給定 X 為任意隨機變數,期望值 E[X] 的定義為
E[X]:=E[X+]−E[X−]其中 X+:=max{X,0}≥0 且 X−:=−min{X,0}≥0。
當我們說 E[X] 為 定義良好 (well-defined) 若 E[X+],E[X−]<∞ 或者只有其中一項為無窮,亦即要不 E[X+]=∞ 就是 E[X−]=∞。但不可以兩者都為無窮
Comments:
1. 讀者可驗證 X=X+−X− 且 |X|=X++X− 恆成立。
2. 上述 E[X]=E[X+]−E[X−] 的定義在於避免 ∞−∞ 發生
3. 上述 E[X]=E[X+]−E[X−] 的定義允許 E[X]=∞ 或者 E[X]=−∞
4. 給定 X 為在機率空間 (Ω,F,P)上的隨機變數, 則上述 E[X] 定義一般亦寫作 E[X]=∫ΩX(ω)P(dω)
現在我們考慮以下幾組問題
Question 1:
E[X] 為 well-defined 則 E[X]<∞
Answer: False
Proof: 因為 E[X] 可以取值到無窮大,此結果違反 E[X]<∞ ◻
Question 2:
−∞<E[X]<∞ 則 E[X] 為 well-defined
Answer: True
Proof: 因為若 −∞<E[X]<∞ 則表示
0≤E[X+]<∞ 與
0≤E[X−]<∞ 故 E[X]=E[X+]−E[X−] well-defined ◻
Question 3:
若 0≤E[|X|]<∞ 則 E[X]<∞
Answer: True
Proof: 注意到 E[|X|]=E[X+]+E[X−] 且又因為 0≤E[|X|]<∞ 故我們有
0≤E[X+]+E[X−]<∞亦即 E[X+] 與 E[X−] 皆有界,故 E[X]<∞ 且由 Question 1,我們可知 E[X] well-defined ◻
Question 4:
若 E[X]<∞ 則 E[|X|]<∞
Answer: False
Proof: 考慮 X=−2k 且 對應機率為 P(X=−2k)=12k+1 對 k=0,1,2,...則 E[X]=−∞<∞ 滿足前件假設,但
E[|X|]=∞◻
Question 5:
若 −∞<E[X]<∞ 則 E[|X|]<∞
Answer: True
Proof: 由於 −∞<E[X]:=E[X+]−E[X−]<∞此暗示 0≤E[X+]<∞ 與 0≤E[X−]<∞ ,故 E[|X|]=E[X+]+E[X−] 必為有界且 E[|X|]<∞ ◻
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya
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