[訊號與系統] Phasor Addition Theorem

首先回憶什麼是 Phasor：考慮一組弦波訊號 $x(t) = a \cos(2 \pi f t+ \phi)$，我們可將其表為
\[
x(t) = a \cos(2 \pi f t+ \phi) = Re\{A e^{j 2 \pi f t}\}
\] 其中 $A:= a e^{j \phi}$ 稱作 Phasor。

在訊號處理的時候，我們經常需要將弦波訊號做相加。如果兩組弦波訊號具有相同頻率，則相加的處理可以大幅簡化。更而甚之，若有 $n$ 組弦波訊號具有相同頻率相加，其結果可表為單一相同頻率弦波訊號 僅僅只有振幅 與 相位改變。此結果稱之為 Phasor Addition Theorem：

=======================
Phasor Addition Theorem: 存在 $A, \phi$ 使得
\[
\sum_{k=1}^N A_k \cos(\omega_0 t + \phi_k) = A \cos(\omega_0 t + \phi)
\]=======================
Proof:
首先觀察
\[{A_k}\cos ({\omega _0}t + {\phi _k}) = \operatorname{Re} \left\{ {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} \right\}
\]其中右式中的 複數 $A_k e^{j{\phi _k}}$ 稱之為 phasor ，故
\begin{align*}
  \sum\limits_{k = 1}^N {\operatorname{Re} \left\{ {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} \right\}}  &= \operatorname{Re} \left\{ {\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} } \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {\left( {\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}} } \right){e^{j{\omega _0}t}}} \right\} \hfill \\
\end{align*} 注意到上述 ${\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}} }$ ，可知必定存在 $A$ 與 $\phi$  (why?) 使得
\[\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}}  = A{e^{j\phi }}\]故
\begin{align*}
  \sum\limits_{k = 1}^N {\operatorname{Re} \left\{ {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}{e^{j{\omega _0}t}}} \right\}}  &= \operatorname{Re} \left\{ {\left( {\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}{e^{j{\phi _k}}}} } \right){e^{j{\omega _0}t}}} \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {A{e^{j\phi }}{e^{j{\omega _0}t}}} \right\} \hfill \\
   &= A\cos \left( {{\omega _0}t + \phi } \right). \;\;\;\;\;\; \square
\end{align*}


Comments:
1. 上述相加運算在系統理論中視為 線性非時變 (Linear Time Invariant, LTI)系統，故弦波訊號 進入 線性非時變系統 仍為 弦波訊號緊緊振幅 與相位改變 。此結果一般會在 頻率響應 的章節中作更進一步討論，在此不再贅述。

2.1 注意到若不同頻率的弦波想要相加，則情況會變得較為複雜，一般實務上，尤其電力系統會避免將不同頻率相加，來避免不同頻率弦波相加出現抵銷的情況。

2.2 回憶 $\omega_0 = 2 \pi f_0$，現在 對 $k=1,2,3,...,N$ ，若頻率 $f_k := k f_0$ ，則我們稱此 $f_k$ 為 k-th harmonic frequencies ，此時盡管 Phasor Addition Theorem 失效 (也就是無法將一堆具有 k-th harmonic frequencies 的弦波相加之後表示為單一弦波)，但我們仍然可將不同弦波相加 表示為以下式子：
\[\sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}} \cos (2\pi {f_k}t + {\phi _k}) = \sum\limits_{k = 1}^N {{A_k}} \cos (2\pi k{f_0}t + {\phi _k})\]其中 $k=1$ 時所得到的頻率 $f_0$ 稱之為基本頻率 (fundamental frequency)

3. 若是不同頻率弦波相乘，一般稱此運算為調變(modulation)。在此不做贅述。



我們來看個例子：

Example 1:
考慮
\[\left\{ \begin{gathered}
  x_1^{}\left( t \right) = a_1 \cos \left( {2\pi f t + \theta_1 } \right) \hfill \\
  x_2^{}\left( t \right) = a_2 \cos \left( {2\pi f t + \theta_2} \right) \hfill \\
\end{gathered}  \right.\] 現令 $x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)$
(a) 試求 $x_1$ 與 $x_2$ 之 complex amplitude $X_1 := A_1 e^{j \phi_1}$ 與 $X_2 :=A_2 e^{j \phi_2}$
(b) 試證明
\[x_3^{}\left( t \right) = r\cos \left( {2\pi ft + \theta } \right)
\]其中
\begin{align*}
  r &: = \sqrt {{{\left( {{a_1}\cos {\theta _1} + {a_2}\cos {\theta _2}} \right)}^2} + {{\left( {{a_1}\sin {\theta _1} + {a_2}\sin {\theta _2}} \right)}^2}}  \hfill \\
\theta &: = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{a_1}\sin {\theta _1} + {a_2}\sin {\theta _2}}}{{{a_1}\cos {\theta _1} + {a_2}\cos {\theta _2}}}} \right)
\end{align*} (c) 試求 $x_3$ 之 complex amplitude $X_3 := A_3 e^{j \phi_3}$

Solution:
(a) 由 $x_1(t)$ 與 $x_2(t)$ 不難得到
\[\begin{gathered}   {X_1} = {A_1}{e^{j{\phi _1}}} = {a_1}{e^{j{\theta _1}}} \hfill \\
  {X_2} = {A_1}{e^{j{\phi _1}}} = {a_2}{e^{j{\theta _2}}} \hfill \\
\end{gathered} \]
(b) 現在我們求 $X_3 := A_3 e^{j \phi_3}$ 首先觀察
\begin{align*}
  x_3^{}\left( t \right) &= x_1^{}\left( t \right) + x_2^{}\left( t \right) \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {{a_1}{e^{j{\theta _1}}}{e^{j2\pi ft}}} \right\} + \operatorname{Re} \left\{ {{a_2}{e^{j{\theta _2}}}{e^{j2\pi ft}}} \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {{a_1}{e^{j{\theta _1}}}{e^{j2\pi ft}} + {a_2}{e^{j{\theta _2}}}{e^{j2\pi ft}}} \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {\left( {{a_1}{e^{j{\theta _1}}} + {a_2}{e^{j{\theta _2}}}} \right){e^{j2\pi ft}}} \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {\left( {{a_1}\left( {\cos {\theta _1} + j\sin {\theta _1}} \right) + {a_2}\left( {\cos {\theta _2} + j\sin {\theta _2}} \right)} \right){e^{j2\pi ft}}} \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {\left( {\left( {{a_1}\cos {\theta _1} + {a_2}\cos {\theta _2}} \right) + j\left( {{a_1}\sin {\theta _1} + {a_2}\sin {\theta _2}} \right)} \right){e^{j2\pi ft}}} \right\} \hfill \\
   &= \operatorname{Re} \left\{ {r{e^{j\theta }}{e^{j2\pi ft}}} \right\} \hfill \\
   &= r\cos \left( {2\pi ft + \theta } \right) \hfill \\
\end{align*}
其中
\begin{align*}
  r &: = \sqrt {{{\left( {{a_1}\cos {\theta _1} + {a_2}\cos {\theta _2}} \right)}^2} + {{\left( {{a_1}\sin {\theta _1} + {a_2}\sin {\theta _2}} \right)}^2}}  \hfill \\
\theta &: = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{a_1}\sin {\theta _1} + {a_2}\sin {\theta _2}}}{{{a_1}\cos {\theta _1} + {a_2}\cos {\theta _2}}}} \right)
\end{align*}

以下我們試著將數字帶入來看看
Example 2:
考慮
\[\begin{gathered}
  x_1^{}\left( t \right) = 5\cos \left( {2\pi \left( {100} \right)t + \pi /3} \right) \hfill \\
  x_2^{}\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi \left( {100} \right)t - \pi /4} \right) \hfill \\
\end{gathered}
\]令 $x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)$ 試求 $A, \phi$ 使得 $x_3(t) = A \cos(2 \pi f t + \phi) $

Proof:
首先觀察 $f = 100$ (Hz) 且 $a_1=5,a2=4$ 與 $\theta_1 = \pi/3, \theta_2 = - \pi/4$
\[
x_3^{}\left( t \right) = r\cos \left( {2\pi ft + \theta } \right)
\]其中
\begin{align*}
  r &= \sqrt {{{\left( {{A_1}\cos {\theta _1} + {A_2}\cos {\theta _2}} \right)}^2} + {{\left( {{A_1}\sin {\theta _1} + {A_2}\sin {\theta _2}} \right)}^2}}  \hfill \\
   &= \sqrt {{{\left( {5\cos \left( {\pi /3} \right) + 4\cos \left( { - \pi /4} \right)} \right)}^2} + {{\left( {5\sin \left( {\pi /3} \right) + 4\sin \left( { - \pi /4} \right)} \right)}^2}}  \hfill \\
   &= 5.536 \hfill \\
\end{align*}
同理
\begin{align*}
  \theta  &= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{a_1}\sin {\theta _1} + {a_2}\sin {\theta _2}}}{{{a_1}\cos {\theta _1} + {a_2}\cos {\theta _2}}}} \right) \hfill \\
   &= {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{5\sin \left( {\pi /3} \right) + 4\sin \left( { - \pi /4} \right)}}{{5\cos \left( {\pi /3} \right) + 4\cos \left( { - \pi /4} \right)}}} \right) \hfill \\
   &= 0.2747 \hfill \\
\end{align*}
故
\[x_3^{}\left( t \right) = r\cos \left( {2\pi ft + \theta } \right) = 5.536\cos \left( {2\pi \left( {100} \right)t + 0.2747} \right)\]