首先給出內部收益率 (又稱 內部報酬率) 的定義：
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Definition: Internal Rate of Return (IRR)
給定 現金流 $(x_0,x_1,...,x_n)$ ，則我們稱其對應的 內部收益率(Internal Rate of Return, IRR) 為一實數 $r > -1 $ 滿足
\[0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \cdots + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}
\]==============================
以下我們看個關於 IRR的例子：假設初始現金流 $x_0$ 支出 1 元做某項投資，並且陸續將三年的報酬記錄如下：
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Example: 給定現金流 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 試求 內部收益率 $r=?$
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ANS:
由 IRR 定義
\begin{align*}
& 0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
& \Rightarrow 0 = - 1 + \frac{1}{{1 + r}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{0}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
& \Rightarrow {\left( {1 + r} \right)^2} = r + 2 \hfill \\
& \Rightarrow {r^2} + r - 1 = 0 \hfill \\
\end{align*}故可解得兩根 $r_1 \approx 0.61803$ 或者 $r_2 \approx -1.6180$，但由定義可知我們要求 內部收益率必須滿足 $r>-1$ 故
\[
r = r_1 \approx 0.618\;\;\;\;\; \square
\]
Comments:
1. 內部收益率本質為利率
2. 內部收益率之所以被稱為 "內部" 主因是因為 此 收益率 (利率) 僅僅由現金流所推定。
3.對於上述多項式方程，令
\[
c:=\frac{1}{1+r}
\]則我們可得到更為簡潔的多項式如下
\[
x_0+x_1 c + x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
\]
由於 IRR 要求求解 $n$ 階多項式，我們必須先解決 解的存在性問題：下面的定理將告訴我們何時解存在。
==============================
Main Theorem of Internal Rate of Return:
令現金流 $(x_0, x_1,...,x_n)$ 滿足 $x_0 <0$ 且對於 $k=1,2,...,n$而言， $x_k \geq 0 $ 且至少有一項 $x_j >0$ ，則對於下列方程
\[
0 = x_0+x_1 c + x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
\]存在唯一正實數解 $c_0$
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Proof: 令
$$
f(c) :=x_0+x_1 c+x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
$$ 為一 以 $c$ 為變數的 $n$ 次多項式函數，我們要證明 $f$ 有唯一正實數解。
我們首先證明解的存在性：由於 $f$ 為多項式函數，故立即知道 $f$ 為對 參數 $c$ 連續。另外我們觀察
\[
f(0) = x_0 <0
\] 且由於至少現金流中至少有一項 $x_j >0$，故若對 $f$ 取導數可得
$$
f'(c) = x_1 + 2x_2 c + \cdots + j x_j c^{j-1} +\cdots+nx_n c^{n-1} > 0
$$亦即我們知道 $f(c)$ 為對 $c$ 嚴格遞增，現在利用 連續函數中間值定理(Intermediate Value Theorem) 可知，必存在一解 $c_0$ 使得 $f(c_0) =0$ 。
接著我們證明 $c_0$ 解 為唯一：
利用 $f$ 的遞增性質，可推知此 $c_0$ 為唯一 (因為遞增故不存在 $c_2$ 使得 再次又交會於零，亦即 不存在另外一點 使得 $f(c_2) =0$)。
最後我們證明 $c_0 >0$
回憶因為 $f(0) <0$ 且 $f$ 遞增，故所求之解 $c_0$ 必為正數。 $\square$
Comment:
1. 有時候在求解上述 $n$ 次多項式的時候 可能我們會解出 複數根 (complex roots) 的情況，此時一般而言我們通常選具有最大實部的複數根作為我們的解。
2. 內部收益率是非常有用的工具，撇除上述的理論部分，其計算上其實非常容易，市面上的軟體諸如 Microsoft Excel 或者免費的 Google Sheets 都可以幫助我們快速計算 IRR，以下我們使用前述的 IRR 來給出一個 計算退休的投資計畫的例子：
Example:
考慮某投資人剛找到工作，手邊身無分文，但他預計 30 年後要退休，且這名投資人樂觀的預計這三十年中，他可以省吃儉用每年投資固定 10萬元來儲備其退休金，並且我們假設他 $30$ 年所需要的退休金 為 3000 萬元，則我們有
\[
$(x_1,x_2,x_3, ...., x_{30}, U ) = (-10,-10,-10,...,-10, 3000)$
\] 我們想問如果投資人想建構某投資計畫，則該投資計畫之每年的報酬率要達到多少才可能達成上述的退休計畫呢？
NOTE: 注意到此例並不滿足 IRR 存在且唯一 定理的充分條件。(因為 $x_2...,x_{30} <0$)
但我們仍然能用數值逼近的方式計算 IRR ，以下我們用 Google Sheets 來實現上述的範例，首先建構下表
接著我們利用 函數 $irr(B2:B32)$ (公式我輸入在上表中的 $C32$位置) 即可立刻計算每年所需的投資報酬率，在此例中為 $12.5133\%$。也就是說如果我們採用每年投資 10萬元，三十年後要達到 3000萬退休金的每年投資報酬率必須要有 $12.5133\%$，
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Definition: Internal Rate of Return (IRR)
給定 現金流 $(x_0,x_1,...,x_n)$ ，則我們稱其對應的 內部收益率(Internal Rate of Return, IRR) 為一實數 $r > -1 $ 滿足
\[0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \cdots + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^n}}}
\]==============================
以下我們看個關於 IRR的例子：假設初始現金流 $x_0$ 支出 1 元做某項投資，並且陸續將三年的報酬記錄如下：
- 該投資第一年所獲得的現金流報酬 $x_1$ 為 $1$元，
- 該投資第二年所獲得的現金流報酬 $x_2$ 為 $1$元，
- 該投資第三年所獲得的現金流報酬 $x_3$為 $0$元，
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Example: 給定現金流 $(x_0,x_1,x_2,x_3) = (-1,1,1,0)$ 試求 內部收益率 $r=?$
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ANS:
由 IRR 定義
\begin{align*}
& 0 = {x_0} + \frac{{{x_1}}}{{1 + r}} + \frac{{{x_2}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{{{x_n}}}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
& \Rightarrow 0 = - 1 + \frac{1}{{1 + r}} + \frac{1}{{{{\left( {1 + r} \right)}^2}}} + \frac{0}{{{{\left( {1 + r} \right)}^3}}} \hfill \\
& \Rightarrow {\left( {1 + r} \right)^2} = r + 2 \hfill \\
& \Rightarrow {r^2} + r - 1 = 0 \hfill \\
\end{align*}故可解得兩根 $r_1 \approx 0.61803$ 或者 $r_2 \approx -1.6180$，但由定義可知我們要求 內部收益率必須滿足 $r>-1$ 故
\[
r = r_1 \approx 0.618\;\;\;\;\; \square
\]
Comments:
1. 內部收益率本質為利率
2. 內部收益率之所以被稱為 "內部" 主因是因為 此 收益率 (利率) 僅僅由現金流所推定。
3.對於上述多項式方程，令
\[
c:=\frac{1}{1+r}
\]則我們可得到更為簡潔的多項式如下
\[
x_0+x_1 c + x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
\]
由於 IRR 要求求解 $n$ 階多項式，我們必須先解決 解的存在性問題：下面的定理將告訴我們何時解存在。
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Main Theorem of Internal Rate of Return:
令現金流 $(x_0, x_1,...,x_n)$ 滿足 $x_0 <0$ 且對於 $k=1,2,...,n$而言， $x_k \geq 0 $ 且至少有一項 $x_j >0$ ，則對於下列方程
\[
0 = x_0+x_1 c + x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
\]存在唯一正實數解 $c_0$
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Proof: 令
$$
f(c) :=x_0+x_1 c+x_2 c^2 +\cdots +x_n c^n
$$ 為一 以 $c$ 為變數的 $n$ 次多項式函數，我們要證明 $f$ 有唯一正實數解。
我們首先證明解的存在性：由於 $f$ 為多項式函數，故立即知道 $f$ 為對 參數 $c$ 連續。另外我們觀察
\[
f(0) = x_0 <0
\] 且由於至少現金流中至少有一項 $x_j >0$，故若對 $f$ 取導數可得
$$
f'(c) = x_1 + 2x_2 c + \cdots + j x_j c^{j-1} +\cdots+nx_n c^{n-1} > 0
$$亦即我們知道 $f(c)$ 為對 $c$ 嚴格遞增，現在利用 連續函數中間值定理(Intermediate Value Theorem) 可知，必存在一解 $c_0$ 使得 $f(c_0) =0$ 。
接著我們證明 $c_0$ 解 為唯一：
利用 $f$ 的遞增性質，可推知此 $c_0$ 為唯一 (因為遞增故不存在 $c_2$ 使得 再次又交會於零，亦即 不存在另外一點 使得 $f(c_2) =0$)。
最後我們證明 $c_0 >0$
回憶因為 $f(0) <0$ 且 $f$ 遞增，故所求之解 $c_0$ 必為正數。 $\square$
Comment:
1. 有時候在求解上述 $n$ 次多項式的時候 可能我們會解出 複數根 (complex roots) 的情況，此時一般而言我們通常選具有最大實部的複數根作為我們的解。
2. 內部收益率是非常有用的工具，撇除上述的理論部分，其計算上其實非常容易，市面上的軟體諸如 Microsoft Excel 或者免費的 Google Sheets 都可以幫助我們快速計算 IRR，以下我們使用前述的 IRR 來給出一個 計算退休的投資計畫的例子：
Example:
考慮某投資人剛找到工作，手邊身無分文，但他預計 30 年後要退休，且這名投資人樂觀的預計這三十年中，他可以省吃儉用每年投資固定 10萬元來儲備其退休金，並且我們假設他 $30$ 年所需要的退休金 為 3000 萬元，則我們有
\[
$(x_1,x_2,x_3, ...., x_{30}, U ) = (-10,-10,-10,...,-10, 3000)$
\] 我們想問如果投資人想建構某投資計畫，則該投資計畫之每年的報酬率要達到多少才可能達成上述的退休計畫呢？
NOTE: 注意到此例並不滿足 IRR 存在且唯一 定理的充分條件。(因為 $x_2...,x_{30} <0$)
但我們仍然能用數值逼近的方式計算 IRR ，以下我們用 Google Sheets 來實現上述的範例，首先建構下表
接著我們利用 函數 $irr(B2:B32)$ (公式我輸入在上表中的 $C32$位置) 即可立刻計算每年所需的投資報酬率，在此例中為 $12.5133\%$。也就是說如果我們採用每年投資 10萬元，三十年後要達到 3000萬退休金的每年投資報酬率必須要有 $12.5133\%$，
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