[訊號與系統] 兩週期弦波相加不保證仍為週期訊號

這裡我們討論弦波訊號的相加運算，並指出儘管個別弦波為週期訊號，但是經過相加運算之後週期性質不一定被保證，以下我們給出反例。另外關於週期訊號的定義我們給在下方供讀者參考。

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Example:
考慮 $x_1(t):= \cos t$ 與 $x_2(t) := \cos (\sqrt{2}t)$ 現在將此兩弦波訊號相加，記作
\[
x(t) := \cos t + \cos (\sqrt{2}t)
\]
(a) 試證明 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$ 為週期訊號。
(b) 試證明 $x(t)$ 不是週期訊號。
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Proof (a): Omitted.
Proof (b): 在此使用反證法，假設 $x(t)$ 是週期訊號。則由週期訊號定義可知：存在週期 $T>0$ 使得對任意 $t \in dom(x) \subset \mathbb{R}$，
\[
x(t+T) = x(t) \;\;\;\ (*)
\]以下我們要證明此假設導致矛盾。

現在取週期 $T>0$ ，則對任意 $t \in dom(x) \subset \mathbb{R}$，上述 $(*)$ 成立。故此，我們知道 式子 $(*)$ 對 $t=0$ 而言必定也成立，因此我們觀察 $t=0$的時候
\begin{align*}
 & {\left. {x(t + T)} \right|_{t = 0}} = {\left. {x\left( t \right)} \right|_{t = 0}} \hfill \\
   &\Rightarrow x(T) = x\left( 0 \right) \hfill \\
  & \Rightarrow \cos T + \cos (\sqrt 2 T) = \cos \left( 0 \right) + \cos (\sqrt 2 \left( 0 \right)) \hfill \\
  & \Rightarrow \cos T + \cos (\sqrt 2 T) = 2 \hfill \\
\end{align*} 注意到最後一條等式要成立，則必須滿足 $T=2 \pi n$ 且 $\sqrt{2}T = 2 \pi k$ 對任意 $n=1,2,...$ 與 $k=1,2,...$ ，此兩個條件可推知
\begin{align*}
  &\left\{ \begin{gathered}
  T = 2\pi n \hfill \\
  \sqrt 2 T = 2\pi k \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
   &\Rightarrow \sqrt 2 \left( {2\pi n} \right) = 2\pi k \hfill \\
   &\Rightarrow \sqrt 2  = \frac{k}{n} \hfill \\
\end{align*}注意到最後一等式：因為 $k,n \in \mathbb{N}$ 其等式右方比值 $k/n \in \mathbb{Q}$ 但是等式左方 $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 故我們得到矛盾。$\square$



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Definition: Periodic Signal
我們說訊號 $x(t)$ 為 週期為 $T$ 之週期訊號，若下列條件成立：
存在 $T>0$ 使得
\[
x(t+T) = x(t),\;\;\;\; \forall t \in dom(x)
\]===========

Comments:
讀者也許會問那什麼時候弦波相加才可能仍然保持週期訊號呢？答案是若相加之頻率彼此為 harmonically related，亦即弦波之間必須有共同的基本頻率(fundamental frequency) 則此時弦波相加仍為週期訊號。簡單言之若考慮
\[
x(t) = \sum_{k=1}^N A_k \cos(2 \pi f_k t)
\]則 $x(t)$ 要是弦波信號若且唯若 存在基本頻率 $f_0$ 使得 $f_k = k f_0, \forall k \in \mathbb{N}$ ，或者等價為
\[
f_0 := gcd\{f_1,...,f_N\}
\]其中 $gcd\{\cdot\}$ 表示最大公因數(Greatest Common Divisor, gcd)