跳到主要內容

[測度論] DCT 應用:積分例子(1)

試證下列積分
\[
\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx = 0
\] Proof: 對任意 $x \in [0,\infty)$而言,令 $f_n(x):=(1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)$,則 $f_n \to 0$。另外我們注意到 因為 $\sin(x/n) \leq 1 $ 以及利用 附註的 Claim 可知 $(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}$ 故
\[
f_n(x) = (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n) \leq e^{-x}
\]現在我們令 $g(x):=e^{-x} \in L^1([0,\infty),m)$。為此我們觀察
\[
\int_0^\infty e^{-x} dx = 1 < \infty
\]故 $g \in L^1([0,\infty),m)$ 且 $|f_n(x)| \leq g(x)$,故由 Dominanted Convergence Theorem 可知
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx &=  \int_0^\infty \lim_{n \to \infty}(1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx\\
&=\int_0^\infty  0 dx = 0
\end{align*}
至此證明完畢。$\square$



Claim: 對任意 $x\in(0,\infty)$ 與 $n \in \mathbb{N}$,我們有 \[
(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}
\] Proof:
注意到 $\log (1+x/n)^{-n} = -n \log(1+x/n) \leq -n \frac{x}{n}=-x$。現在對兩邊同取 $exp()$ 可得
\[
(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}
\]至此得證。$\square$

留言

這個網誌中的熱門文章

[數學分析] 淺談各種基本範數 (Norm)

這次要介紹的是數學上一個重要的概念:

Norm:一般翻譯成範數
(在英語中 norm 有規範的意思,比如我們說normalization就是把某種東西/物品/事件 做 正規化,也就是加上規範使其正常化),不過個人認為其實翻譯成 範數 也是看不懂的...這邊建議把 Norm 想成長度就好 (事實上norm是長度的抽象推廣),

也許讀者會認為好端端的長度不用,為何又要發明一個 norm 來自討苦吃?? 既抽象又艱澀。

事實上想法是這樣的:
比如說現在想要比較兩個數字 $3$ , $5$ 之間的大小,則我們可以馬上知道 $ 3 < 5 $;同樣的,如果再考慮小數與無理數如 $1.8753$ 與 $\pi$,我們仍然可以比較大小 $1.8753 < \pi = 3.1415...$ 故可以發現我們有辦法對 "純量" 做明確的比大小,WHY? 因為前述例子中 $3$, $5$, $1.8753$ or $\pi$ 其各自的大小有辦法被 "measure "!

但是如果是現在考慮的是一組數字 我們如何去measure 其大小呢?? 比如說
\[x:=[1, -2, 0.1, 0 ]^T
\]上式的大小該是多少? 是 $1$? $-2$? $0.1$???
再者如果更過分一點,我們考慮一個矩陣
\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
3&4
\end{array}} \right]
\],想要知道這個矩陣的大小又該怎麼辦?? 是 $1$ ? $2$ 還是 $4$ ?..其實現階段我們說不清楚。

也正是如此,可以發現我們確實需要新的 "長度" 的定義來幫助我們如何去 measure 矩陣/向量/甚至是函數的大小。

故此,我們首先定義甚麼是Norm,(也就是把 "長度" or "大小" 的本質抽離出來)

==================
Definition: Norm
考慮 $V$ 為一個向量空間(Vector space),則我們說  Norm 為一個函數 $||\cdot|| : V \rightarrow \mathbb{R}$ 且滿足下列性質:

(a) $||v|| \geq 0$, $||v||=…

[數學分析] 什麼是若且唯若 "if and only if"

數學上的 if and only if
 (此文不討論邏輯學中的 if and only if,只討論數學上的 if and only if。)

中文翻譯叫做 若且唯若 (or 當且僅當),記得當初剛接觸這個詞彙的時候,我是完全不明白到底是甚麼意思,查了翻譯也是愛莫能助,畢竟有翻跟沒翻一樣,都是有看沒有懂。

在數學上如果看到 if and only if  這類的句子,其實是表示一種雙條件句,通常可以直接將其視為"定義(Definition)"待之,今天要分享的是這樣的一個句子如何用比較直觀的方法去看他

假設我們現在有 兩個邏輯陳述句 A 與  B.
注意到,在此我們不必考慮這兩個陳述句到底是什麼,想表達什麼,或者到底是否為真(true),這些都不重要。只要知道是兩個陳述即可。

現在,考慮新的陳述:  "A if and only if B"
好了,現在主角登場,我們可以怎麼看待這個句子呢?
事實上我們可以很直覺的把這句子拆成兩部分看待,也就是
"( A if B ) and ( A only if B )"

那麼先針對第一個部分 A if B 來看,
其實這句就是說 if B then A,
更直白一點就是 "if B is true, then A is also true". 
在數學上等價可以寫為 "B implies A". 
或者更常用一個箭頭符號來表示 "B $\Rightarrow$  A" 

現在針對第二個部分 A only if B
此句意指 "If B is not true, then A is also not true".
所以如果已知 A is true, 那麼按照上句不難推得 B is also true
也就是說 A only if B 等價為 "If A is true then B is also true".
同樣,也可以寫作"A implies B"
或者用箭頭表示 "A $\Rightarrow$  B".

所以現在總結如下,下列七個 if and only if 陳述完全等價:

"A if and only if B" "A iff…