2017年1月29日 星期日

[機率論] 求 一組獨立隨機變數最大值的期望值

給定 $X_1,...,X_n$ 為一組 i.i.d. 非負隨機變數,現在令 $M:=\max\{X_1,...,X_n\}$我們想問
\[
E[M] =?
\]

首先我們回憶
\[E[M] = \sum\limits_{k \geqslant 0} P (M > k) = \sum\limits_{k \geqslant 0} {\left( {1 - P(M \leqslant k)} \right)}
\]上述第一等式利用 非負隨機變數的期望值的性質(亦即若 $X$ 為非負隨機變數,則 $E[X] = \int_0^\infty P(X>x)dx$),在此不做贅述。現在注意到
\begin{align*}
  P(M \leqslant k) &= P\left( {\max \left\{ {{X_1},...,{X_n}} \right\} \leqslant k} \right) \hfill \\
   &= P\left( {\bigcap\limits_{i = 1}^n {{X_i} \leqslant k} } \right) \hfill \\
  & = P{\left( {{X_1} \leqslant k} \right)^n} \hfill \\
\end{align*} 上述最後一條等式成立 因為 i.i.d 性質。故我們得到
\begin{align*}
  E[M] &= \sum\limits_{k \geqslant 0} {\left( {1 - P(M \leqslant k)} \right)}  \hfill \\
   &= \sum\limits_{k \geqslant 0} {\left( {1 - P{{\left( {{X_1} \leqslant k} \right)}^n}} \right)}  \hfill \\
\end{align*}