此文我們將討論離散時間股價較為合宜的動態模型：令 $k=0,1,2,...,N-1$ 且 $S(k) >0$ 為時刻 $k$ 之股價 且 $S(0)$ 已知常數，現在考慮股價服從以下 乘法模型
\[
S(k+1) = u(k) S(k) \;\;\;\; (*)
\] 其中 $u(k)$ 為 mutually independent 隨機變數 (代表時刻 $k$ 到 $k+1$ 股價的相對變化，亦即 $u(k) = S(k+1)/S(k)$)。現在對上述乘法模型等號兩邊取對數
\begin{align*}
\ln S(k + 1) &= \ln \left( {u(k)S(k)} \right) \hfill \\
& = \ln u(k) + \ln \left( {S(k)} \right)
\end{align*}
上述等號對 $k=0,1,2...,N-1$ 皆成立。
Comments:
1. 上述乘法模型中的 $u(k)$ 導致下一時刻的股價產生隨機波動，此結果在一般經濟學中稱為 價格衝擊 (shocks) 在控制理論中被稱為 干擾 (disturbances) 。
2. 上述乘法模型為股價離散時間標準模型，若我們考慮上述 $k=0,1,...,N$ 發生在 時間範圍 $\Delta t$ 之間，則讓 $N \to \infty$ 我們可以近似 股價連續時間的標準模型，也就是 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)，但此非本文重點在此不做贅述，有興趣的讀者可以參閱本 BLOG其他相關幾何布朗運動的文章。
對數常態分布的股價 (Log-normal Price)
現在對 $k=0,1,2...,N-1$ ，定義 $w(k):= \ln u(k)$ 且我們指定 $w(k)$ 服從具有 $E[w(k)] = \mu$ 與變異數 $Var(w(k)) = \sigma^2$ 的常態分佈 且 $w(k)$ mutually independent 。
Comments:
由於 $w(k):= \ln u(k)$，我們有 $u(k) = exp(w(k))$ 且 由於 $w(k) \sim N(\mu, \sigma^2)$ 故 $u(k)$ 為 log-normal 隨機變數 (亦即 取 log 之後為常…
\[
S(k+1) = u(k) S(k) \;\;\;\; (*)
\] 其中 $u(k)$ 為 mutually independent 隨機變數 (代表時刻 $k$ 到 $k+1$ 股價的相對變化，亦即 $u(k) = S(k+1)/S(k)$)。現在對上述乘法模型等號兩邊取對數
\begin{align*}
\ln S(k + 1) &= \ln \left( {u(k)S(k)} \right) \hfill \\
& = \ln u(k) + \ln \left( {S(k)} \right)
\end{align*}
上述等號對 $k=0,1,2...,N-1$ 皆成立。
Comments:
1. 上述乘法模型中的 $u(k)$ 導致下一時刻的股價產生隨機波動，此結果在一般經濟學中稱為 價格衝擊 (shocks) 在控制理論中被稱為 干擾 (disturbances) 。
2. 上述乘法模型為股價離散時間標準模型，若我們考慮上述 $k=0,1,...,N$ 發生在 時間範圍 $\Delta t$ 之間，則讓 $N \to \infty$ 我們可以近似 股價連續時間的標準模型，也就是 幾何布朗運動 (Geometric Brownian Motion)，但此非本文重點在此不做贅述，有興趣的讀者可以參閱本 BLOG其他相關幾何布朗運動的文章。
對數常態分布的股價 (Log-normal Price)
現在對 $k=0,1,2...,N-1$ ，定義 $w(k):= \ln u(k)$ 且我們指定 $w(k)$ 服從具有 $E[w(k)] = \mu$ 與變異數 $Var(w(k)) = \sigma^2$ 的常態分佈 且 $w(k)$ mutually independent 。
Comments:
由於 $w(k):= \ln u(k)$，我們有 $u(k) = exp(w(k))$ 且 由於 $w(k) \sim N(\mu, \sigma^2)$ 故 $u(k)$ 為 log-normal 隨機變數 (亦即 取 log 之後為常…