[基礎機率論] 兩隨機變數的 共變異 與 相關性

在機率論的討論中，很多時候我們需要考慮多個隨機變數，一種情況是這些多個隨機變數彼此互為獨立，那麼其相關的數學運算可以被大幅簡化。但是若多個隨機變數彼此之間有一定程度的相關性，是否有一種合適的量化方法來衡量呢？以下我們給出所謂共變異的概念：


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Definition: 令 $X,Y$ 為兩隨機變數各自具備 有限期望值 $E[X],E[Y]$ 與有限變異數 $\sigma_X, \sigma_Y$ ，則我們可定義此組隨機變數 之共變異 (covariance)，記作 $\sigma_{XY}$，表為：
\[
\sigma_{XY} := E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
\]==============

Comments:
1. [對稱性質]： 由上述定義，讀者應不難看出 $\sigma_{XY} = \sigma_{YX}$

2. [共變異數不必恆為正] ：由上述定義，透過簡單的運算可得到
\[{\sigma _{XY}} = E\left[ {XY} \right] - E\left[ X \right]E\left[ Y \right]\]注意到此式為兩項相減，故暗示了 共變異數 可能為正值 亦可能為負值。

3. 上述對於 $X,Y$ 具有有限期望值與有限變異之條件可簡寫為 $X,Y \in L^2$ 其中 $L^2$ 為由所有隨機變數滿足 $E[X^2]<\infty$ 所組成之函數空間。為求簡便起見，以下我們討論涉及 $L^2$ 之處皆以 有限期望值 與有限變異 做為等價之論述。有興趣讀者請參閱 本 Blog 其他相關文章或者查閱相關機率論/隨機過程之教材。

4. 有部分文獻之作者習慣將共變異數 用符號 $Cov(X,Y)$ 取代 $\sigma_{XY}$，端看個人習慣與喜好。

5. 一但兩隨機變數之共變異被定義，那麼給定多個隨機變數，比如說 $X_1,X_2,...,X_n$。我們亦可求其兩兩成對之共變異，舉例而言，若欲求 $X_i, X_j$ 之共變異 (其中 $i,j \in \{1,2,...,n\}$ ) 即為
$$
\sigma_{ij} :=  E[ (X_i- E[X_i]) (X_j = E[X_j])]
$$
另外當 $i =j$ 讀者可自行驗證上述共變異退化為變異數。



一旦定義了共變異，我們可接著引入所謂 相關性(correlation) 的概念：
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Definition:
當 $\sigma_{XY} = 0$ 我們說 隨機變數 $X,Y$ 彼此之間互 不相關
當 $\sigma_{XY}>0$ 我們說 隨機變數 $X,Y$ 彼此之間為 正相關
當 $\sigma_{XY} <0$ 我們說 隨機變數 $X,Y$ 彼此之間為 負相關
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一但有了共變異，第一個立即的問題便是此共變異與原本各自變異之間的關係是什麼？以下 FACT 對此問題給出回答：

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FACT: 對任意 $X,Y \in L^2$，其共變異數之上界可表為
$$
|\sigma_{XY}| \leq \sigma_X \sigma_Y
$$=============
Proof: 首先觀察
\[{\sigma _{XY}} = E\left[ {\left( {X - E\left[ X \right]} \right)\left( {Y - E\left[ Y \right]} \right)} \right]\]現在回憶 Cauchy-Schwarz Inequality ：對任意 $U,V \in L^2$ 之隨機變數， \[\left| {E\left[ {UV} \right]} \right| \leqslant \sqrt {E\left[ {{U^2}} \right]} \sqrt {E\left[ {{V^2}} \right]} \]故若我們令 $U:= X-E[X]$ 且 $V:= Y-E[Y]$ 則應用上述 Cauchy-Schwarz Inequality 立刻得到
\begin{align*}
  \left| {{\sigma _{XY}}} \right| &= \left| {E\left[ {\left( {X - E\left[ X \right]} \right)\left( {Y - E\left[ Y \right]} \right)} \right]} \right| \hfill \\
   & \leq \sqrt {E\left[ {{{\left( {X - E\left[ X \right]} \right)}^2}} \right]} \sqrt {E\left[ {{{\left( {X - E\left[ X \right]} \right)}^2}} \right]}  \hfill \\
  & = {\sigma _X}{\sigma _Y}. \;\;\;\;\;\;\; \square
\end{align*}

Comments:
一般而言，若 $\sigma_{XY} = \sigma_X \sigma_Y$ 我們稱 $X,Y$ 為 完全相關 (perfectly correlated)，反之若  $\sigma_{XY} = - \sigma_X \sigma_Y$ 則稱 $X,Y$ 為完全負相關(perfectly negative correlated)。


在統計學中常用與指出相關性的指標稱作 相關係數 (correlation coefficient) ，此係數可以由前述的共變異數與變異數直接定義如下：

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Definition: Correlation Coefficient of $X$ and $Y$
Correlation Coefficient of $X$ and $Y$, 記作 $\rho_{XY}$, 滿足
\[{\rho _{XY}}: = \frac{{{\sigma _{XY}}}}{{{\sigma _X}{\sigma _Y}}}
\]=================

Comment: 注意到由前述 FACT 可知 $-\sigma_X \sigma_Y \leq \sigma_{XY} \leq \sigma_X \sigma_Y$ 故
\[
-1 \leq \rho_{XY} \leq 1
\]



----附註---
與上述的相關係數有關的內容，有時候會定義所謂 相關函數 (correlation function)：

Definition: 令 $X,Y$ 為兩隨機變數，則我們定義 Correlation function between $X$ and $Y$  為  $E[XY]$

Comment:
1. correlation 決定了兩隨機變數何時具有線性相關。
2. 上述 correlation 事實上可視為 $L^2$ 空間之內積運算，在此不贅述。


Example: 
令 $X$ 為具有 mean $=0$ 與 variance $=1$ 的隨機變數，現在令 $Y := 2X$，試求  correlation between $X$ and $Y$
Solution
由定義出發，我們計算 $E[XY] = E[X 2X] = 2E[X^2]$。因為 $X$ 具有 unit variance 由 variance 定義可知 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ 亦即
\[\begin{array}{l}
Var(X) = E[{X^2}] - {(E[X])^2}\\
 \Rightarrow 1 = E[{X^2}] - 0\\
 \Rightarrow E[{X^2}] = 1
\end{array}\]
故 $E[XY]  = 2E[X^2] =2$