[投資理論] 股價動態模型(1) - 離散時間乘法模型

此文我們將討論離散時間股價較為合宜的動態模型：令 $k=0,1,2,...,N-1$ 且 $S(k) >0$ 為時刻 $k$ 之股價 且 $S(0)$ 已知常數，現在考慮股價服從以下 乘法模型
\[
S(k+1) = u(k) S(k) \;\;\;\; (*)
\] 其中  $u(k)$ 為  mutually independent 隨機變數 (代表時刻 $k$ 到 $k+1$ 股價的相對變化，亦即 $u(k) = S(k+1)/S(k)$)。現在對上述乘法模型等號兩邊取對數
\begin{align*}
  \ln S(k + 1) &= \ln \left( {u(k)S(k)} \right) \hfill \\
  & = \ln u(k) + \ln \left( {S(k)} \right)
\end{align*}
上述等號對 $k=0,1,2...,N-1$ 皆成立。

Comments:
1. 上述乘法模型中的 $u(k)$ 導致下一時刻的股價產生隨機波動，此結果在一般經濟學中稱為 價格衝擊 (shocks) 在控制理論中被稱為 干擾 (disturbances) 。
2. 上述乘法模型為股價離散時間標準模型，若我們考慮上述 $k=0,1,...,N$ 發生在 時間範圍 $\Delta t$ 之間，則讓 $N \to \infty$ 我們可以近似 股價連續時間的標準模型，也就是 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)，但此非本文重點在此不做贅述，有興趣的讀者可以參閱本 BLOG其他相關幾何布朗運動的文章。



對數常態分布的股價 (Log-normal Price)
現在對  $k=0,1,2...,N-1$ ，定義 $w(k):= \ln u(k)$ 且我們指定 $w(k)$ 服從具有 $E[w(k)] = \mu$ 與變異數 $Var(w(k)) = \sigma^2$ 的常態分佈 且 $w(k)$ mutually independent 。

Comments:
由於 $w(k):= \ln u(k)$，我們有 $u(k) = exp(w(k))$ 且 由於 $w(k) \sim N(\mu, \sigma^2)$ 故 $u(k)$ 為 log-normal 隨機變數 (亦即 取 log 之後為常態分配) 。


由乘法模型，不難得知
\[\ln S(k) = \ln \left[ {u(k - 1)u(k - 2) \cdots u\left( 0 \right)S(0)} \right]
\]故若對等號兩邊同取 log可知
\begin{align*}
  \ln S(k) &= \ln S\left( 0 \right) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {\ln u(i)}  \hfill \\
   &= \ln S\left( 0 \right) + \sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {w(i)}  \hfill \\
\end{align*}
注意到 $\ln S(0)$ 為已知常數，且 $w(i)$ 為 mutually independent 的常態分佈隨機變數 滿足 期望值 $\mu$ 與變異數 $\sigma^2$，故由大學部機率論可知， $\sum_{i=0}^{k-1} w(i)$ 亦為常態隨機變數且其期望值為 $k \mu$ 變異數為 $k \sigma^2$，亦即
\[\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {w(i)} \sim N\left( {k\mu ,k{\sigma ^2}} \right)\]
又因為 $\ln S(0)$ 為已知常數，故 $\ln S(k)$ 亦為常態分佈滿足
\[\ln S(k)\sim N\left( {\ln S\left( 0 \right) + k\mu ,k{\sigma ^2}} \right)\]

Comments
一般在實務上的角度，真實股價 的確反映了 lognormal 分佈的行為但在分佈的兩端會有較大的不一致性，這種性質稱之為 skewness，在此不贅述。讀者可以自行任取市面上的股價進行驗證。

[查經] 財富從何而來？

得 貨財 的能力從何而來？
申命記 8:17 - 18
恐怕你心裡說：『這貨財是我力量，我能力得來的。』

你要記念耶和華你的神，因為得貨財的力量是他給你的，為要堅定他向你列祖起誓所立的約，像今日一樣。

雅各書 4:13-15

你們有話說：「今天、明天我們要往某城裡去，在那裡住一年，做買賣得利。」

其實明天如何，你們還不知道。你們的生命是什麼呢？你們原來是一片雲霧，出現少時就不見了。 你們只當說：「主若願意，我們就可以活著，也可以做這事或做那事。」 

省思：上面的經文告訴我們，“得貨財的力量是神所賜的”，所以作為一個基督徒應當相信：賺錢的能力，生活的環境，自身的智慧與機會，以及身體健康 都來自上帝。主若願意，我們就可以做成這事或者那事。



