下列 Bessel's inequality 在 泛函分析 與 Fourier 分析中扮演重要角色,此不等式表示給定任意在 Hilbert Space 中的點 $x$ (e.g., $L^2$ 空間上 封閉子集的函數), 且給定一組 Hilbert Space 上的正交基底函數 (e.g., complex exponential function, $\{e_i\}$) 則 任意點 $x$ 透過 $\{e_i\}$ 作為基底展開的係數平方和 有上界 且此上界剛好為 $||x||^2$。此不等式的證明要求對內積的性質有進一步掌握,個人認為是很好的練習。 ====================== Theorem: Bessel's Inequality 令 $H$ 為 Hilbert Space 且 $x \in H$。若 $\{e_i\} \subset H $ 為一組 orthonormal sequence 則 \[ \sum_{i=1}^\infty | \langle x,e_i \rangle |^2 \leq ||x||^2 \]其中 $\langle \cdot, \cdot \rangle$ 為 $H$ 上的內積運算。 ====================== Proof: 令 $\{e_i\} \subset H $ 為一組 orthonormal sequence 且 $x \in H$,現在觀察 $x$ 與 部分和$\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle$ 的差異 (透過內積): \begin{align*} 0 \leqslant {\left\| {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\|^2} &= \left\langle {x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle } {e_i},x - \sum\limits_{i = 1}^n {\langle x,{e_i}\rangle {e_i}} } \right\rangle \hfill \\ &= \left\langl
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya