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[投資組合理論] 投資組合的 期望報酬 與 風險變異

投資組合(Portfolio)的報酬
考慮投資人手邊持有 $n$ 個資產 且每組資產對應的 (隨機)報酬率 為 $r_1,r_2,...,r_n$ 且對於 $i=1,2,...,n$ 我們定義 $r_i$ 的期望報酬 為 $E[r_i] \doteq \bar{r}_i$ ,現在投資人欲使用此 $n$ 個資產來 建構 合適的投資組合如下: 針對每一個資產,投資人將指派對應的 (確定)權重 (weights),亦即 對 $i=1,...,n$ 我們指派 $w_i$ 作為第 $i$ 個資產的權重,且我們要求權重須滿足 Self-finacing 條件,亦即:$$
\sum_{i=1}^n w_i =1
$$則投資人 整體投資組合 的報酬 我們記作 $r$ 可由下式表示
\[
r := w_1 r_1 + w_2 r_2 + \cdots + w_n r_n
\]則我們稱此投資組合為 $n$ 資產投資組合,且 $r$ 稱為 $n$ 資產投資組合的報酬率。那麼由於 $r_i$ 為 隨機,致使 $r$ 亦為隨機,故我們希望可以透過一些統計量幫助我們描述此 隨機的報酬率,一般而言,在投資組合理論裡面最常用的兩個統計量即為 期望值 與 變異數,( 一/二階動差) 來計算 投資組合的 期望報酬 與 風險變異。

Comments:
1. 在一般投資組合理論中,風險(Risk) 一般用 變異數(Variance) 來描述。但讀者應注意到變異數並非唯一的 風險可能描述,在較為進階的投資理論中還會提到其他用來描述 風險 的變量,比如說 絕對最大跌幅 (Absolute Maximum Drawdown),百分比最大跌幅 (Percentage Maximum Drawdown),風險價值 (Value of Risk, VaR) 或者 條件風險價值 (Conditional Value of Risk, CVaR)等等。

2. 有部分投資理論採用 變異數的平方根 (也就是 標準差 Standard Devision) 來定義 風險。為了區別起見,我們不稱其為"變異"


以下定理首先給出期望報酬率的結果

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Theorem 1: 
上述 $n$資產的投資組合的期望報酬為
\[
E\left[ r \ri…

[投資理論] 內部收益率 與 其存在性

首先給出內部收益率 (又稱 內部報酬率) 的定義:

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Definition: Internal Rate of Return (IRR)
給定 現金流 $(x_0,x_1,...,x_n)$ ,則我們稱其對應的 內部收益率(Internal Rate of Return, IRR) 為一實數 $r > -1 $ 滿足
\[0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} +  \cdots  + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}
\]==============================

以下我們看個關於 IRR的例子:假設初始現金流 $x_0$ 支出 1 元做某項投資,並且陸續將三年的報酬記錄如下:
該投資第一年所獲得的現金流報酬 $x_1$ 為 $1$元,該投資第二年所獲得的現金流報酬 $x_2$ 為 $1$元,該投資第三年所獲得的現金流報酬 $x_3$為 $0$元, 則我們可以將上述投資的現金流簡記為 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 下面例子可以讓讀者練習計算 IRR

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Example: 給定現金流 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 試求 內部收益率 $r=?$
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ANS:
由 IRR 定義
\begin{align*}
 & 0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
 &  \Rightarrow 0 =  - 1 + \frac{1}{{1 + r}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{0}{{{{\left…

[MATLAB] 如何使用 Latex 數學符號來標示圖形的 x,y 軸

一般在 MATLAB 使用圖形常會加入 x,y 軸來幫助讀者了解圖形內容,有時候我們想要在 x-label 顯示 數學式子來使其更為簡潔:比如說我想要在 x-軸加入 $\hat{K}$ 則只要在 MATLAB 中使用以下指令即可:

xlabel('$$\hat{K}$$','Interpreter','Latex') 注意到上述指令中, "$$...$$" 符號用來告知 MATLAB 我們要使用 Latex 語法,下圖為執行上述指令 x-label 後,在圖形上顯示的樣子:


更為進階的 latex語法也完全支援:

xlabel('$$\hat{K}, \tilde{x}, \int_\mathcal{X} f_X(x)dx$$','Interpreter','Latex') 上述指令執行後結果如下圖: