此文主要討論離散泛函的極值與其必要條件,也就是所謂的離散版本的 Euler-Lagrange Equation ,推薦讀者可先複習先前介紹過的 連續泛函 的極值與必要條件的相關知識,整體推導而言可謂非常類似。 考慮離散泛函 \[\left\{ \begin{align*} &J\left( x \right): = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {F\left( {x\left( k \right),x\left( {k + 1} \right),k} \right)} ; \hfill \\ &x\left( {{0}} \right) = {x_0};x\left( {{N}} \right) = {x_1} \hfill \\ \end{align*} \right. \]其中 $F(x,y,t), \frac{{\partial F}}{{\partial x}}, \frac{{\partial F}}{{\partial y}}$ 在其定義域上連續函數。我們的目標是求序列 $x(0), x(1),...,x(N)$ 使得上述泛函 $J(x)$ 達到極值。 Comments: 前述設定中的離散狀態 $x(k) := x(t_k)$ 其中 $t_k = kT$ 且 $T$ 為取樣週期 (sampling period) ===================================== Theorem: 離散版本的 Euler-Lagrange Equation 若 $x(1),...,x(N - 1) $ 使得上述泛函 $J(x)$ 達到極值,則對任意 $k=1,2,...,N-1$ \[\frac{{\partial F\left( {x(k),x(k + 1),k} \right)}}{{\partial x\left( k \right)}} + \frac{{\partial F\left( {x(k - 1),x(k),k - 1} \right)}}{{\partial x(k)}} =0\]===================================== Proof: 令 $\delta x(k)$ 為 $x(k)$ 的變分,由於 $x
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya