[訊號與系統] LTI系統輸入輸出關係由 Convolution 決定 - 從離散時間觀點

以下我們討論 為何 線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI) 系統 輸入與輸出關係 由 所謂的 convolution 表示。為了避免過多繁雜的數學，以下僅討論離散時間的情況。首先我們需要一些定義的幫助：

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Definition: Unit Impulse Function in Discrete-Time (Kronecker Delta)
我們說函數 $\delta: \mathbb{N} \to \{0,1\}$ 為 unit impulse function in discrete-time time 若 $\delta$ 滿足
\[\delta \left[ n \right] = \left\{ \begin{gathered}
  1,\;\;\;\;n = 0 \hfill \\
  0,\;\;\;\; o.w. \hfill \\
\end{gathered}  \right.
\]========================

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Definition: Impulse Response
給定任意系統配備輸入 $x[n]$ 與輸出 $y[n]$ 關係為 $y[n] = T\{x[n]\}$其中 $T$ 視為 operator (定義在某函數空間)，若輸入為 $x[n]=\delta[n]$ 則 輸出
\[
h[n] := y[n] = T\{\delta[n]\}
\]稱為系統 $T$ 的 脈衝響應 (impulse response)
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FACT: 任意離散訊號 $x[n]$ 可由 $\delta$ 做組合疊加，亦即
\[
x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[i] \delta[n-k]
\]========================
Proof: 證明顯然，在此不做贅述。$\square$



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Definition: Linear System
給定系統 $T$ 滿足以下輸入與輸出關係： $y_1[n]=T\{x_1[n]\}$ 且 $y_2[n] = T\{x_2[n]\}$。現在定義 $x[n] =ax_1[n] + bx_2[n]$ 其中 $a,b \in \mathbb{R}$則我們說系統 $T$ 為 linear 若下列條件成立
\[
y[n] = T\{x[n]\}
\]且 $y[n] = a y_1[n] + b y_2[n]$
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Remarks:
上述 系統 $T$  其實可看按作 泛函分析中的 operator。故線性系統 就是 泛函分析中的 線性算子 (linear operator)。



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Definition: Time-Invariant System
給定系統 $T$ 滿足以下輸入與輸出關係： $y[n]=T\{x[n]\}$。現在定義 $x[n] :=x[n-d]$  其中 $d \in \mathbb{N}$ 則我們說 $T$ 為 time-invariant 若下列條件成立
\[
y[n-d] = T\{x[n-d]\}
\]========================


有了以上定義的幫助，我們現在有辦法給出以下為何 LTI 系統的輸入輸出關係確實為 convolution。


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Theorem: LTI input-output Relationship is Governed by Convolution
給定 線性非時變 (LTI)系統 $L$ 滿足
\[
y[n] = L\{x[n]\}
\]其中 $L$ 為 linear operator，則
\[
y[n] = \sum_k h[k] x[n-k]
\]========================
Proof:
由於 任意 輸入 $x[n]$ 皆可被表為 脈衝函數的 組合：
\[
x[n] = \sum_{k = -\infty}^\infty x[k] \delta[n-k]
\]現在將此訊號作為LTI系統 $L$ 的輸入，則由於 $L$ 為 linear operator 我們有
\begin{align*}
  y[n] &= L\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} \\
&= L\left\{ {\sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  x [k]\delta [n - k]} \right\} \hfill \\
   &= \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  x[k] L\left\{ \delta [n - k] \right\}  \;\;\;\; (*)
\end{align*} 接著因為 $L$ 為 time-invariant 我們可進一步改寫
\[L\left\{ {\delta [n - k]} \right\} = h\left[ {n - k} \right] \;\;\;\; (**)
\]故由 $(*)$ 與 $(**)$ 可得
\[y[n] = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {x[k]h\left[ {n - k} \right]} \]即為所求。$\square$

Comments:
上述 \[
y[n] = \sum\limits_{k =  - \infty }^\infty  {x[k]h\left[ {n - k} \right]}
\]一般又稱作 $x[n]$ 與 $h[n]$ convolution sum。記作
\[
y[n] = x[n] * h[n]
\]