[測度論] 從 測度論 觀點看 Chebyshev Inequality

Chebyshev inequality 是 機率論 中一個非常好用的不等式，此不等式可以從 更廣義的 測度論觀點來證明，且不僅僅局限於使用機率測度。
令 $L^1(\mu)$ 為所有可測函數 $g$ 滿足 $\int |g| d\mu <\infty$ 所成之集合， $\mu$ 為測度。

Claim: Chebyshev Inequality in Measure-Theoretic Setting
令 $g \in  L^1$ 且 $\alpha >0$ 則
\[
\mu (\{x:|g(x)| \geq \alpha\}) \leq \frac{1}{\alpha}\int |g| d\mu
\]
Proof: 令 $\alpha >0$ 觀察
\begin{align*}
  \mu (\{ x:|g(x)| \geqslant \alpha \})  &= \int {{1_{\{ |g(x)| \geqslant \alpha \} }}} d\mu  \hfill \\
   &= \int {{1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}} d\mu  \;\;\;\; (*)
\end{align*} 其中 $1_A(x)$ 為 indicator function 滿足 $x\in A$ 則 $1_A(x) =1$ 反之則 $1_A(x) = 0$。注意到 \[\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1 \Rightarrow \frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant {1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}\]故 $(*)$ 改寫
\[\int {{1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}} d\mu  \leqslant \int {\frac{{|g(x)|}}{\alpha }} d\mu  = \frac{1}{\alpha }\int {|g(x)|} d\mu \]即為所求。$\square$


Comments:
1. 上述證明儘管相當容易但對於 測度，積分 以及 indicator function 之間的操作頗具巧思值得多加注意。(關於 indicator 相關討論可參閱 [機率論] 指示函數 ( Indicator function) )。

2. 測度論觀點之下的 Chebyshev inequality 證明比 (初等)機率論 或者 數理統計 中的證明來的簡潔許多 (參閱 [機率論]   Chebyshev's Inequality 的推廣型)，讀者不需煩惱積分範圍，是否要分段積分或者考慮是否有無機率密度函數。這現象在較高等的數學中非常常見 (e.g., 泛函分析中將 函數所成的空間 利用線性代數的觀念 將其視為 無窮維向量空間，則不論多複雜的函數都變成該空間上的一"點")，也就是 抽象化之後 可以在某種程度上避免許多複雜的操作，但代價就是抽象化後的觀念需要時間沈澱。

3.  上述 Chebyshev inequality 陳述在 $L^p$ 空間也對。
Claim:
若 $g \in L^p$  其中 $p \in (0,\infty)$ 且 $\alpha >0$ 則
\[
\mu (\{x:|g(x)|^p \geq \alpha^p \}) \leq \frac{1}{\alpha^p}\int |g|^p d\mu
\] 證明雷同，在此不贅述。