[機率論] 關於含有 Factorial 函數的求導的注意事項 - Erlang 分佈為例

在某些情況，我們可能會希望對含有 Factorial (比如說 $k!$, $k \in \mathbb{N}$) 的函數 取導數，但在求導 的過程中有些細微的部分需要多加留意。以下我們用一個例子來體現。

令 $m \in \mathbb{N}$，考慮隨機變數 $X$ 配備 Erlang 分佈
$$
F_X(x) := 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \frac{(\lambda x)^k}{k!} e^{-\lambda x}, x>0
$$ 試證 其 機率密度函數 (Probability Density Function, pdf) $f_X$ 滿足
\[{f_X}\left( x \right) = \frac{{{{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right)}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}\lambda {e^{ - \lambda x}}\]

(FALSE) Proof:
首先注意到分佈函數可導，故我們可利用 分佈函數的導數 為 密度函數 的性質 ($F'(x) = f(x)$)，來求得 $f_X$。現在對 $F_X$ 求導
\[\frac{d}{{dx}}{F_X}(x) =  - \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {\left( {\underbrace {\frac{{k{{(\lambda x)}^{k - 1}}\lambda }}{{k!}}{e^{ - \lambda x}}}_{**} + \frac{{{{(\lambda x)}^k}}}{{k!}}\left( { - \lambda } \right){e^{ - \lambda x}}} \right)} \]注意到summation的第一項 $(**)$，讀者可能會很自然地認為 $**$ 可寫成
\[\frac{{k{{(\lambda x)}^{k - 1}}\lambda }}{{k!}}{e^{ - \lambda x}} = \frac{{k{{(\lambda x)}^{k - 1}}\lambda }}{{k\left( {k - 1} \right)!}}{e^{ - \lambda x}}\]
然後試圖對 分子分母的 $k$對消。但注意到此項 是在 summation內部，若對 分子 與 分母 進行 對消將產生問題，因為當 $k=0$ 時候會出現 難以處理未定義的 $-1!$ 。到此我們無法繼續進行，該怎麼避免這種問題呢？我們必須將可能出問題的 $k=0$ 項次分開討論。

Proof:
首先改寫

\[{F_X}(x): = 1 - \sum\limits_{k = 0}^{m - 1} {\frac{{{{(\lambda x)}^k}}}{{k!}}} {e^{ - \lambda x}} = 1 - (\lambda x){e^{ - \lambda x}} - \sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\frac{{{{(\lambda x)}^k}}}{{k!}}} {e^{ - \lambda x}}\]再取導數
\[\small
 \begin{align*}
  \frac{d}{{dx}}{F_X}(x) &= 0 - \left[ {\left( { - \lambda } \right){e^{ - \lambda x}} + \sum\limits_{k = 1}^{m - 1} {\left( {\frac{{k{{(\lambda x)}^{k - 1}}\lambda }}{{k!}}{e^{ - \lambda x}} + \frac{{{{(\lambda x)}^k}}}{{k!}}\left( { - \lambda } \right){e^{ - \lambda x}}} \right)} } \right] \hfill \\
   & =   - \left[ {\left( { - \lambda } \right){e^{ - \lambda x}} + \left( {\left( {\frac{{{{(\lambda x)}^0}}}{{1!}} - \frac{{{{(\lambda x)}^1}}}{{1!}}} \right) + \left( {\frac{{2{{(\lambda x)}^1}}}{{2!}} - \frac{{{{(\lambda x)}^2}}}{{2!}}} \right) + ... + \left( {\frac{{\left( {m - 1} \right){{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right) - 1}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}} - \frac{{{{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right)}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}} \right)} \right)\lambda {e^{ - \lambda x}}} \right]\hfill \\
  & = \lambda {e^{ - \lambda x}} - \left( {\frac{{{{(\lambda x)}^0}}}{{1!}}\underbrace { - \frac{{{{(\lambda x)}^1}}}{{1!}} + \frac{{2{{(\lambda x)}^1}}}{{2!}}}_{ = 0}\underbrace { - \frac{{{{(\lambda x)}^2}}}{{2!}} + \frac{{3{{(\lambda x)}^2}}}{{3!}}}_{ = 0}\underbrace { - \frac{{{{(\lambda x)}^3}}}{{3!}} + }_{ = 0}...\underbrace { + \frac{{\left( {m - 1} \right){{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right) - 1}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}}_{ = 0} - \frac{{{{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right)}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}} \right)\lambda {e^{ - \lambda x}} \hfill \\
  & = \lambda {e^{ - \lambda x}} - \left( {1 - \frac{{{{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right)}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}} \right)\lambda {e^{ - \lambda x}} \hfill \\
   &= \frac{{{{(\lambda x)}^{\left( {m - 1} \right)}}}}{{\left( {m - 1} \right)!}}\lambda {e^{ - \lambda x}} \hfill \\
\end{align*} \]上述第三行等式為 telescoping sum，中間各項等於 $0$。至此證畢。$\square$