此文將討論 Markowitz 在1952年針對單期 報酬-風險 投資策略所建構的最小變異投資組合理論，簡而言之就是以期望報酬為報酬，風險變異（或者標準差）為風險，試問如何建構一組投資組合並對各資產給定適當的權重使得風險變異被最小化。推導過程會用到一些必要的最佳化與線性代數的知識。
Markowitz 的單期投資組合的描述：
假設在期初手上有 $V(0)>0$ 資產，現在我們打算在期初時購入 $n$ 種 互為相關 的風險資產 (correlated risky asset) 用以建構投資組合，其個別資產之隨機報酬 表為 $r_1,r_2,....,r_n$ 且對應的 期望報酬 為 $E[r_1], E[r_2],...,E[r_n]$ 與 風險變異 $Var(r_1), Var(r_2),...,Var(r_n)$ 且 資產之間的共變異 為 $ Cov(r_i,r_j),\;\; \forall \; i,j=1,2,...,n$。
Comments:
為求分析簡便在以下分析中，我們建構的投資組合不考慮無風險資產 (risk-free asset)，亦即 $Var(r) = 0$ 的資產我們不考慮。
投資策略：
對於第 $i$ 資產之投資策略為對 $i=1,2,...,n$，令在期初之投資策略為 $I(0)$ 滿足
$$I_i(0) = K_i V(0)$$ 其中我們要求 $\sum_{i=1}^n K_i = 1$ （但允許 $K_i$ 為負值，亦即我們允許賣空）。
Comments:
一般投資書籍在討論上述投資策略或者廣義的資產配置問題時，多半僅稱呼 $K_i$ 為權重，且對於整體投資策略不多著墨。不過事實上，此類問題可以透過引入 控制理論 觀點，將投資策略視為標準回授控制 $I=KV$。
單期資產動態模型：
則我們打算持有單期 (比如說 一年) 則期末資產為
\[
V(1) = V(0) + \sum_{i=1}^n K_i r_i V(0)
\]則不難得知我們投資組合的期末報酬，記作 $r_p$ 可由上式推得為
\[{r_p}: = \frac{{V(1) - V(0)}}{{V(0)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}\]
並且回憶投資組合的期望收益率為
\[
E[{r_p}] = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}]\]且對應的變異可表為
\begin{align*}
Var[{r_p}] = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} }
\end{align*}
Markowitz 最小變異投資組合 的等價 最佳化問題：
為求取 Markowitz 最小變異投資組合，我們首先給定任意投資組合之期望報酬 $\widehat{r}$，並接著建構以下最佳化問題：
\begin{align*}
&\min \frac{1}{2}Var\left( {{r_p}} \right) \hfill \\
&s.t. \hfill \\
&E\left[ {{r_p}} \right] = \widehat r\;\;; \hfill \\
&\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1 \hfill \\
\end{align*}
利用前面推得的 $E[r_p], Var(r_p)$ ，我們知道上述最佳化問題等價為
\begin{align*}
& \min \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } \hfill \\
&s.t. \hfill \\
& \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] = \widehat{r}\;\;\;; \hfill \\
&\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1 \hfill \\
\end{align*}
注意到上述問題為具有等式拘束的最佳化問題。常用的工具為透過 Lagrange Multiplier 來求解必要條件。
Comments:
熟習線性代數與最佳化的讀者，應不難看出上述最佳化問題可被化約為二次規劃 (Quadratic Programming)問題，亦即目標函數為二次函數，且具有線性拘束的最佳化問題：
\[\begin{gathered}
\min {K^T}CK \hfill \\
s.t. \;\; AK = b \hfill \\
\end{gathered} \]其中 $K:= [K_1,K_2,...,K_n]$ 且 $C$ 為共變異矩陣其中第 $ij$ 個元素為 $Cov(r_i,r_j)$ 且拘束條件為
\[\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{E[{r_1}]}&{E[{r_2}]}& \cdots &{E[{r_2}]}&{E[{r_2}]} \\
1&1& \cdots &1&1
\end{array}} \right]}_A\underbrace {\left[ \begin{gathered}
{K_1} \hfill \\
{K_2} \hfill \\
\vdots \hfill \\
{K_n} \hfill \\
\end{gathered} \right]}_K = \underbrace {\left[ \begin{gathered}
{\hat r} \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right]}_b\]注意到上述討論中， $A$ 矩陣的變數比方程多，這一類特殊問題又稱 minimum norm problem，(亦即我們將 $min K^TCK := min ||K||_C^2 $) 。若 $rank(A) = 2$ 且共變異矩陣為正定矩陣 則有立刻的唯一解滿足拘束 $AK=b$ 且最小化 $K^TCK$ ，記作 $K^*$，如下
\[{K^*} = {C^{ - 1}}{A^T}{(A{C^{ - 1}}{A^T})^{ - 1}}b\]有興趣讀者可以自行驗證。以下我們將採用 Lagrange Muliplier 方式來求解此問題。
求解最小變異投資組合 (利用 Lagrange Multiplier)：
