2017年3月21日 星期二

[投資理論] 分散化投資有副作用嗎? - 以互不相關資產組合為例

假設今天我們考慮買入並持有僅僅某單一股票直到明年在賣出,那麼若明年股票大跌,則我們很容易血本無歸。一個避免血本無歸的說法為:不如我們改持有多個不同種類的股票來"分散化風險",來試圖達到降低這種遭受大跌打擊的危險。傳統西方諺語說: Do not put all your eggs in one basket 可以說是上述思想的最佳寫照,那麼我們想問以下兩個問題:

1. 分散化策略在數學上的建模為何?
2. 如果分散化確實能降低風險,是否有任何副作用?代價是什麼?

上述第一個問題在 [投資組合理論] 投資組合的 期望報酬 與 風險變異 已作出討論,以下本文試圖回答上述第二個問題,首先回憶投資組合理論中簡單的 Markowitz 單期投資問題

基本 Markowtiz's 的單期 投資問題:
令 $V(0)$ 為初始帳戶金額,現在我們試圖建構一組由 $n$ 個資產組成投資組合,並打算持有一年 (or 單期)後賣出,其中任意第 $i$ 個 資產之收益率記為 $r_i$ 。為了分析投資組合的報酬與變異,我們必需先建構投資策略,再進行審視此投資組合之報酬率與變異:亦即,在期初時,我們對第 $i$ 個資產的投資策略定為
$$
I_i(0) := K_i V(0)
$$ 其中 $\sum_{i=1}^n K_i = 1$ 。 則 一年後 (單期過後) 的帳戶金額 $V(1)$ 可以表為
\begin{align*}
  V(1) &= V(0) + \sum\limits_{i = 1}^n {{I_i}} (0){r_i} \hfill \\
   &= \left( {1 + \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}} \right)V(0)
\end{align*} 也就是說 一年後 (單期過後) 投資組合之報酬為
\[{r_p}: = \frac{{V(1) - V\left( 0 \right)}}{{V(0)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i} \]則投資組合的期望收益率為
\[
E[{r_p}] : = E\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}} \right] = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}]\]其中 $r_i$ 表示第 $i$ 個資產的收益率。且對應的變異可表為
\begin{align*}
  Var[{r_p}] &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i} - E\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}} \right]} \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i} - \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E\left[ {{r_i}} \right]} \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {{{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}\left( {{r_i} - E\left[ {{r_i}} \right]} \right)} } \right)}^2}} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}\left( {{r_i} - E\left[ {{r_i}} \right]} \right)} } \right)\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_j}\left( {{r_j} - E\left[ {{r_j}} \right]} \right)} } \right)} \right] \hfill \\
   &= E\left[ {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}\left( {{r_i} - E\left[ {{r_i}} \right]} \right)} } \left( {{r_j} - E\left[ {{r_j}} \right]} \right)} \right] \hfill \\
   &= \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}E\left[ {\left( {{r_i} - E\left[ {{r_i}} \right]} \right)\left( {{r_j} - E\left[ {{r_j}} \right]} \right)} \right]} }  \hfill \\
   &= \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} }
\end{align*} 其中 $Cov(r_i,r_j)$ 表示 $r_i, r_j$ 之共變異。



為了分析簡便,我們首先針對一類特殊的投資組合進行討論:

簡化的理想世界:投資組合內資產互不相關:
若上述投資組合為由 $n$ 個 彼此互不相關 (uncorrelated) 資產 組成。(在此互不相關表示任意兩組資產其共變異為零。) 並且我們假設投資組合中對每一個資產給予相同權重,亦即我們取
\[
K_i := \frac{1}{n},\;\;\;\; \forall \; i=1,2,...,n
\] 也就是說,在期初時,我們對第 $i$ 個資產的投資策略為
$$I_i(0) = K_i V(0) = \frac{1}{n} V(0)$$ 則一年後投資組合之報酬為
\[{r_p}: = \frac{{V(1) - V\left( 0 \right)}}{{V(0)}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{r_i}} \]則投資組合的期望收益率為
\[
E[r_p] := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[r_i]
\]且對應的變異可利用 變異數 互不相關性質 $Var (\sum_i X_i) = \sum_i Var(X_i) $ 得到如下結果:
\begin{align*}
  Var({r_p}) &= Var\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{n}} {r_i}} \right) \hfill \\
   &= \sum\limits_{i = 1}^n {Var\left( {\frac{1}{n}{r_i}} \right)}  \hfill \\
   &=  \frac{1}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {Var\left( {{r_i}} \right)}
\end{align*}

Comments:
1. 上述結果告訴我們,當投資組合由 $n$ 個不同彼此互不相關 (uncorrelated) 資產組成且我們的投資策略為固定比率分配 $1/n$,則我們有
\[\left\{ \begin{gathered}
  E\left[ {{r_p}} \right] = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {E\left[ {{r_i}} \right]}  \hfill \\
  Var\left( {{r_p}} \right) = \frac{1}{{{n^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {Var\left( {{r_i}} \right)}  \hfill \\
\end{gathered}  \right.\]
當 $n$ 越大的時候 (投資組合越分散),則我們可以讓 組合變異越小甚至趨於零。亦即無風險狀態。故似乎暗示著投資人應著手進行分散風險把 $n$ 加到很大,但是注意到當 $n$ 變大的時候 (越分散化),所得的報酬也會隨之降低。亦即在此例子中顯示分散化確實可降低風險變異,但亦會降低期望報酬。或許我們可以說 "盲目" 的分散化風險似乎對投資人沒有太多益處。注意到對於上述分析為針對互不相關的例子,也許有讀者會認為這與真實股票市場脫節,因為股票市場中多隻股票可能彼此互為正相關或者負相關,但事實上若考慮資產彼此相關的情況,則讀者可猜測 分散化投資將不一定能完全讓風險消失。

2. 上述討論指出了 降低風險 與 提高報酬之間明顯的 權宜問題,Markowitz 在 1952 試圖透過一套系統性的最佳化方法來給出一種解答: 亦即我們將先給定一組目標報酬,並在這組目標報酬之下求得 一組最佳投資策略的權重 $K_i, \; i=1,2,...,n$ 使得 風險變異 最小化。這一套理論稱之為 Mean-Variance Portfolio Theory 其對應的最佳解稱之為 efficient froniter,在此不做贅述 。