財富是我們的倚靠嗎？

詩篇 52:7
說：「看哪！這就是那不以神為他力量的人，只倚仗他豐富的財物，在邪惡上堅立自己。」

箴言 11:28
倚仗自己財物的必跌倒，義人必發旺如青葉。

提摩太前書 6:17
你要囑咐那些今世富足的人，不要自高，也不要倚靠無定的錢財，只要倚靠那厚賜百物給我們享受的神。


積存資財的隱藏的禍患是什麼？
傳道書5:13-14
我見日光之下有一宗大禍患，就是財主積存資財反害自己。

何西阿書 13:6
這些民照我所賜的食物得了飽足，既得飽足，心就高傲，忘記了我。

省思：上面的經節提及了財主 積存資財 是一大禍患。基督徒可以發財，但不可貪財，總要認真盡自己本分做好工作，那麼自然有錢



貪求急速發財的有什麼後果

箴言28:20
誠實人必多得福，想要急速發財的不免受罰

箴言28:22
人有惡眼想要急速發財，卻不知窮乏必臨到他身

提前6:9 

但那些想要發財的人，就陷在迷惑，落在網羅和許多無知有害的私慾裡，叫人沉在敗壞和滅亡中




貪愛錢財的禍患

來13:5 

你們存心不可貪愛錢財，要以自己所有的為足：因為主曾說：我總不撇下你，也不丟棄你

提前6:10 

貪財是萬惡之根，有人貪戀錢財，就被引誘離了真道，用許多愁苦把自己刺透了。

箴1:19 

凡貪戀財利的，所行之路都是如此；這貪戀之心乃奪去得財者之命。

詩10:3 

因為惡人以心願自誇；貪財的背棄耶和華，並且輕慢他


省思：聖經的本質：上帝多給誰，就跟誰多收。可以問問自己是否能做到沒錢時能感謝，有錢時也能感謝。一天到晚想著賺錢，貪財必敗壞基督徒要自己讀聖經，才能分辨



資財的作用

傳5:19 

神賜人資財豐富，使他能以吃用，能取自己的分，在他勞碌中喜樂，這乃是神的恩賜。


省思：我要如何好好做自己本分？神自然賜福。你若有確定是上帝的帶領，就不必看數字
注意到上述經文中所說的是 "勞碌中喜樂"而非 "不用做工就喜樂..."



得貨財的正確與錯誤方式是什麼？

箴13:11 

不勞而得之財必然消耗；勤勞積蓄的，必見加增。

耶17:11 

那不按正道得財的，好像鷓鴣菢不是自己下的蛋；到了中年，那財都必離開他，他終久成為愚頑人。

箴10:4 

手懶的，要受貧窮；手勤的，卻要富足。

哈2:9 

為本家積蓄不義之財、在高處搭窩、指望免災的有禍了！
如果沒有貨才怎麼辦？

箴15:16 

少有財寶，敬畏耶和華，強如多有財寶，煩亂不安。

箴22:4 
敬畏耶和華心存謙卑，就得富有、尊榮、生命為賞賜。

箴23:4 
不要勞碌求富，休仗自己的聰明。

判斷是否為神所賜的福？

箴10:22 
耶和華所賜的福使人富足，並不加上憂慮。



專心追求貨財是正確的嗎？

箴23:5 
你豈要定睛在虛無的錢財上嗎？因錢財必長翅膀，如鷹向天飛去。

箴27:24 
因為資財不能永有，冠冕豈能存到萬代？

提前6:9 
但那些想要發財的人，就陷在迷惑、落在網羅和許多無知有害的私慾裡，叫人沉在敗壞和滅亡中。

太6:19-21 
不要為自己積儹財寶在地上；地上有蟲子咬，能銹壞，也有賊挖窟窿來偷。只要積儹財寶在天上；天上沒有蟲子咬，不能銹壞，也沒有賊挖窟窿來偷。因為你的財寶在哪裡，你的心也在那裡。