因為我們有兩條等式拘束，故可取 $\lambda, \mu$ 為 Lagrange Multiplier 並建構 Largangian 函數 $L$ 如下：
\[L: = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } - \lambda \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] - \widehat r} \right) - \mu \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} - 1} \right)\]
欲求最佳解的必要條件，我們對求 $L$ 每一個 $K_k$ ($k=1,2,...,n$) 之偏導數並令其為零，注意到在此我們須對雙重加總求導，一般常用的結果為以下 FACT:
==========
FACT: 有限雙重加總的求導
$$
\frac{\partial}{\partial x_k} \sum_{i, j} a_{i j} x_i x_j
= \sum_{i, j} a_{i j}
\left( \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j
+ x_i \frac{\partial x_j}{\partial x_k} \right)
= \sum_j a_{k j} x_j + \sum_i a_{i k} x_i
$$==========
Markowitz 的單期投資組合的描述：
假設在期初手上有 $V(0)>0$ 資產，現在我們打算在期初時購入 $n$ 種 互為相關 的風險資產 (correlated risky asset) 用以建構投資組合，其個別資產之隨機報酬 表為 $r_1,r_2,....,r_n$ 且對應的 期望報酬 為 $E[r_1], E[r_2],...,E[r_n]$ 與 風險變異 $Var(r_1), Var(r_2),...,Var(r_n)$ 且 資產之間的共變異 為 $ Cov(r_i,r_j),\;\; \forall \; i,j=1,2,...,n$。
Comments:
為求分析簡便在以下分析中，我們建構的投資組合不考慮無風險資產 (risk-free asset)，亦即 $Var(r) = 0$ 的資產我們不考慮。
投資策略：
對於第 $i$ 資產之投資策略為對 $i=1,2,...,n$，令在期初之投資策略為 $I(0)$ 滿足
$$I_i(0) = K_i V(0)$$ 其中我們要求 $\sum_{i=1}^n K_i = 1$ （但允許 $K_i$ 為負值，亦即我們允許賣空）。
Comments:
一般投資書籍在討論上述投資策略或者廣義的資產配置問題時，多半僅稱呼 $K_i$ 為權重，且對於整體投資策略不多著墨。不過事實上，此類問題可以透過引入 控制理論 觀點，將投資策略視為標準回授控制 $I=KV$。
單期資產動態模型：
則我們打算持有單期 (比如說 一年) 則期末資產為
\[
V(1) = V(0) + \sum_{i=1}^n K_i r_i V(0)
\]則不難得知我們投資組合的期末報酬，記作 $r_p$ 可由上式推得為
\[{r_p}: = \frac{{V(1) - V(0)}}{{V(0)}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} {r_i}\]
並且回憶投資組合的期望收益率為
\[
E[{r_p}] = \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}]\]且對應的變異可表為
\begin{align*}
Var[{r_p}] = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} }
\end{align*}
Markowitz 最小變異投資組合 的等價 最佳化問題：
為求取 Markowitz 最小變異投資組合，我們首先給定任意投資組合之期望報酬 $\widehat{r}$，並接著建構以下最佳化問題：
\begin{align*}
&\min \frac{1}{2}Var\left( {{r_p}} \right) \hfill \\
&s.t. \hfill \\
&E\left[ {{r_p}} \right] = \widehat r\;\;; \hfill \\
&\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1 \hfill \\
\end{align*}
利用前面推得的 $E[r_p], Var(r_p)$ ，我們知道上述最佳化問題等價為
\begin{align*}
& \min \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } \hfill \\
&s.t. \hfill \\
& \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] = \widehat{r}\;\;\;; \hfill \\
&\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1 \hfill \\
\end{align*}
注意到上述問題為具有等式拘束的最佳化問題。常用的工具為透過 Lagrange Multiplier 來求解必要條件。
Comments:
熟習線性代數與最佳化的讀者，應不難看出上述最佳化問題可被化約為二次規劃 (Quadratic Programming)問題，亦即目標函數為二次函數，且具有線性拘束的最佳化問題：
\[\begin{gathered}
\min {K^T}CK \hfill \\
s.t. \;\; AK = b \hfill \\
\end{gathered} \]其中 $K:= [K_1,K_2,...,K_n]$ 且 $C$ 為共變異矩陣其中第 $ij$ 個元素為 $Cov(r_i,r_j)$ 且拘束條件為
\[\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{E[{r_1}]}&{E[{r_2}]}& \cdots &{E[{r_2}]}&{E[{r_2}]} \\
1&1& \cdots &1&1
\end{array}} \right]}_A\underbrace {\left[ \begin{gathered}
