這次要介紹最簡單形式的 泛函極值問題的 必要條件，此條件一般又稱之為 Euler-Largrange Eqution。此方程可謂泛函極值的房角石，亦為之後在最佳控制理論中的最大值原理扮演開路先鋒，是極為重要的角色。在介紹之前，我們先做一般性的用語與基本性質介紹。
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Definition: 泛函
令 $\Omega$ 為 賦範函數空間 (normed function space)，若 對任意函數 $x(t) \in \Omega$ 都存在一個實數與之對應，則我們稱 $J$ 是定義在 $\Omega$ 上的
泛函 (functional)，記作 $J(x(t))$
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Comment:
1. 簡而言之，泛函 一詞即表示為由 函數空間 映射到 實數軸 上的函數 $J: \Omega \to \mathbb{R}$ 。
2. 再以下的討論中，集合 $\Omega$ 又稱為 泛函 $J$ 的
容許集 (admissible set)。
現取 $x_1, x \in \Omega$ 且 $\delta x := x_1 - x$ ，我們定義 關於 $\delta x$ 的 泛函增量 (increment) 如下
\[
\Delta J(\delta x) := J(x_1) - J(x) = J( x + \delta x) - J(x)
\]則由此 泛函增量，我們可以定義何謂泛函的變分。
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Definition: 泛函的變分
給定泛函 $J : \Omega \to \mathbb{R}$，若存在 一線性泛函 $L(x, \delta x)$ 使得泛函增量可被表為
\[
\Delta J(\delta x) = L(x, \delta x) + r(x, \delta x) \cdot | |\delta x||
\]其中 $r(x, \delta x)$ 為
其他高階剩餘項(remainder) 滿足 當 $| |\delta x|| \to 0 \Rightarrow r(x, \delta x) \to 0$，則我們稱上式中的 $L(x, \delta x)$ 為 $J(x)$ 的
變分 (variation)，記作 $\delta J := L(x, \delta x)$
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Comment:
1. 上述定義中的 線性泛函項 $L$ 與 其他高階剩餘項 $r$，可視為透過 Taylor 級數展開而得。
2. 變分 (variation) 一詞在文獻中又稱 differential
3. 若泛函變分存在，則該 變分 為唯一，在此不證明，有興趣讀者可參閱 [1]。
4. 關於線性泛函及其相關定義請讀者可參閱
[變分法] 淺論 線性泛函
5. 有些文獻定義的泛函是透過所謂 Gateaux differentials 與 Freshet differential，但為求論述簡潔，在此不多作介紹，有興趣的讀者可以參閱 [2]
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Theorem: 泛函極值與變分關係
給定泛函 $J : \Omega \to \mathbb{R}$，若其變分存在，則 其變分可表為參數 $\alpha$ 的方向導數，亦即 變分滿足下式
\[\delta J(x(t)) = {\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J(x(t) + \alpha \delta x(t))} \right|_{\alpha = 0}}\]======================
Proof: 給定泛函 $J : \Omega \to \mathbb{R}$ 且假設其變分存在，我們要證明
\[\delta J(x(t)) = {\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J(x(t) + \alpha \delta x(t))} \right|_{\alpha = 0}}
\]首先由 $\delta J$ 存在可知：存在一線性泛函 $L$ 始得 泛函增量 $\Delta J$滿足
\[\begin{align*}
\Delta J &= J\left( {x + \alpha \delta x} \right) - J\left( x \right) \hfill \\
&= L(x,\alpha \delta x) + r(x,\alpha \delta x) \cdot || \alpha \delta x || \hfill \\
\end{align*}
\]由於 $L$ 為線性泛函，故 $L(x,\alpha \delta x) = \alpha L(x,\delta x)$，現在觀察
\[\begin{align*}
{\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J(x(t) + \alpha \delta x(t))} \right|_{\alpha = 0}} &= \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{J(x + \alpha \delta x) - J\left( x \right)}}{\alpha }\\
&= \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{L(x,\alpha \delta x) + r(x,\alpha \delta x)||\alpha \delta x||}}{\alpha } \hfill \\
&= \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{L(x,\alpha \delta x)}}{\alpha } + \underbrace {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{r(x,\alpha \delta x) ||\alpha \delta x||}}{\alpha }}_{ = 0} \hfill \\
&= \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to 0} \frac{{\alpha L(x,\delta x)}}{\alpha } \hfill \\
&= L(x,\delta x) = \delta J(x) \;\;\;\;\; \square
\end{align*}
\]
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Theorem:
令 $J$ 為泛函且其變分存在，若 $J(x)$ 在 $x_0 \in \Omega$ 有(局部)極值，則其在 $x_0$ 之變分
\[
\delta J(x_0) =0
\] ======================
Comment: 上述定理中的 $x_0$ 又稱為 泛函 $J$ 的臨界點(critical point) 或者稱 不動點 (stationary point)。
Proof: 由於變分存在，我們可將變分用 以單變數參數 $\alpha$ 的方向導數表示
\[{\left. {\delta J\left( x \right) = \frac{\partial }{{\partial \alpha }}J(x + \alpha \delta x)} \right|_{\alpha = 0}}\]由於 $J(x)$ 在 $x_0 \in \Omega$ 有局部極值，故我們可知 $\alpha =0$ 為$J(x_0 + \alpha \delta x)$ 的局部極值 (以極小值為例，可知對任意 $\alpha \in \mathbb{R}$， $J(x_0) \leq J(x_0 + \alpha \delta x)$，且極小值發生在 $\alpha = 0$)，故
\[{\left. {\delta J\left( {{x_0}} \right) = \frac{\partial }{{\partial \alpha }}J({x_0} + \alpha \delta x)} \right|_{\alpha = 0}} = 0\;\;\;\; \square
\]
在討論一般設定之後，以下我們開始針對特殊形式的泛函來建構必要條件：考慮泛函
\[
J(x(t)) := \int_{t_0}^{t_1} F(t,x,\dot{x}) dt; \;\;\; x(t_0) :=x_0; \;\;\; x(t_1) \doteq x_1
\]且令其 admissible set 為
\[
\Omega := \{x(t) : x(t) \in C^2[t_0, t_1], \; x(t_0) = x_0, x(t_1) = x_1\}
\]且 $F(t, x, \dot{x})$ 為 $C^2$ (二階可導且連續)，我們欲求上述泛函極值的必要條件，此結果極為鼎鼎大名的 Euler-Largrange 方程，但在我們證明主要定理之前，底下我們先給個前置定理，此定理又稱為變分基本定理。
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Lemma: 變分基本引理
設函數 $F(t)$ 在區間 $[t_0, t_1]$ 上連續，若對於任意滿足 $\eta(t_0) = \eta(t_1) =0$ 的充分光滑函數 $\eta(t)$ 我們都有
\[
\int_{t_0}^{t_1} F(t) \eta(t) dt =0
\]則 $F(t) = 0$ 對 $t \in [t_0,t_1]$
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Proof: 利用反證法，假設 存在 $\xi \in (t_0,t_1)$ 使得 $F(\xi) \neq 0$，欲證明矛盾。不失一般性情況下我們假設 $F(\xi) >0$ 則由於 $F$的連續性，可知必存在 以 $\xi$ 為中心的鄰域 $N_\xi :=(\xi_1,\xi_2) \subset (t_0, t_1)$ 使得 對任意 $t \in N_\xi$，我們有 $F(t) > 0$。現在我們構造 $\eta(t)$ 函數如下
\[\eta \left( t \right): = \left\{ \begin{gathered}
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}t \in \left[ {{t_0},{\xi _1}} \right) \hfill \\
{\left[ {\left( {t - {\xi _1}} \right)\left( {t - {\xi _2}} \right)} \right]^2},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t \in \left[ {{\xi _1},{\xi _2}} \right] \hfill \\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array}t \in \left( {{\xi _2},{t_1}} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.\]且注意到上述 $\eta(t)$ 函數滿足 $\eta(t_0) = \eta(t_1) = 0$ 且為連續函數，然而若我們觀察
\[
\int_{t_0}^{t_1} F(t) \eta(t) dt = \int_{\xi_1}^{\xi_2} F(t) \eta(t) dt > 0
\]此結果與我們的假設矛盾。$\square$
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Theorem: 泛函極值的必要條件 Euler-Lagrange Equation
設函數 $F(t, x, \dot{x})$ 具有連續二階偏導數，且設泛函\[
J(x(t)) := \int_{t_0}^{t_1} F(t,x,\dot{x}) dt; \;\;\; x(t_0) :=x_0; \;\;\; x(t_1) \doteq x_1
\]在 $x(t) \in \Omega$ 達到極值，則 $x(t)$ 滿足下列方程
\[\frac{\partial }{{\partial x}}F\left( {t,x,\dot x} \right) - \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{\partial }{{\partial \dot x}}F\left( {t,x,\dot x} \right)} \right) = 0\]
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Proof: 首先令 $\phi(t) := \delta x(t)$，則由於 $x(t_0)=x_0$與 $x(t_1) = x_1$ 可知，$\phi(t)$ 滿足 $\phi(t_0) = \phi(t_1)=0$，現在由泛函極值與變分的關係可知下式必定成立：
\[\delta J\left( {x\left( t \right)} \right) = \left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J\left( {x\left( t \right) + \alpha \phi \left( t \right)} \right)} \right|_{\alpha = 0} = 0 \;\;\;(\star)
\]現在觀察
\[
J\left( {x\left( t \right) + \alpha \phi \left( t \right)} \right) = \int_{{t_0}}^{{t_1}} F (t,x + \alpha \phi ,\dot x + \alpha \dot \phi )dt
\]故我們可先行計算
\[{\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J\left( {x\left( t \right) + \alpha \phi \left( t \right)} \right)} \right|_{\alpha = 0}} = {\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}\int_{{t_0}}^{{t_1}} F (t,x + \alpha \phi ,\dot x + \alpha \dot \phi )dt} \right|_{\alpha = 0}}
\]由 Libneiz Rule 可得
\[\begin{align*}
{\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J\left( {x\left( t \right) + \alpha \phi \left( t \right)} \right)} \right|_{\alpha = 0}} &= {\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}\int_{{t_0}}^{{t_1}} F (t,x + \alpha \phi ,\dot x + \alpha \dot \phi )dt} \right|_{\alpha = 0}} \hfill \\
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}F} (t,x + \alpha \phi ,\dot x + \alpha \dot \phi )dt} \right|_{\alpha = 0}} \hfill \\
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}\phi + \frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\dot \phi } \right]} dt} \right|_{\alpha = 0}}\;\;\;\; (*)
\end{align*}
\]注意到上述積分第二項可透過 integration by part 求得
\[\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\dot \phi dt} = \left. {\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\phi } \right|_{{t_0}}^{{t_1}} - \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\phi \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} dt\]由於 $\phi(t_0) = \phi(t_1) = 0$，故我們得
\[\begin{gathered}
\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\dot \phi dt} = \underbrace {\left. {\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\phi } \right|_{{t_0}}^{{t_1}}}_{ = 0} - \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\phi \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} dt \hfill \\
\Rightarrow \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\dot \phi dt} = - \int_{{t_0}}^{{t_1}} {\phi \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} dt \hfill \\
\end{gathered}
\]現在將其帶回 $(*)$ 我們得到
\[\begin{align*}
{\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J\left( {x\left( t \right) + \alpha \phi \left( t \right)} \right)} \right|_{\alpha = 0}}
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}\phi - \phi \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} \right]} dt} \right|_{\alpha = 0}} \hfill \\
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\frac{{\partial F}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} \right]} \phi dt} \right|_{\alpha = 0}} \hfill \\
\end{align*}
\]由於 $(\star)$ 可知，
\[\begin{align*}
{\left. {\frac{\partial }{{\partial \alpha }}J\left( {x\left( t \right) + \alpha \phi \left( t \right)} \right)} \right|_{\alpha = 0}}
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}\phi + \frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}\dot \phi } \right]} dt} \right|_{\alpha = 0}} \hfill \\
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\frac{{\partial F}}{{\partial x}}\phi - \phi \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} \right]} dt} \right|_{\alpha = 0}} \hfill \\
&= {\left. {\int_{{t_0}}^{{t_1}} {\left[ {\frac{{\partial F}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} \right]} \phi dt} \right|_{\alpha = 0}} = 0 \hfill \\
\end{align*}
\]由於 ${\frac{{\partial F}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}}$ 在區間 $[t_0,t_1]$ 連續，且 $\phi$ 滿足 $\phi(t_0) = \phi(t_1) =0$ 且 $\phi \in C^2$，利用前述引理可知在 $[t_0,t_1]$ 上，
\[{\frac{{\partial F}}{{\partial x}} - \frac{d}{{dt}}\frac{{\partial F}}{{\partial \dot x}}} = 0\;\;\;\; \square\]
[1] I. M. Gelfand and S. V. Fomin, Calculus of Variations, 2000
[2] David G. Luenberger, Optimization By Vector Space Methods, 1997
