謝宗翰的隨筆

以下為個人在 University of Wisconsin-Madison 臺灣學生會 2017年 第一場學術沙龍中 分享的簡報檔：

淺論現代投資科學 (2017, 01. 21)

講者：謝宗翰
講題：淺論現代投資科學
簡介：此分享將試圖介紹基本現代投資科學的一些實用工具，從簡單的現金流到現代投資理論，主要將注重在退休規劃，風險管理與最佳資產配置。當中將輔以美股市場為例的實際應用。

閱讀更多：
數學能擊敗金融市場嗎？-從控制理論觀點  by 謝宗翰（2016, 02. 16)

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給定 $a \in \mathbb{R}^n$ ，我們定義 線性函數 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ 滿足
\[
f(x) := a^T x = a_1 x_1 + ... + a_n x_n
\]
現在我們進一步推廣上述結果：亦即上述的向量 $a = (a_1,...,a_n)$ 可以用 對稱矩陣 $(A_1,...,A_n)$ 替換，且 $ A_i \in S^m$ 為 $\mathbb{R}^{m \times m}$ 對稱矩陣，現在我們模仿上述線性函數 $f$ 定義一個新的函數如下：定義  $F: \mathbb{R}^n \to S^m$ 滿足
\[
F(x) := x_1 A_1 + ... + x_n A_n
\]

Comments:
1. $ F(x) $ 仍為 $\mathbb{R}^{m \times m}$ 的對稱矩陣。
2. 上述提及的 線性函數 $f(x)$  (或者又說標準內積 或者 hyperplane) 可用以形成所謂 convex polyhedra 的集合，在此不贅述。


接著我們想問 對於上述 矩陣等式 $g(x)$ 而言，是否可以定義不等式？ 一般而言在線性代數中我們定義 $F(x) \succ 0$ 表示 $F(x)$ 為正定矩陣，亦即 對任意 $z \in \mathbb{R}^n$ 且 $z \neq 0$ 我們有
\[
z^T F(x) z > 0
\] 我們說 $F(x) \succeq 0$ 表示 $F(x)$ 為半正定矩陣，亦即 對任意 $z \in \mathbb{R}^n$
\[
z^T F(x) z \geq 0
\]

FACT:
令 $A,B$ 為 兩實係數 對稱矩陣，若 $A \succeq 0$ 且 $B \succeq 0$ 則
\[
A+B \succeq 0
\]
Proof: omitted (此證明相對容易，在此略過)

========================
Definition: Linear Matrix Inequality (LMI)
我們稱一不等式 為對 $x$ 而言的線性矩陣不等式 (Linear Matrix Inequality in $x$, LMI) 若 前述的矩陣 $F(x)$ 具有下列形式：
\[
F(x) := x_1 A…

給定一組有限項次之數列 $\{a_k\}_{k=1}^n$ 可以表示為 $$\{a_k\}_{k=1}^n =  (a_1,a_2,...,a_n)$$我們知道  此數列之 加總總和 可以用級數 $\sum$ 符號簡潔的將其表示，比如說
\[
\sum_{k=1}^n a_k
\]但若我們考慮的數列為類似於 矩陣的陣列 (rectangular array)，比如說
\[\begin{array}{*{20}{c}}
  {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\
  {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\
   \vdots &{}&{}&{} \\
  {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}
\end{array}\]其中元素一般以 $a_{ij}$ 表示，$1 \leq i \leq m$ 且 $1 \leq j \leq n$。此時我們如何用級數表示此陣列之和？

基本想法：
首先我們可以先將 每一個橫列 之和計算出來：
\[\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{1j}}} ,\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{2j}}} ,...,\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{mj}}} } \right)\]其中第 $1$個橫列之和為 ${\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{1k}}} }$ 接著我們把前述這些橫列之和加總
\[\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{1j}}}  + \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{2j}}}  + ... + \sum\limits_{j = 1}^n {{a_{mj}}}  = \sum\limits_{i = 1}^m \left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}} } \right) \]當然如果我們把順序調換，先算直行之和在進行加總答案不變 (why?)，故我們有
\[\sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n…