{K_1} \hfill \\
{K_2} \hfill \\
\vdots \hfill \\
{K_n} \hfill \\
\end{gathered} \right]}_K = \underbrace {\left[ \begin{gathered}
{\hat r} \hfill \\
1 \hfill \\
\end{gathered} \right]}_b\]注意到上述討論中， $A$ 矩陣的變數比方程多，這一類特殊問題又稱 minimum norm problem，(亦即我們將 $min K^TCK := min ||K||_C^2 $) 。若 $rank(A) = 2$ 且共變異矩陣為正定矩陣 則有立刻的唯一解滿足拘束 $AK=b$ 且最小化 $K^TCK$ ，記作 $K^*$，如下
\[{K^*} = {C^{ - 1}}{A^T}{(A{C^{ - 1}}{A^T})^{ - 1}}b\]有興趣讀者可以自行驗證。以下我們將採用 Lagrange Muliplier 方式來求解此問題。
求解最小變異投資組合 (利用 Lagrange Multiplier)：
因為我們有兩條等式拘束，故可取 $\lambda, \mu$ 為 Lagrange Multiplier 並建構 Largangian 函數 $L$ 如下：
\[L: = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } - \lambda \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] - \widehat r} \right) - \mu \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} - 1} \right)\]
欲求最佳解的必要條件，我們對求 $L$ 每一個 $K_k$ ($k=1,2,...,n$) 之偏導數並令其為零，注意到在此我們須對雙重加總求導，一般常用的結果為以下 FACT:
==========
FACT: 有限雙重加總的求導
$$
\frac{\partial}{\partial x_k} \sum_{i, j} a_{i j} x_i x_j
= \sum_{i, j} a_{i j}
\left( \frac{\partial x_i}{\partial x_k} x_j
+ x_i \frac{\partial x_j}{\partial x_k} \right)
= \sum_j a_{k j} x_j + \sum_i a_{i k} x_i
$$==========
故利用上述 FACT ，我們首先對 Lagragian $L$ 的第一項雙重加總取導可得
\begin{align*} \frac{\partial }{{\partial {K_k}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } &= \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)\left( {\frac{\partial }{{\partial {K_k}}}{K_i}{K_j}} \right)} } \hfill \\ &= \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)\left( {\frac{{\partial {K_i}}}{{\partial {K_k}}}{K_j} + {K_i}\frac{{\partial {K_j}}}{{\partial {K_k}}}} \right)} } \hfill \\ &= \sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_j}} \right){K_j}} + \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_k}} \right){K_i}} \hfill \\ \end{align*}
利用 $Cov(r_i, r_j) = Cov(r_j, r_i)$ 的對稱性，我們可以計算出對 Lagragian $L$ 的求導：
\[\begin{gathered}
\frac{\partial }{{\partial {K_k}}}L = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_j}} \right){K_j}} + \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_k}} \right){K_i}} } \right) - \lambda E[{r_k}] - \mu \hfill \\
= \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu \hfill \\
\end{gathered} \]令此式為零可得 $n$ 條等式：
\[\frac{\partial }{{\partial {K_k}}}L = \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu : = 0, k=1,2,...,n\]
現在總結以上討論，我們得到以下結果：
給定期望報酬 $\widehat{r}$ 對各項資產之權重 $K_i$ $(i=1,2,..,n)$ 組成之投資組合可達成最小化變異的必要條件為 $K_i, \lambda, \mu$ 同時滿足下列 $n+2$ 條等式：
\[\left\{ \begin{align*}
& \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu = 0,\;\;\; k=1,2,...,n \hfill \\
& \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] = \hat r \hfill \\
& \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1 \hfill \\
\end{align*} \right.\]
一般而言，我們有 $n+2$ 條等式與 $n+2$ 個變數，依照線性代數基本定理可知若這些式子滿足 full row & colum rank條件，則上述方程組有解 $\{(K_1,K_2,...,K_n), \lambda, \mu\}$ 且此組解為唯一解。
Example: 不相關資產的例子：
假設有三種互不相關的資產，且假設
$$E[r_1] = 1, E[r_2] = 2, E[r_3] = 3
$$與
$$Var(r_1) = Var(r_2) = Var(r_3) = 1$$
且因為互不相關，各資產之間共變異為 $Cov(r_i,r_j) =0, \; \forall i,j=1,2,3, i \neq j$。
(a) 試求投資組合的風險變異 $Var[r_p]$ 與期望報酬 $E[r_p]$
(b) 現在給定任意 $\widehat{r}$ 試求出 $K_1^*,K_2^*,K_3^*$ 使得我們達成最小變異投資組合且滿足 $\sum_{i=1}^3 K_i = 1$ 且 $E[r_p] = \widehat{r}$。
(c) 利用part(b) 之解，試問最小變異之值為何？
Solution (a)
計算投資組合的期望報酬與變異如下：\[\begin{array}{l}
E[{r_p}] = {K_1}E[{r_1}] + {K_1}E[{r_1}] + {K_1}E[{r_1}]\\
= {K_1} + 2{K_1} + 3{K_1}
\end{array}\]
同理
\[\begin{array}{l}
Var[{r_p}] = \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^3 {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } \\
= {K_1}{K_1}Cov\left( {{r_1},{r_1}} \right) + {K_2}{K_2}Cov\left( {{r_2},{r_2}} \right) + {K_3}{K_3}Cov\left( {{r_3},{r_3}} \right)\\
= {K_1}^2 + {K_2}^2 + {K_3}^2
\end{array}\]
Solution (b)
定義 Lagrange Multiplier $\mu,\lambda$ ，並使用前述討論的結果
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu = 0,\;\;\;k = 1,2,...,n\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] = \hat r\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
Cov\left( {{r_1},{r_1}} \right){K_1} - \lambda E[{r_1}] - \mu = 0\\
Cov\left( {{r_2},{r_2}} \right){K_2} - \lambda E[{r_2}] - \mu = 0\\
Cov\left( {{r_3},{r_3}} \right){K_3} - \lambda E[{r_3}] - \mu = 0\\
{K_1}E[{r_1}] + {K_2}E[{r_2}] + {K_3}E[{r_3}] = \hat r\\
{K_1} + {K_2} + {K_3} = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{K_1} - \lambda - \mu = 0\\
{K_2} - 2\lambda - \mu = 0\\
{K_3} - 3\lambda - \mu = 0\\
{K_1} + 2{K_2} + 3{K_3} = \hat r\\
{K_1} + {K_2} + {K_3} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]上式可改寫為矩陣形式如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
{K_1} - \lambda - \mu = 0\\
{K_2} - 2\lambda - \mu = 0\\
{K_3} - 3\lambda - \mu = 0\\
{K_1} + 2{K_2} + 3{K_3} = \hat r\\
{K_1} + {K_2} + {K_3} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0&{ - 1}&{ - 1}\\
0&1&0&{ - 2}&{ - 1}\\
0&0&1&{ - 3}&{ - 1}\\
1&2&3&0&0\\
1&1&1&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{K_1}}\\
{{K_2}}\\
{{K_3}}\\
\lambda \\
\mu
\end{array}} \right] = \left[ \begin{array}{l}
0\\
0\\
0\\
{\hat r}\\
1
\end{array} \right]\]上述等式左方之矩陣為 full rank 反矩陣存在，故
\[\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{K_1}}\\
{{K_2}}\\
{{K_3}}\\
\lambda \\
\mu
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/6}&{ - 1/3}&{1/6}&{ - 1/2}&{4/3}\\
{ - 1/3}&{2/3}&{ - 1/3}&0&{1/3}\\
{1/6}&{ - 1/3}&{1/6}&{1/2}&{ - 2/3}\\
{1/2}&0&{ - 1/2}&{1/2}&{ - 1}\\
{ - 4/3}&{ - 1/3}&{2/3}&{ - 1}&{7/3}
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
0\\
0\\
0\\
{\hat r}\\
1
\end{array} \right]\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{K_1}^* = - \hat r/2 + 4/3\\
{K_2}^* = 1/3\\
{K_3}^* = \hat r/2 - 2/3
\end{array} \right.
