跳到主要內容

[機率論] 動差生成函數 的 常見應用 (1)

令 $\Omega$ 為 樣本空間,定義 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ 為配備 機率分配函數 $f_X$ 的 隨機變數。

==================
Definition: k-th Moment
隨機變數 $X : \Omega \to \mathbb{R}$  的 k階 動差 (k-th moment) 定為 $E[X^k]$
==================


==================
Definition: Moment Generating Function
令 $X$ 為隨機變數,若存在 $\delta >0$ 使得對 $t \in (-\delta,\delta )$ 而言,期望值 $E[e^{tX}]$ 存在,則 $X$ 的 動差生成函數 (Moment Generating Function, mgf) 存在,且定義為
\[
M_X(t) := E[e^{tX}], \;\;\; t \in (-\delta,\delta )
\]除此之外,若上述條件成立則
\[
D_t^k E[e^{tX}] = E[D_t^k e^{tX}]
\]其中 $D_t^k $ 表示為對 $t$ 微分 $k$次 微分算子。
==================

Comments:
1. 動差生成函數 $M_X(t)$ 是一個以 $t$ 為變數 的函數,目的在於 "產生動差",至於如何產生我們會在下面進行討論。
2. 上述定義僅僅要求 mgf 在 $t = 0$ 附近開區間 $t \in (-\delta, \delta)$ 期望值存在,此條件也保證積分與微分互換性。
3. 若在開區間 $ t \in (-\delta, \delta)$ 期望值存在,立刻可得知 $M_X(0) = E[e^{0}] = 1$


FACT: 上述動差生成函數算是非常便利的工具,我們可以透過其產生各種具有常見分配的隨機變數之一,二階動差。假定某隨機變數之 mgf 存在,則此隨機變數的 k-th 動差表為
\[
D_t^k M_X (0) = E[X^k], \;\; k=1,2,...
\]

Comment:
由上述討論可知,若我們想求期望值則
\[
D_t M_X(0) = E[X]
\]若我們想求變異數則
\begin{align*}
Var(X) &= E[(X - E[X] )^2]\\
& = E[X^2] -(E[X])^2\\
& = D_t^2 M_X(0) - D_t M_X(0)
\end{align*}

==================
Theorem: MGF唯一決定分配函數且 兩 MGF 相等 保證 分配函數相等 
令 $X,Y$ 為兩隨機變數且其各自對應的 mgf $M_X, M_Y$ 在含 $0$ 開區間存在。則此兩隨機變數的分配函數 $$
F_X(z) = F_Y(z), \;\;\; \forall \;\; z \in \mathbb{R}
$$若且唯若 存在 $\delta >0$ 使得 對任意 $t \in (-\delta, \delta)$ 而言
$$M_X(t) = M_Y(t)$$
==================
Proof: omitted


Comments:
1. 上述定理是非常強大的結果,他說明了要決定某隨機變數的分配可以透過 mgf 來唯一決定。也就是說 mgf 與 分配函數為 1-1 對應,且如果當分配函數很困難取得,我們可以透過計算 mgf 來幫助我們確定分配。
2. 機率論中另外有一種函數稱作 特性函數 (characteristic function) 其作用與 mgf相仿,且永遠存在,定義為 $\varphi_X(t) := E[e^{i tX}]$,但是此式包含複數,一般在計算上會稍微比 mgf 複雜一些。


以下我們展示幾個例子來使用動差生成函數求得 期望值 與 變異數。首先我們看幾個離散隨機變數的例子:

==================
Example 1: Bernoulli Random Variable 的 期望值 與 變異數
令 $X$ 為 Bernoulli random variable 滿足 $P(X=1) = p$ 且 $P(X=0)=1-p$。
(a) 試問其 mgf 是否存在?若存在則求其 mgf
(b) 利用 part(a) 證明 $E[X] = p$ 與 $Var(X) = p (1-p)$。
==================

Proof (a): 以下我們使用 mgf 方法來求期望值 以及 變異數 ,首先計算 mgf ,由定義可知
\begin{align*}
  {M_X}(t) &= E\left[ {{e^{tX}}} \right] \hfill \\
   &= \sum\limits_{x \in \left\{ {0,1} \right\}}^{} {{e^{tx}}{f_X}\left( x \right)}  \hfill \\
   &= {e^{t1}}p + {e^{t0}}\left( {1 - p} \right) \hfill \\
   &= {e^t}p + \left( {1 - p} \right) \hfill \\
\end{align*} 注意到上式對任意 $t \in \mathbb{R}$ 成立,故存在 $\delta >0$ 使得對 $t \in (-\delta,\delta )$ 而言,期望值 $E[e^{tX}]$ 存在。

Proof (b): 
以下我們計算 mgf 的微分
\[\left\{ \begin{align*}
  {D_t}{M_X}(t) &= {D_t}\left( {{e^t}p + \left( {1 - p} \right)} \right) = {e^t}p \hfill \\
  D_t^2{M_X}(t) &= {e^t}p \hfill \\
\end{align*}  \right.\] 故 $ E[X] = {D_t}{M_X}(0) = p $ 且
\begin{align*}
 Var(X) &= D_t^2{M_X}(0) - {({D_t}{M_X}(0))^2} \hfill \\
 &= p - {p^2} = p\left( {1 - p} \right) \hfill \\
 \end{align*}至此得證 $\square$





==================
Example 2: Poisson Random Variable 的 期望值 與 變異數
令 $X \sim Poisson(\lambda)$ 為 Poisson random variable  配備機率密度函數
\[
f_X(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!},\;\;\; x=0,1,2,...
\]
(a) 試問其 mgf 是否存在?若存在則求其 mgf
(b) 利用 part(a) 求 $E[X] = \lambda$ 與 $Var(X) = \lambda$。
==================

Proof (a):
由 mgr 定義,我們觀察 \begin{align*}
  {M_X}\left( t \right) &= E\left[ {{e^{tX}}} \right] \hfill \\
   &= \sum\limits_{x = 0}^\infty  {{e^{tx}}{f_X}(x)}  \hfill \\
   &= \sum\limits_{x = 0}^\infty  {{e^{tx}}\frac{{{\lambda ^x}{e^{ - \lambda }}}}{{x!}}}  \hfill \\
   &= {e^{ - \lambda }}\underbrace {\sum\limits_{x = 0}^\infty  {\frac{{{{\left( {{e^t}\lambda } \right)}^x}}}{{x!}}} }_{ = {e^{{e^t}\lambda }}} = {e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }} \hfill \\
\end{align*}
上式最後一條等式成立因為
\[{e^z}: = \sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{z^k}}}{{k!}}},\;\;\; \forall \; z \in \mathbb{C} \]注意到 $M_X(t)$ 對任意 $t \in \mathbb{R}$ 有定義,故存在 $\delta >0$ 使得對 $t \in (-\delta,\delta )$ 而言,期望值 $E[e^{tX}]$ 存在。

Proof (b):
首先對 mgf 求一階 與 二階導數,
\[\left\{ \begin{gathered}
  {D_t}{M_X}\left( t \right) = {D_t}\left( {{e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}} \right) = {e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}\lambda {e^t} \hfill \\
  D_t^2{M_X}\left( t \right) = D_t^2\left( {{e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}\lambda {e^t}} \right) = {e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}{\left( {\lambda {e^t}} \right)^2} + {e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}\lambda {e^t} \hfill \\
\end{gathered}  \right.\] 故期望值為 $E\left[ X \right] = {D_t}{M_X}\left( 0 \right) = \lambda $ 且變異數為
\begin{align*}
  Var\left( X \right) &= D_t^2{M_X}\left( 0 \right) - {\left( {{D_t}{M_X}\left( 0 \right)} \right)^2} \hfill \\
   &= {\left. {\left( {{e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}{{\left( {\lambda {e^t}} \right)}^2} + {e^{\left( {{e^t} - 1} \right)\lambda }}\lambda {e^t}} \right)} \right|_{t = 0}} - {\lambda ^2} = \lambda  \hfill \\
\end{align*} 至此得證 $\square$






下面例子是 連續隨機變數 的情況。

=======================
Example 3: Normal Distribution
令 $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ 配備機率密度函數
\[{f_X}(x): = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\exp \left( { - \frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right), \;\;\; x \in \mathbb{R}
\]其中 $\mu \in \mathbb{R}, \sigma >0$
(a) 試求 $X$ 的 mgf
(b) 利用 part(a) 證明 $E[X] =\mu$ 與 $Var(X) =\sigma^2$
=======================

