2016年9月2日 星期五

[投資組合理論] 投資組合的 期望報酬 與 風險變異

投資組合(Portfolio)的報酬
考慮投資人手邊持有 $n$ 個資產 且每組資產對應的 (隨機)報酬率 為 $r_1,r_2,...,r_n$ 且對於 $i=1,2,...,n$ 我們定義 $r_i$ 的期望報酬 為 $E[r_i] \doteq \bar{r}_i$ ,現在投資人欲使用此 $n$ 個資產來 建構 合適的投資組合如下: 針對每一個資產,投資人將指派對應的 (確定)權重 (weights),亦即 對 $i=1,...,n$ 我們指派 $w_i$ 作為第 $i$ 個資產的權重,且我們要求權重須滿足 Self-finacing 條件,亦即:$$
\sum_{i=1}^n w_i =1
$$則投資人 整體投資組合 的報酬 我們記作 $r$ 可由下式表示
\[
r := w_1 r_1 + w_2 r_2 + \cdots + w_n r_n
\]則我們稱此投資組合為 $n$ 資產投資組合,且 $r$ 稱為 $n$ 資產投資組合的報酬率。那麼由於 $r_i$ 為 隨機,致使 $r$ 亦為隨機,故我們希望可以透過一些統計量幫助我們描述此 隨機的報酬率,一般而言,在投資組合理論裡面最常用的兩個統計量即為 期望值 與 變異數,( 一/二階動差) 來計算 投資組合的 期望報酬 與 風險變異。

Comments:
1. 在一般投資組合理論中,風險(Risk) 一般用 變異數(Variance) 來描述。但讀者應注意到變異數並非唯一的 風險可能描述,在較為進階的投資理論中還會提到其他用來描述 風險 的變量,比如說 絕對最大跌幅 (Absolute Maximum Drawdown),百分比最大跌幅 (Percentage Maximum Drawdown),風險價值 (Value of Risk, VaR) 或者 條件風險價值 (Conditional Value of Risk, CVaR)等等。

2. 有部分投資理論採用 變異數的平方根 (也就是 標準差 Standard Devision) 來定義 風險。為了區別起見,我們不稱其為"變異"


以下定理首先給出期望報酬率的結果

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Theorem 1: 
上述 $n$資產的投資組合的期望報酬為
\[
E\left[ r \right] =\sum\limits_{i = 1}^n {w_i} \bar{r}_i
\]======================================

Proof:
回憶投資組合的報酬率為
$$
r := w_1 r_1 + w_2 r_2 + \cdots + w_n r_n
$$ 現在對 $r$ 取期望值,利用期望值的線性性質可立刻得到
\begin{align*}
  E\left[ r \right] &= E\left[ {{w_1}{r_1} + {w_2}{r_2} +  \cdots  + {w_n}{r_n}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{w_1}{r_1}} \right] + E\left[ {{w_2}{r_2}} \right] +  \cdots  + E\left[ {{w_n}{r_n}} \right] \hfill \\
   &= {w_1}E\left[ {{r_1}} \right] + {w_2}E\left[ {{r_2}} \right] +  \cdots  + {w_n}E\left[ {{r_n}} \right] \hfill \\
&=\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}E\left[ {{r_i}} \right]} \hfill \\
&=\sum\limits_{i = 1}^n {w_i} \bar{r}_i\;\;\;\;\; \square
\end{align*}

接著讓我們計算投資組合的 風險變異 :令 $\sigma_i^2$ 表示第 $i$ 組資產的風險變異,且定義 $\sigma$ 表示整體投資組合的風險變異,且 $\sigma_{ij}$ 用以表示 第 $i$ 與 第 $j$ 組資產之間 ($i \neq j$)的共同風險變異 (covariance) ,另外我們註記 $\sigma_{ii} = \sigma_i^2$。有了以上的符號,我們現在給出以下結果:
======================================
Theorem 2: 上述 $n$ 資產投資組合的風險變異 為
\[
\sigma = \sum_{i,j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij}
\]======================================

Proof:
開始計算投資組合的風險變異 $\sigma$ 如下
\begin{align*}
  {\sigma ^2} &: = E\left[ {{{\left( {r - E[r]} \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{r_i}}  - \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}E\left[ {{r_i}} \right]} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{r_i}}  - \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}{{\bar r}_i}} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{w_i}{r_i} - {w_i}{{\bar r}_i}} \right)} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}\left( {{r_i} - {{\bar r}_i}} \right)} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{w_j}\left( {{r_j} - {{\bar r}_j}} \right)} } \right)} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {\sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}\left( {{r_i} - {{\bar r}_i}} \right)} \left( {{r_j} - {{\bar r}_j}} \right)} \right] \hfill \\
  & = \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}E\left[ {\left( {{r_i} - {{\bar r}_i}} \right)\left( {{r_j} - {{\bar r}_j}} \right)} \right]}  \hfill \\
   &= \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}{\sigma _{ij}}} \;\;\;\; \square
\end{align*}


以下我們看個 兩資產 的非常簡單的例子

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Example:
考慮投資人手上有 頻果公司股票 與  政府債卷 兩種資產,且假設此投資人做了非常完整的調查,並且計算出
  • 頻果公司股票的 期望報酬 與 風險變異 分別為 $\bar{r}_1 := 0.10$ 與 $\sigma_1^2 = 0.3$ 
  • 政府債卷的 期望報酬 與 風險變異 分別為 $\bar{r}_2 := 0.01$ 與 $\sigma_2 := 0.1$ 
且更進一步假設頻果公司股票 與 政府債卷的共變異為 $\sigma_{12} = \sigma_{21} =0.05$。若投資人考慮將對頻果公司投入 $60\%$資產且 政府債卷為 $40\%$資產,亦即 $w_1 =0.6$ 與 $w_2 =0.4$,

(a) 試求 此投資組合的期望報酬
(b) 試求此投資組合的風險變異
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Solution (a)
由前述第一定理,可知期望報酬
\begin{align*}
  E\left[ r \right] &= \sum\limits_{i = 1}^2 {{w_i}E\left[ {{r_i}} \right]}  \hfill \\
   &= {w_1}E\left[ {{r_1}} \right] + {w_2}E\left[ {{r_2}} \right] \hfill \\
   &= \left( {0.6} \right)\left( {0.1} \right) + \left( {0.4} \right)\left( {0.01} \right) = 0.064 \hfill \\
\end{align*}
Solution(b)
由前述第二定理,可知風險變異
\begin{align*}
  {\sigma ^2} &= \sum\limits_{i,j = 1}^n {{w_i}{w_j}{\sigma _{ij}}}  \hfill \\
   &= {w_1}{w_1}{\sigma _{11}} + {w_1}{w_2}{\sigma _{12}} + {w_2}{w_1}{\sigma _{21}} + {w_2}{w_2}{\sigma _{22}} \hfill \\
   &= w_1^2\sigma _1^2 + 2{w_1}{w_2}{\sigma _{12}} + w_2^2\sigma _2^2 \hfill \\
   &= {\left( {0.6} \right)^2}\left( {0.3} \right) + 2\left( {0.6} \right)\left( {0.4} \right)\left( {0.01} \right) + {\left( {0.4} \right)^2}\left( {0.01} \right) \hfill \\
   &= 0.1336 \;\;\;\;\; \square
\end{align*}

Comments: 在實務上,以上述例子為例,若反過來給定 期望報酬 與 風險變異,則可反求 投資組合的權重 $w$,一般稱之為 資產配置 (asset allocation)