\end{array}\]上述 $K_1,K_2,K_3$ 即為最佳解 (最小變異解)
Solution (c)
將 par(b) 的最佳解結果代回組合變異：
\[\begin{array}{l}
Var[{r_p}] = {K_1}^2 + {K_2}^2 + {K_3}^2\\
\Rightarrow Var{[{r_p}]^*} = {\left( {\frac{{ - \hat r}}{2} + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\hat r}}{2} - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2}(\hat r - 4)\hat r + \frac{7}{3}
\end{array}\]我們可進一步繪製 $\bar{r}$ vs $\sigma$ 如下圖所示 (這裡我們取標準差 $\sigma := \sqrt{Var(\cdot)}$ )
觀察上圖可以發現當 $\widehat{r} = 2$，我們可得到最小變異。
Comments:
一般金融文獻或者投資學文獻通常不繪製上圖，他們會將 x 軸定為風險 (亦即 $\sigma$) 並將 $y$ 軸定為 報酬。亦即一般繪製成類似 "子彈" 的形狀如下：
注意到此曲線的上半部稱為 efficient frontier，亦即給定任意報酬 $\widehat{r}$，上半部可得到較小風險。
\begin{align*} \frac{\partial }{{\partial {K_k}}}\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } &= \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)\left( {\frac{\partial }{{\partial {K_k}}}{K_i}{K_j}} \right)} } \hfill \\ &= \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)\left( {\frac{{\partial {K_i}}}{{\partial {K_k}}}{K_j} + {K_i}\frac{{\partial {K_j}}}{{\partial {K_k}}}} \right)} } \hfill \\ &= \sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_j}} \right){K_j}} + \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_k}} \right){K_i}} \hfill \\ \end{align*}
利用 $Cov(r_i, r_j) = Cov(r_j, r_i)$ 的對稱性，我們可以計算出對 Lagragian $L$ 的求導：
\[\begin{gathered}
\frac{\partial }{{\partial {K_k}}}L = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_j}} \right){K_j}} + \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_i},{r_k}} \right){K_i}} } \right) - \lambda E[{r_k}] - \mu \hfill \\
= \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu \hfill \\
\end{gathered} \]令此式為零可得 $n$ 條等式：
\[\frac{\partial }{{\partial {K_k}}}L = \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu : = 0, k=1,2,...,n\]
現在總結以上討論，我們得到以下結果：
給定期望報酬 $\widehat{r}$ 對各項資產之權重 $K_i$ $(i=1,2,..,n)$ 組成之投資組合可達成最小化變異的必要條件為 $K_i, \lambda, \mu$ 同時滿足下列 $n+2$ 條等式：
\[\left\{ \begin{align*}
& \sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu = 0,\;\;\; k=1,2,...,n \hfill \\
& \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] = \hat r \hfill \\
& \sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1 \hfill \\
\end{align*} \right.\]
一般而言，我們有 $n+2$ 條等式與 $n+2$ 個變數，依照線性代數基本定理可知若這些式子滿足 full row & colum rank條件，則上述方程組有解 $\{(K_1,K_2,...,K_n), \lambda, \mu\}$ 且此組解為唯一解。
Example: 不相關資產的例子：
假設有三種互不相關的資產，且假設
$$E[r_1] = 1, E[r_2] = 2, E[r_3] = 3
$$與
$$Var(r_1) = Var(r_2) = Var(r_3) = 1$$
且因為互不相關，各資產之間共變異為 $Cov(r_i,r_j) =0, \; \forall i,j=1,2,3, i \neq j$。
(a) 試求投資組合的風險變異 $Var[r_p]$ 與期望報酬 $E[r_p]$
(b) 現在給定任意 $\widehat{r}$ 試求出 $K_1^*,K_2^*,K_3^*$ 使得我們達成最小變異投資組合且滿足 $\sum_{i=1}^3 K_i = 1$ 且 $E[r_p] = \widehat{r}$。
(c) 利用part(b) 之解，試問最小變異之值為何？
Solution (a)
計算投資組合的期望報酬與變異如下：\[\begin{array}{l}
E[{r_p}] = {K_1}E[{r_1}] + {K_1}E[{r_1}] + {K_1}E[{r_1}]\\
= {K_1} + 2{K_1} + 3{K_1}
\end{array}\]
同理
\[\begin{array}{l}
Var[{r_p}] = \sum\limits_{i = 1}^3 {\sum\limits_{j = 1}^3 {{K_i}{K_j}Cov\left( {{r_i},{r_j}} \right)} } \\
