[訊號處理] 離散時間 的 Parserval's Theorem

Discrete-Time Parserval's Theorem:

令 $x[n]$ 為 取實數值的離散時間訊號; i.e., 對任意整數 $n$ 而言，
 $x[n] \in \mathbb{R}$ 且令 $X(\omega) := DTFT(x[n])$，則下列等式成立  \[\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2} = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\left| {X\left( \omega  \right)} \right|}^2}d\omega } } \]其中 $DTFT(x[n])$ 表示 對 $x[n] $ 取 離散時間傅立葉轉換 (Discrete Time Fourier Transform, DTFT)，亦即
\[
X(\omega) := \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] e^{-j \omega n}
\]

Comments:

1. 在訊號處理或者訊號分析的領域，上述定理有可被賦予的物理意義：一般我們把 Parserval's theorem 等式左方 稱為 訊號 $x[n]$ 的 總能量 (total energy)，現在觀察右式表示對 $|X(\omega)|$ 做 $2 \pi$ 週期積分，因為 DTFT 為 $2\pi$ 週期，故右式 事實上是對所有的頻率積分等於 總能量，那麼被積分項 $|X(\omega)|$ 很自然的被稱作 頻譜密度 spectral (power) density。

2. 考慮 $x(t)$ 為訊號，則 $\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} $ 稱作此訊號的 total energy

3. 數學上的觀點，上述提及的 總能量  = 自己與自己在 函數空間做 內積 。
4. 另一種數學上的觀點：若 $x[n]$ 想成向量空間的一個向量，則總能量 $$\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {{{\left| {x\left[ n \right]} \right|}^2}} $$ 可想成 $x[n]$ "長度" 的平方 ($l_2$-norm 平方)。

5. Fourier 轉換 是保持長度(norm preserving)的一種 線性轉換。
6. 上述 定理中我們雖僅考慮任意 實數值訊號 $x[n] \in \mathbb{R}, \;\;\; \forall \; n$ ，但事實上此定理對 $x[n] \in \mathbb{C}$ 亦成立。
7. 當然，有 離散時間傅立葉轉換，亦有 反轉換，稱作 Inverse Discrete Time Fourier Transform, IDTFT。

以下我們給出上述定理的證明

Proof: 給定 $x[n]$ 與其對應的 DTFT $X(\omega)$，我們要證明 Parserval's theorem 等式成立。故首先定義一個 輔助函數

\[
y\left[ m \right]: = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {x\left[ n \right]x\left[ {n - m} \right]}  \;\;\; (\star)
\] 上述 $y$ 一般稱作是 $x$ 的 自相關函數 (auto-correlation function) 。定義此函數的好處是我們可以利用 DTFT的各種性質來求證 Parserval's theorem。現在觀察 \[
 y\left[ 0 \right] = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x\left[ 0 \right]x\left[ {n - 0} \right]} = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{x^2}\left[ n \right]}
 \]此為要證明的 Parserval's 等式左方。

接著我們觀察 auto-correlation function $y[n]$ 為時域訊號，可透過 IDTFT 來表示 (why?)，亦即
\[y[n] = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } Y (\omega ){e^{j\omega n}}d\omega \]注意到當 $n=0$，我們有
\[y[0] = {\left. {\left( {\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } Y (\omega ){e^{j\omega n}}d\omega } \right)} \right|_{n = 0}} = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } Y (\omega )d\omega \]至此不難發現若 $Y(\omega) = |X(\omega)|^2$ 則 Parseval's theorem得證。要達成此目標，我們觀察上述  $(\star)$式 事實上等價為
\[ y[n] = x[n] * x[-n]
\]其中 $*$ 表示 convolution。 (讀者應回憶 convolution 定義並自行驗證。) 回憶 DTFT 的 convolution 性質：亦即 時域 convolution 等價為 頻域做 multiplication。 故我們對 $(\star)$式 兩邊同取 DTFT 可得

\[y\left[ m \right] = x\left[ m \right]*x\left[ { - m} \right] \Rightarrow Y\left( \omega  \right) = X\left( \omega  \right){X^*}\left( \omega  \right) = |X(\omega)|^2\]

注意到在此我們使用了另一個 FACT: 若 $X(\omega) := DTFT(x[n])$，則 $DTFT(x[-n]) = X^*(\omega)$。

現在比較 $y[0]$ 可得\[\left\{ \begin{gathered} y\left[ 0 \right] = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{x^2}\left[ n \right]} \hfill \\ y[0] = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\left| {X\left( \omega \right)} \right|}^2}} d\omega \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\left| {X\left( \omega \right)} \right|}^2}} d\omega = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{x^2}\left[ n \right]} \]至此證明完畢。$\square$