謝宗翰的隨筆

下列 Bessel's inequality 在 泛函分析 與 Fourier 分析中扮演重要角色，此不等式表示給定任意在 Hilbert Space 中的點 $x$ (e.g., $L^2$ 空間上 封閉子集的函數)， 且給定一組 Hilbert Space 上的正交基底函數 (e.g., complex exponential function, $\{e_i\}$) 則 任意點 $x$ 透過 $\{e_i\}$ 作為基底展開的係數平方和 有上界 且此上界剛好為 $||x||^2$。此不等式的證明要求對內積的性質有進一步掌握，個人認為是很好的練習。

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Theorem: Bessel's Inequality
令 $H$ 為 Hilbert Space 且 $x \in H$。若 $\{e_i\} \subset H $ 為一組 orthonormal sequence 則
\[
\sum_{i=1}^\infty | \langle x,e_i \rangle |^2 \leq ||x||^2
\]其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 為 $H$ 上的內積運算。
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Proof:
令 $\{e_i\} \subset H $ 為一組 orthonormal sequence 且 $x \in H$，現在觀察 $x$ 與 部分和$\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle$ 的差異 (透過內積)：
\begin{align*}
  0 \leqslant {\left\| {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\|^2} &= \left\langle {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } {e_i},x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\rangle  \hfill \\
   &= \left\langle {x,x} \right\ra…

以下討論 點估計理論 中一些比較重要的性質與應用。

令 $\Theta$ 為某參數空間。

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Definition: (Point) Estimator and Estimate
給定 $X_1,...,X_n$ 為 i.i.d. 隨機試驗 來自 pdf $f(x;\theta)$ 其中 $\theta \in \Theta$ 為未知參數，現在定義新的隨機變數 $\widehat \theta$ 為  $X_1,...,X_n$ 的函數，寫為
\[
\widehat \theta := \widehat \theta(X_1,...,X_n)
\]則我們稱此 $\widehat \theta$ 為用以估計參數  $\theta$ 的估計量 (estimator of $\theta$)，且若我們能取得隨機樣本的觀察值，比如 $X_1 = x_1,X_2=x_2,...,X_n = x_n$ 則我們稱
\[
\widehat \theta := \widehat \theta(x_1,...,x_n)
\]為參數 $\theta$ 的估計值(estimate)
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Comments:
1. 參數 $\theta$ 為分配中的未知常數，但估計量 $\widehat \theta$ 為隨機變數
2. 在數理統計中的 隨機取樣 與 機率論中 iid 隨機變數 視為等價敘述。
3. $\widehat \theta$為  $X_1,...,X_n$ 的函數，但與 $\theta$ 無關！在數理統計中稱此與待估計參數無關的性質為 統計量 (static)。



那麼怎樣的估計量才算是 "好" 的估計量？以下給出一些常見的 "好" 估計量定義。


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Definition: What "Good" Properties Should an Estimator Hold? 
令 \[
\widehat \theta := \widehat \theta(X_1,...,X_n)
\] 為某未知參數 $\theta$ 的估計量，則
我們稱 $\widehat \theta $ 為 不偏估計量(unbiased estimator…