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1/11/2016

[機率論] 期望值 E[X]E[|X|] 的定義良好 與 有界問題

給定 X 為任意隨機變數,期望值 E[X] 的定義為
E[X]:=E[X+]E[X]其中 X+:=max{X,0}0X:=min{X,0}0

當我們說 E[X] 為 定義良好 (well-defined) 若 E[X+],E[X]< 或者只有其中一項為無窮,亦即要不 E[X+]= 就是 E[X]=。但不可以兩者都為無窮


Comments:
1. 讀者可驗證 X=X+X|X|=X++X 恆成立。
2. 上述 E[X]=E[X+]E[X] 的定義在於避免 發生
3. 上述 E[X]=E[X+]E[X] 的定義允許 E[X]= 或者 E[X]=
4. 給定 X 為在機率空間 (Ω,F,P)上的隨機變數, 則上述 E[X] 定義一般亦寫作 E[X]=ΩX(ω)P(dω)


現在我們考慮以下幾組問題
Question 1: 
E[X] 為 well-defined 則 E[X]<
Answer: False
Proof: 因為 E[X] 可以取值到無窮大,此結果違反 E[X]<


Question 2:
<E[X]<E[X] 為 well-defined
Answer: True
Proof: 因為若 <E[X]< 則表示
0E[X+]<
0E[X]<E[X]=E[X+]E[X] well-defined


Question 3: 
0E[|X|]<E[X]<
Answer: True
Proof: 注意到 E[|X|]=E[X+]+E[X] 且又因為 0E[|X|]< 故我們有
0E[X+]+E[X]<亦即 E[X+]E[X] 皆有界,故 E[X]< 且由 Question 1,我們可知 E[X] well-defined


Question 4: 
E[X]<E[|X|]<
Answer: False
Proof: 考慮 X=2k 且 對應機率為 P(X=2k)=12k+1k=0,1,2,...E[X]=< 滿足前件假設,但
E[|X|]=

Question 5: 
<E[X]<E[|X|]<
Answer: True
Proof: 由於 <E[X]:=E[X+]E[X]<此暗示 0E[X+]<0E[X]< ,故 E[|X|]=E[X+]+E[X] 必為有界且 E[|X|]<

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