[機率論] 期望值 $E[X]$ 與 $E[|X|]$ 的定義良好 與 有界問題

給定 $X$ 為任意隨機變數，期望值 $E[X]$ 的定義為
\[
E[X] := E[X^+] - E[X^-]
\]其中 $X^+ := \max\{X,0\} \ge 0$ 且 $ X^- := -\min\{X,0\} \ge 0$。

當我們說 $E[X]$ 為 定義良好 (well-defined) 若 $E[X^+],E[X^-] <\infty$ 或者只有其中一項為無窮，亦即要不 $E[X^+]=\infty$ 就是 $E[X^-] =\infty$。但不可以兩者都為無窮


Comments:
1. 讀者可驗證 $X = X^+ - X^-$ 且 $|X| = X^+ + X^-$ 恆成立。
2. 上述 $E[X] = E[X^+] - E[X^-]$ 的定義在於避免 $\infty - \infty$ 發生
3. 上述 $E[X]= E[X^+] - E[X^-]$ 的定義允許 $E[X]=\infty$ 或者 $E[X]=-\infty$
4. 給定 $X$ 為在機率空間 $(\Omega, \mathcal{F},P)$上的隨機變數， 則上述 $E[X]$ 定義一般亦寫作 $$E[X] = \int_\Omega X(\omega) P(d\omega)$$


現在我們考慮以下幾組問題
Question 1: 
$E[X]$ 為 well-defined 則 $E[X] < \infty$
Answer: False
Proof: 因為 $E[X]$ 可以取值到無窮大，此結果違反 $E[X]<\infty$ $\square$


Question 2:
$-\infty < E[X] < \infty$ 則 $E[X]$ 為 well-defined
Answer: True
Proof: 因為若 $ -\infty < E[X]< \infty$ 則表示
\[
0 \le E[X^+] <\infty
\] 與
\[
0 \le E[X^-] < \infty
\] 故 $E[X]=E[X^+] - E[X^-]$ well-defined $\square$


Question 3: 
若 $0 \le E[|X|] <\infty$ 則 $E[X] < \infty$
Answer: True
Proof: 注意到 $E[|X|]= E[X^+] + E[X^-]$ 且又因為 $0 \le E[|X|] <\infty$ 故我們有
\[
0 \le E[X^+] + E[X^-] < \infty
\]亦即 $E[X^+]$ 與 $E[X^-]$ 皆有界，故 $E[X] < \infty$ 且由 Question 1，我們可知 $E[X]$ well-defined $\square$


Question 4: 
若 $E[X] <\infty$ 則 $E[|X|] < \infty$
Answer: False
Proof: 考慮 $X = -2^k$ 且 對應機率為 $P(X = -2^k) = \frac{1}{2^{k+1}}$ 對 $k=0,1,2,...$則 $E[X] = -\infty < \infty$ 滿足前件假設，但
\[
E[|X|]=\infty \;\;\;\;\; \square
\]

Question 5: 
若 $-\infty<E[X]<\infty$ 則 $E[|X|] <\infty$
Answer: True
Proof: 由於 \[
-\infty< E[X] := E[X^+] - E[X^-] <\infty
\]此暗示 $0 \le E[X^+] <\infty $ 與 $0\le E[X^-] < \infty$ ，故 $E[|X|]=E[X^+] + E[X^-] $ 必為有界且 $E[|X|]<\infty$ $\square$