2017年12月19日 星期二

[凸分析] 凸性 與 齊次性 的關聯 (1):定義 與 一些常見例子


Definition:  Homogenous Function of Degree Alpha
令 $C \subset \mathbb{R}^n$ 為 convex cone。我們說函數 $f: C \to \mathbb{R}$ 為  $\alpha$ 次齊次函數 (homogeneous of degree $\alpha \in \mathbb{R}$) 若下列條件成立:
對任意 $x \in C$,
\[
f(t x) = t^\alpha f(x),\;\;\; \forall t >0
\]

Comments:
1.上述 齊次函數 定義可以推廣到不是在 convex cone上而是任意向量空間,但一般做 convex cone的假設是為了 其他在凸分析上的 用途。在比較深入的凸分析教材中,可能會探討所謂 廣義凸性(generalized convexity)比如 quasi-convexity, quasi-concavity, semi-strictly quasi-convexity 等等,則此時函數定義域 需要是凸集。

2. 注意到 degree of homogeneity $\alpha \in \mathbb{R}$,意指 此 $\alpha$ 為任意實數,正數,負數,零 或者其他都可以。

3. 我們說 $f$ 為 homogenous of degree $0$ 若對任意 $x \in C$,
\[
f(tx) = f(x), \forall t>0
\]若 $f$ 為 homogenous of degree $1$ 一般稱之為 linearly homogeneous ,亦即 對任意 $x \in C$
\[
f(tx) = t f(x), \forall t>0
\] 以下我們看幾個例子:

Example 1
考慮 需求函數 (Demand Function)
\[
D(p,R) := \frac{R}{p}
\]其中 $p > 0$ 為 price of a good 且 $R>0$ 為 income,試證此函數為 homogeneous of degree 0

Proof: 令 $C :=\{(p,r): p>0, R>0\}$,則此集合為一個 convex cone,現在觀察對任意 $(p,r) \in C$,
\[
D(tp, tR) = \frac{tR}{tp} = \frac{R}{p} = t^0 D(p,r)
\]上式對任意 $t>0$ 成立,故由定義可知 $D(p,r)$ 為 homogenous of degree zero,至此證畢。$\square$


Example 2:
考慮 生產函數 (Production Function)
\[
f(L,K) := L^{1/3} K^{2/3}
\]其中 $L>0$ 為投入的勞力 (labour) 且 $K>0$ 為 投入資本 capital,試證生產函數 $f$ 為 homogenous of degree $1$

Proof: 令 $C:= \{(L,K): L>0, K>0\}$ ,則可知 $C$ 為一個 convex cone。現在取任意 $(L,K) \in C$,我們有
\[f(tL,tK): = {\left( {tL} \right)^{1/3}}{\left( {tK} \right)^{2/3}} = t{\left( L \right)^{1/3}}{\left( K \right)^{2/3}} = t f(L,K)
\]上式對任意 $t>0$ 成立,故由定義可知 $D(p,r)$ 為 homogenous of degree zero,至此證畢。$\square$

Comments:
上述的生產函數 在經濟學中被稱為 Cobb-Douglas Function,在一般 計量經濟 中通常記作
\[
f(K,L) := A K^\alpha L^{1- \alpha}
\]此式子命名來自 兩位美國學者 C. W. Cobb 與 P. H. Douglas 於 1927 提出,此函數用以估計生產量,但事實上此式早在 1900之前就由 瑞士經濟學家 Knut Wicksell 已率先提出。此為軼事與本文無關只是單純提及。


接著我們看個上述生產函數的推廣,在(個體)經濟學中常見的 Cobb-Douglas Function:

===============
Theorem: Generalized Cobb-Douglas Function is Homogenous of Degree Alpha
令 $A>0, x_i>0, \alpha_i>0, i =1,2,...,n$,定義 Cobb-Douglas 函數
\[
f(x): = Ax_1^{{\alpha _1}}x_2^{{\alpha _2}} \cdots x_n^{{\alpha _n}}
\]則 $f$ 為 Homogeneous of degree $\alpha := \sum_{i=1}^n \alpha_i$
===============

Proof: 令 $C:=\{x=(x_1,x_2,...,x_n): x_i >0\}$ ,則不難發現 $C$ 為  convex cone,現在取任意 $x = (x_1,...,x_n) \in C$,我們觀察
\begin{align*}
  f(tx) &: = A\left( {t{x_1}} \right)_{}^{{\alpha _1}}\left( {t{x_2}} \right)_{}^{{\alpha _2}} \cdots \left( {t{x_n}} \right)_{}^{{\alpha _n}} \hfill \\
   &= A{t^{\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} }}\left( {{x_1}} \right)_{}^{{\alpha _1}}\left( {{x_2}} \right)_{}^{{\alpha _2}} \cdots \left( {{x_n}} \right)_{}^{{\alpha _n}} \hfill \\
   &= {t^{\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} }}\underbrace {A\left( {{x_1}} \right)_{}^{{\alpha _1}}\left( {{x_2}} \right)_{}^{{\alpha _2}} \cdots \left( {{x_n}} \right)_{}^{{\alpha _n}}}_{ = f\left( x \right)} \\
&= {t^\alpha }f\left( x \right)
\end{align*} 其中 $\alpha:= \sum_{i=1}^n \alpha_i$,上述等式對任意 $t>0$ 成立,故 $f$ 為 Homogeneous of degree $\alpha := \sum_{i=1}^n \alpha_i$,至此證畢。$\square$


Comments:
上述 Cobb-Douglas function $f$ 亦俱備 log-linear 性質,亦即對 $f$ 取 $\log (.)$ 之後為線性函數:觀察
\begin{align*}
 \log \left( {f\left( x \right)} \right) &= \log \left( {Ax_1^{{\alpha _1}}x_2^{{\alpha _2}} \cdots x_n^{{\alpha _n}}} \right) \hfill \\
   &= \log \left( A \right) + {\alpha _1}\log \left( {x_1^{}} \right) + {\alpha _2}\log \left( {x_2^{}} \right) + ... + {\alpha _n}\log \left( {x_n^{}} \right) \hfill \\
\end{align*} 由上述結果不難看出 $\log(f)$ 為 linear functions of $\log(x_1), \log(x_2),...,\log(x_n)$