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目前顯示的是 2月, 2017的文章

[分享] 淺論現代投資科學

以下為個人在 University of Wisconsin-Madison 臺灣學生會 2017年 第一場學術沙龍中 分享的簡報檔: 淺論現代投資科學  ( 2017, 01. 21) 講者: 謝宗翰 講題 : 淺論現代投資科學 簡介:此分享將試圖介紹基本現代投資科學的一些實用工具,從簡單的現金流到現代投資理論,主要將注重在退休規劃,風險管理與最佳資產配置。當中將輔以美股市場為例的實際應用。 閱讀更多: 數學能擊敗金融市場嗎?-從控制理論觀點   by 謝宗翰(2016, 02. 16) 關於 UW-Madison 臺灣學生會 連結 https://sites.google.com/site/satuwmadison/

[凸分析] 常見的凸集性質(1) - 線性矩陣不等式之解 所成的集合 為 凸集

給定 $a \in \mathbb{R}^n$ ,我們定義 線性函數 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 滿足 \[ f(x) := a^T x = a_1 x_1 + ... + a_n x_n \] 現在我們進一步推廣上述結果:亦即上述的向量 $a = (a_1,...,a_n)$ 可以用 對稱矩陣 $(A_1,...,A_n)$ 替換,且 $ A_i \in S^m$ 為 $\mathbb{R}^{m \times m}$ 對稱矩陣,現在我們模仿上述線性函數 $f$ 定義一個新的函數如下:定義  $F: \mathbb{R}^n \to S^m$ 滿足 \[ F(x) := x_1 A_1 + ... + x_n A_n \] Comments: 1. $ F(x) $ 仍為 $\mathbb{R}^{m \times m}$ 的對稱矩陣。 2. 上述提及的 線性函數 $f(x)$  (或者又說標準內積 或者 hyperplane) 可用以形成所謂 convex polyhedra 的集合,在此不贅述。 接著我們想問 對於上述 矩陣等式 $g(x)$ 而言,是否可以定義不等式? 一般而言在線性代數中我們定義 $F(x) \succ 0$ 表示 $F(x)$ 為正定矩陣,亦即 對任意 $z \in \mathbb{R}^n$ 且 $z \neq 0$ 我們有 \[ z^T F(x) z > 0 \] 我們說 $F(x) \succeq 0$ 表示 $F(x)$ 為半正定矩陣,亦即 對任意 $z \in \mathbb{R}^n$ \[ z^T F(x) z \geq 0 \] FACT: 令 $A,B$ 為 兩實係數 對稱矩陣,若 $A \succeq 0$ 且 $B \succeq 0$ 則 \[ A+B \succeq 0 \] Proof: omitted ( 此證明相對容易,在此略過 ) ======================== Definition: Linear Matrix Inequality (LMI) 我們稱一不等式 為對 $x$ 而言的線性矩陣不等式 (Linear Matrix Inequality in $x$, LMI) 若 前

[基礎數學] 有限項次的雙重加總 (Finite Double Sums)

給定一組有限項次之數列 $\{a_k\}_{k=1}^n$ 可以表示為 $$\{a_k\}_{k=1}^n =  (a_1,a_2,...,a_n)$$我們知道  此數列之 加總總和 可以用級數 $\sum$ 符號簡潔的將其表示,比如說 \[ \sum_{k=1}^n a_k \]但若我們考慮的數列為類似於 矩陣的陣列 (rectangular array),比如說 \[\begin{array}{*{20}{c}}   {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\   {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\    \vdots &{}&{}&{} \\   {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}\]其中元素一般以 $a_{ij}$ 表示,$1 \leq i \leq m$ 且 $1 \leq j \leq n$。此時我們如何用級數表示此陣列之和? 基本想法: 首先我們可以先將 每一個橫列 之和計算出來: \[\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{1j}}} ,\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{2j}}} ,...,\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{mj}}} } \right)\]其中第 $1$個橫列之和為 ${\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{1k}}} }$ 接著我們把前述這些橫列之和加總 \[\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{1j}}}  + \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{2j}}}  + ... + \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{mj}}}  = \sum\limits_{i = 1}^m \left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}} } \right) \]當然如果我們把順序調換,先算直行之和在進行加總答案不變 (why?),故我們有 \[\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\l