= {K_1}{K_1}Cov\left( {{r_1},{r_1}} \right) + {K_2}{K_2}Cov\left( {{r_2},{r_2}} \right) + {K_3}{K_3}Cov\left( {{r_3},{r_3}} \right)\\
= {K_1}^2 + {K_2}^2 + {K_3}^2
\end{array}\]
Solution (b)
定義 Lagrange Multiplier $\mu,\lambda$ ，並使用前述討論的結果
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sum\limits_{i = 1}^n {Cov\left( {{r_k},{r_i}} \right){K_i}} - \lambda E[{r_k}] - \mu = 0,\;\;\;k = 1,2,...,n\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} E[{r_i}] = \hat r\\
\sum\limits_{i = 1}^n {{K_i}} = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
Cov\left( {{r_1},{r_1}} \right){K_1} - \lambda E[{r_1}] - \mu = 0\\
Cov\left( {{r_2},{r_2}} \right){K_2} - \lambda E[{r_2}] - \mu = 0\\
Cov\left( {{r_3},{r_3}} \right){K_3} - \lambda E[{r_3}] - \mu = 0\\
{K_1}E[{r_1}] + {K_2}E[{r_2}] + {K_3}E[{r_3}] = \hat r\\
{K_1} + {K_2} + {K_3} = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{K_1} - \lambda - \mu = 0\\
{K_2} - 2\lambda - \mu = 0\\
{K_3} - 3\lambda - \mu = 0\\
{K_1} + 2{K_2} + 3{K_3} = \hat r\\
{K_1} + {K_2} + {K_3} = 1
\end{array} \right.
\end{array}\]上式可改寫為矩陣形式如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
{K_1} - \lambda - \mu = 0\\
{K_2} - 2\lambda - \mu = 0\\
{K_3} - 3\lambda - \mu = 0\\
{K_1} + 2{K_2} + 3{K_3} = \hat r\\
{K_1} + {K_2} + {K_3} = 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0&{ - 1}&{ - 1}\\
0&1&0&{ - 2}&{ - 1}\\
0&0&1&{ - 3}&{ - 1}\\
1&2&3&0&0\\
1&1&1&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{K_1}}\\
{{K_2}}\\
{{K_3}}\\
\lambda \\
\mu
\end{array}} \right] = \left[ \begin{array}{l}
0\\
0\\
0\\
{\hat r}\\
1
\end{array} \right]\]上述等式左方之矩陣為 full rank 反矩陣存在，故
\[\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{K_1}}\\
{{K_2}}\\
{{K_3}}\\
\lambda \\
\mu
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/6}&{ - 1/3}&{1/6}&{ - 1/2}&{4/3}\\
{ - 1/3}&{2/3}&{ - 1/3}&0&{1/3}\\
{1/6}&{ - 1/3}&{1/6}&{1/2}&{ - 2/3}\\
{1/2}&0&{ - 1/2}&{1/2}&{ - 1}\\
{ - 4/3}&{ - 1/3}&{2/3}&{ - 1}&{7/3}
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
0\\
0\\
0\\
{\hat r}\\
1
\end{array} \right]\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{K_1}^* = - \hat r/2 + 4/3\\
{K_2}^* = 1/3\\
{K_3}^* = \hat r/2 - 2/3
\end{array} \right.
\end{array}\]上述 $K_1,K_2,K_3$ 即為最佳解 (最小變異解)
Solution (c)
將 par(b) 的最佳解結果代回組合變異：
\[\begin{array}{l}
Var[{r_p}] = {K_1}^2 + {K_2}^2 + {K_3}^2\\
\Rightarrow Var{[{r_p}]^*} = {\left( {\frac{{ - \hat r}}{2} + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + {\left( {\frac{{\hat r}}{2} - \frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2}(\hat r - 4)\hat r + \frac{7}{3}
\end{array}\]我們可進一步繪製 $\bar{r}$ vs $\sigma$ 如下圖所示 (這裡我們取標準差 $\sigma := \sqrt{Var(\cdot)}$ )
觀察上圖可以發現當 $\widehat{r} = 2$，我們可得到最小變異。
Comments:
一般金融文獻或者投資學文獻通常不繪製上圖，他們會將 x 軸定為風險 (亦即 $\sigma$) 並將 $y$ 軸定為 報酬。亦即一般繪製成類似 "子彈" 的形狀如下：
注意到此曲線的上半部稱為 efficient frontier，亦即給定任意報酬 $\widehat{r}$，上半部可得到較小風險。
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