Proof: (a)
由定義出發,觀察
\begin{align*}
  {M_X}\left( t \right) &= E\left[ {{e^{tX}}} \right] \hfill \\
   &= \int_{ - \infty }^\infty  {{e^{tx}}{f_X}(x)} dx \hfill \\
   &= \int_{ - \infty }^\infty  {{e^{tx}}\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{ - \frac{{{{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dx \hfill \\
   &= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int_{ - \infty }^\infty  {{e^{\frac{{2{\sigma ^2}tx - {{\left( {x - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dx \hfill \\
   &= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{\frac{{ - {\mu ^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\int_{ - \infty }^\infty  {{e^{\frac{{ - \left( {{x^2} - 2\left( {{\sigma ^2}t + \mu } \right)x + {{\left( {{\sigma ^2}t + \mu } \right)}^2}} \right)}}{{2{\sigma ^2}}}}}{e^{\frac{{{{\left( {{\sigma ^2}t + \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dx \hfill \\
   &= \frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}{e^{\frac{{ - {\mu ^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}{e^{\frac{{{{\left( {{\sigma ^2}t + \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}\int_{ - \infty }^\infty  {{e^{\frac{{ - {{\left( {x - \left( {{\sigma ^2}t + \mu } \right)} \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dx \hfill \\
   &= {e^{\frac{{{\sigma ^2}{t^2} + 2\mu t}}{2}}}\underbrace {\frac{1}{{\sqrt {2\pi } \sigma }}\int_{ - \infty }^\infty  {{e^{\frac{{ - {{\left( {x - \left( {{\sigma ^2}t + \mu } \right)} \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}}}} dx}_{ = 1{\text{ }}\left( {{\text{pdf of normal }}\mathcal{N}\left( {\mu+\sigma^2 t ,{\sigma ^2}} \right)} \right)} \hfill \\
   &= {e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}} \hfill \\
\end{align*}

Proof (b):
以下我們計算 mgf 的微分
\[\left\{ \begin{align*}
  {D_t}{M_X}\left( t \right) &= {D_t}\left( {{e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}} \right) = {e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}\left( {\mu  + {\sigma ^2}t} \right) \hfill \\
  D_t^2{M_X}\left( t \right) &= {D_t}\left( {{e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}\left( {\mu  + {\sigma ^2}t} \right)} \right) = {e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}{\left( {\mu  + {\sigma ^2}t} \right)^2} + {e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}{\sigma ^2} \hfill \\
\end{align*}  \right.\]故對應的期望值為
\[E\left[ X \right] = {D_t}{M_X}\left( 0 \right) = {\left. {{e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}\left( {\mu  + {\sigma ^2}t} \right)} \right|_{t = 0}} = \mu \]
且 變異數 為
\begin{align*}
  Var\left( X \right) &= D_t^2{M_X}\left( 0 \right) - {\left( {D_t^1{M_X}\left( 0 \right)} \right)^2} \hfill \\
   &= {\left. {\left( {{e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}{{\left( {\mu  + {\sigma ^2}t} \right)}^2} + {e^{\mu t + \frac{{{\sigma ^2}{t^2}}}{2}}}{\sigma ^2}} \right)} \right|_{t = 0}} - {\mu ^2} \hfill \\
   &= {\sigma ^2} \hfill \\
\end{align*} 至此得證 $\square$

留言

這個網誌中的熱門文章

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if  ( 此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。) 中文翻譯叫做  若且唯若 (or 當且僅當) , 記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。 在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種 雙條件句 ,通常可以直接將其視為" 定義(Definition)" 待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他 假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B. 注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。 現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B" 好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢? 事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是 "( A if B ) and ( A only if B )" 那麼先針對第一個部分  A if B  來看, 其實這句就是說  if B then A, 更直白一點就是 "if B is true, then A is also true".  在數學上等價可以寫為 "B implies A" .  或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A"  現在針對第二個部分  A only if B 此句意指  "If B is not true, then A is also not true". 所以如果已知 A is true,  那麼按照上句不難推得 B is also true 也就是說  A only if B  等價為 "If A is true then B is also true". 同樣,也可以寫作   "A implies B"   或者用箭頭表示  "A   $\Rightarrow$     B".

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念: Norm: 一般翻譯成 範數 (在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣), 也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。 事實上想法是這樣的: 比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "! 但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說 \[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T \]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$??? 再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣 \[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 3&4 \end{array}} \right] \],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。 也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。 故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來) ================== Definition: Norm 考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質