首先回憶給定平滑有界之 週期訊號 $x(t)$ 且假設此訊號具有基本頻率 $f_0$ (亦即此訊號具有基本週期 $T_0 :=1/f_0$ )，那麼在 Fourier analysis 中我們說此訊號可以表示為
\[
x(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty a_k e^{j 2 \pi f_0 k t }
\]且其對應的 Fourier Series 可由下列積分求得
\[
a_k := \frac{1}{T_0} \int_0^{T_0} x(t) e^{-j 2 \pi f_0 k t} dt \;\;\;\;\; (*)
\]

但事實上由於 $x(t)$ 為週期訊號，上述積分範圍可以為 任意單位週期長度 而不需拘泥於 $[0,T_0]$，一般而言，最常見到的另一種 Fourier Series coefficient 形式為 ： \[{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x\left( t \right){e^{ - j{2 \pi  f_0}kt}}dt} \]事實上此式子與 $(*)$ 等價。 我們將此寫作以下 FACT:

===================
FACT:
給定平滑有界 週期訊號 $x(t)$ 表示為
\[
x(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty a_k e^{j 2 \pi f_0 k t }
\]則其 Fourier Series 係數亦可表為
\[{a_k} = \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x\left( t \right){e^{ - j{2 \pi  f_0}kt}}dt} \]===================

Proof:
我們僅需證明
\[ \frac{1}{{{T_0}}}\int_{ - {T_0}/2}^{{T_0}/2} {x\left( t \right){e^{ - j2\pi {f_0}kt}}dt}  = \frac{1}{{{T_0}}}\int_0^{{T_0}} {x\left( t \right){e^{ - j2\pi {f_0}kt}}dt} \]故現在觀察左式，利用積分的線性性質：
\begin{align*…

這裡我們討論弦波訊號的相加運算，並指出儘管個別弦波為週期訊號，但是經過相加運算之後週期性質不一定被保證，以下我們給出反例。另外關於週期訊號的定義我們給在下方供讀者參考。

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Example:
考慮 $x_1(t):= \cos t$ 與 $x_2(t) := \cos (\sqrt{2}t)$ 現在將此兩弦波訊號相加，記作
\[
x(t) := \cos t + \cos (\sqrt{2}t)
\]
(a) 試證明 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$ 為週期訊號。
(b) 試證明 $x(t)$ 不是週期訊號。
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Proof (a): Omitted.
Proof (b): 在此使用反證法，假設 $x(t)$ 是週期訊號。則由週期訊號定義可知：存在週期 $T>0$ 使得對任意 $t \in dom(x) \subset \mathbb{R}$，
\[
x(t+T) = x(t) \;\;\;\ (*)
\]以下我們要證明此假設導致矛盾。

現在取週期 $T>0$ ，則對任意 $t \in dom(x) \subset \mathbb{R}$，上述 $(*)$ 成立。故此，我們知道 式子 $(*)$ 對 $t=0$ 而言必定也成立，因此我們觀察 $t=0$的時候
\begin{align*}
 & {\left. {x(t + T)} \right|_{t = 0}} = {\left. {x\left( t \right)} \right|_{t = 0}} \hfill \\
   &\Rightarrow x(T) = x\left( 0 \right) \hfill \\
  & \Rightarrow \cos T + \cos (\sqrt 2 T) = \cos \left( 0 \right) + \cos (\sqrt 2 \left( 0 \right)) \hfill \\
  & \Rightarrow \cos T + \cos (\sqrt 2 T) = 2 \hfill \\
\end{align*} 注意到最後一條等式要成立，則必須滿足 $T=2 \pi n$ 且 $\sqrt{2}T = 2 \pi k$ 對任意 $n=1,2,...$ 與 $k=1,…