太6:24 
一個人不能事奉兩個主；不是惡這個，愛那個，就是重這個，輕那個。你們不能又事奉神，又事奉瑪門（瑪門：財利的意思）。

路12:16-19 
就用比喻對他們說：有一個財主田產豐盛；又說：我要這麼辦：要把我的倉房拆了，另蓋更大的，在那裡好收藏我一切的糧食和財物， 然後要對我的靈魂說：靈魂哪，你有許多財物積存，可作多年的費用，只管安安逸逸的吃喝快樂吧！


路12:21 
凡為自己積財，在神面前卻不富足的，也是這樣。


路12:33-34

你們要變賣所有的賙濟人，為自己預備永不壞的錢囊，用不盡的財寶在天上，就是賊不能近、蟲不能蛀的地方。


什麼使人孤單？

傳4:8 
有人孤單無二，無子無兄，竟勞碌不息，眼目也不以錢財為足。他說：我勞勞碌碌，刻苦自己，不享福樂，到底是為誰呢？這也是虛空，是極重的勞苦。



為何基督徒要奉獻？

代上29:14 
我算什麼，我的民算什麼竟能如此樂意奉獻？因為萬物都從你而來，我們把從你而得的獻給你。

申命 14:22-23：
你要把你撒種所產的，就是你田地每年所出的，十分取一分：又要把你的五穀，新酒，和油的十分之一，並牛群羊群中頭生的，吃在耶和華--你 神的面前，就是他所選擇要立為他名的居所。這樣，你可以學習時常敬畏耶和華---你的 神

瑪拉基書 3:8 - 10
人豈可奪取神之物呢？你們竟奪取我的供物。你們卻說：我們在何事上奪取你的供物呢？就是你們在當納的十分之一和當獻的供物上。因你們通國的人都奪取我的供物，咒詛就臨到你們身上。萬軍之耶和華說：你們要將當納的十分之一全然送入倉庫，使我家有糧，以此試試我，是否為你們敞開天上的窗戶，傾福與你們，甚至無處可容。

省思：奉獻的目的在於 學習時常敬畏 耶和華，因為 財貨從神而來的。

除了奉獻之外？
來13:16
只是不可忘記行善和捐輸的事，因為這樣的祭是神所喜悅的。

林後6:10 
似乎憂愁，卻是常常快樂的；似乎貧窮，卻是叫許多人富足的；似乎一無所有，卻是樣樣都有的。


除了財貨之外
箴19:14 房屋錢財是祖宗所遺留的；惟有賢慧的妻是耶和華所賜的。

耶9:23 耶和華如此說：智慧人不要因他的智慧誇口，勇士不要因他的勇力誇口，財主不要因他的財物誇口。


結語：上帝給我們多少就好好管理，並且誠實奉獻，一生當跑的路上要追求的是 好好做上帝的工，好好照顧家庭/妻小，好好關心別人。


其他的勸勉

提前3:2-3 因為那時人要專顧自己、貪愛錢財、自誇、狂傲、謗讟、違背父母、忘恩負義、心不聖潔、不因酒滋事，不打人，只要溫和，不爭競，不貪財；

提前3:8 作執事的，也是如此：必須端莊，不一口兩舌，不好喝酒，不貪不義之財；

提前6:10 貪財是萬惡之根。有人貪戀錢財，就被引誘離了真道，用許多愁苦把自己刺透了。

多1:7
監督既是神的管家，必須無可指責，不任性，不暴躁，不因酒滋事，不打人，不貪無義之財；

多1:11 這些人的口總要堵住。他們因貪不義之財，將不該教導的教導人，敗壞人的全家。

來13:5 
你們存心不可貪愛錢財，要以自己所有的為足；因為主曾說：我總不撇下你，也不丟棄你。

雅5:3 
你們的金銀都長了銹；那銹要證明你們的不是，又要吃你們的肉，如同火燒。你們在這末世只知積儹錢財。

彼前5:2 
務要牧養在你們中間神的群羊，按著神旨意照管他們；不是出於勉強，乃是出於甘心；也不是因為貪財，乃是出於樂意；

約一3:17 
凡有世上財物的，看見弟兄窮乏，卻塞住憐恤的心，愛神的心怎能存在他裡面呢？