E[X]< \infty$ 則表示
\[
0 \le E[X^+] <\infty
\] 與
\[
0 \le E[X^-] < \infty
\] 故 $E[X]=E[X^+] - E[X^-]$ well-defined $\square$


Question 3: 
若 $0 \le E[|X|] <\infty$ 則 $E[X] < \infty$
Answer: True
Proo…