[系統理論] 關於 Fourier Series 係數 之積分範圍的討論

首先回憶給定平滑有界之 週期訊號 $x(t)$ 且假設此訊號具有基本頻率 $f_0$ (亦即此訊號具有基本週期 $T_0 :=1/f_0$ ),那麼在 Fourier analysis 中我們說此訊號可以表示為 \[ x(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty a_k e^{j 2 \pi f_0 k t } \]且其對應的 Fourier Series 可由下列積分求得 \[ a_k := \frac{1}{T_0} \int_0^{T_0} x(t) e^{-j 2 \pi f_0 k t} dt \;\;\;\;\; (*) \] 但事實上由於 $x(t)$ 為週期訊號,上述積分範圍可以為 任意 單位週期長度 而不需拘泥於 $[0,T_0]$,一般而言,最常見到的另一種 Fourier Series coefficient 形式為 : \[{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x\left( t \right){e^{ - j{2 \pi  f_0}kt}}dt} \]事實上此式子與 $(*)$ 等價。 我們將此寫作以下 FACT: =================== FACT: 給定平滑有界 週期訊號 $x(t)$ 表示為 \[ x(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty a_k e^{j 2 \pi f_0 k t } \]則其 Fourier Series 係數亦可表為 \[{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x\left( t \right){e^{ - j{2 \pi  f_0}kt}}dt} \]=================== Proof: 我們僅需證明 \[ \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x\left( t \right){e^{ - j2\pi {f_0}kt}}dt}  = \frac{1}{{{T_0}}}\int_0^{{T_0}} {x\left( t \right){e^{ - j2\pi {f_0}kt}}dt} \]故現在觀察左式,利用

[訊號與系統] 兩週期弦波相加不保證仍為週期訊號

這裡我們討論弦波訊號的相加運算,並指出儘管個別弦波為週期訊號,但是經過相加運算之後週期性質不一定被保證,以下我們給出反例。另外關於週期訊號的定義我們給在下方供讀者參考。 =========== Example: 考慮 $x_1(t):= \cos t$ 與 $x_2(t) := \cos (\sqrt{2}t)$ 現在將此兩弦波訊號相加,記作 \[ x(t) := \cos t + \cos (\sqrt{2}t) \] (a) 試證明 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$ 為週期訊號。 (b) 試證明 $x(t)$ 不是週期訊號。 =========== Proof (a): Omitted. Proof (b): 在此使用反證法,假設 $x(t)$ 是週期訊號。則由週期訊號定義可知:存在週期 $T>0$ 使得對任意 $t \in dom(x) \subset \mathbb{R}$, \[ x(t+T) = x(t) \;\;\;\ (*) \]以下我們要證明此假設導致矛盾。 現在取週期 $T>0$ ,則對任意 $t \in dom(x) \subset \mathbb{R}$,上述 $(*)$ 成立。故此,我們知道 式子 $(*)$ 對 $t=0$ 而言必定也成立,因此我們觀察 $t=0$的時候 \begin{align*}  & {\left. {x(t + T)} \right|_{t = 0}} = {\left. {x\left( t \right)} \right|_{t = 0}} \hfill \\    &\Rightarrow x(T) = x\left( 0 \right) \hfill \\   & \Rightarrow \cos T + \cos (\sqrt 2 T) = \cos \left( 0 \right) + \cos (\sqrt 2 \left( 0 \right)) \hfill \\   & \Rightarrow \cos T + \cos (\sqrt 2 T) = 2 \hfill \\ \end{align*} 注意到最後一條等式要成立,則必須滿足 $T=2 \pi n$ 且 $\sqrt{2}T = 2 \pi