[測度論] Dominated Convergence Theorem

Theorem: Dominated Convergence Theorem DCT  (real-valued functions)
令 sequence $\{f_n\} \subset L^1$ 滿足
(a) $f_n \to f$ almost everywhere
(b) 存在非負函數 $g \in L^1$ 使得 $|f_n| \leq g$ almost everywhere for all $n$
則\[
f \in L^1
\]且
\[
\lim_n \int f_n =\int f
\]
Proof:  先證 $f \in L^1$：由於 $f_n \to f$ almost everywhere  且 $f_n \in L^1$，可知 $f $ measurable (see Proposition 2.11/2.12 )。由於 $|f_n| \leq g$ almost everywhere 故 $|f| \leq g$ almost everywhere，故 $f \in L^1$。

接著我們證 $\lim_n \int f_n =\int f$：注意到 $|f_n| \leq g$ almost everywhere，故我們有
\[
-g \leq f_n \leq g \text{ almost everywhere}
\]換言之，我們有
\[
f_n + g \geq 0\text{ almost everywhere}
\]與
\[
g-f_n \geq 0 \text{almost everywhere}
\]也就是說 $\{f_n + g\}, \{g-f_n\} \in L^+$。由 Fatou Lemma 我們有
\[
\begin{gathered}
  \int {\mathop {\lim \inf }\limits_n } ({f_n} + g) \leqslant \lim \inf \int {({f_n} + g)} ; \hfill \\
  \int {\mathop {\lim \inf }\limits_n } (g - {f_n}) \leqslant \lim \inf \int {(g - {f_n})}  \hfill \\
\end{gathered} \;\;\; (*)
\]注意到上述積分不等式左方，積分項有以下結果 (利用 limsup or liminf 的性質)，我們有 $\mathop {\lim \inf }\limits_n \left( {{f_n} + g} \right) = g + \mathop {\lim \inf }\limits_n {f_n}$ 以及 $$\mathop {\lim \inf }\limits_n \left( {g - {f_n}} \right) = g + \mathop {\lim \inf }\limits_n \left( { - {f_n}} \right) = g - \mathop {\lim \sup }\limits_n {f_n}
$$同理，對於積分不等式右方，我們有
\[\lim \inf \int {({f_n} + g)}  = \lim \inf \left( {\int {{f_n} + \int g } } \right) = \lim \inf \int {{f_n} + \int g } \]與
\[\lim \inf \int {(g - {f_n})  = \int {g + \lim \inf \left( { - \int {{f_n}} } \right)}  = \int {g - \lim \sup \int {{f_n}} } } \]
將此結果帶入 $(*)$ 我們有
\begin{align*}
  &\left\{ \begin{gathered}
  \int {\mathop {\lim \inf }\limits_n } ({f_n} + g) \leqslant \lim \inf \int {({f_n} + g)} ; \hfill \\
  \int {\mathop {\lim \inf }\limits_n } (g - {f_n}) \leqslant \lim \inf \int {(g - {f_n})}  \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
   &\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \int g  + \int {\mathop {\lim \inf }\limits_n } {f_n} \leqslant \lim \inf \int {{f_n} + \int g } ; \hfill \\
  \int g  - \int {\mathop {\lim \sup }\limits_n {f_n}}  \leqslant \int {g - \lim \sup \int {{f_n}} }  \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
   &\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \int {\mathop {\lim \inf }\limits_n } {f_n} \leqslant \lim \inf \int {{f_n}} ; \hfill \\
   - \int {\mathop {\lim \sup }\limits_n {f_n}}  \leqslant  - \lim \sup \int {{f_n}}  \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
\end{align*} 注意到 $f = \lim_n f_n = \liminf_n f_n = \limsup_n f_n$ ，而且 $\{x: \lim_n f_n \neq f(x)\}$ 的測度為 $0$，故 $\int f = \int \liminf f_n  = \int \limsup f_n$。 現在我們進一步改寫上式
\[\begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  \int f  \leqslant \lim \inf \int {{f_n}} ; \hfill \\
  \int f  \geqslant \lim \sup \int {{f_n}}  \hfill \\
\end{gathered}  \right. \hfill \\
   \Rightarrow \lim \sup \int {{f_n} \leqslant \int {f \leqslant \lim \inf \int {{f_n}} } }  \hfill \\
\end{gathered} \]亦即 $\int f_n \to \int f$。至此得證。$\square$



Remarks:
$\liminf (a_k + b+k) = \liminf a_k + \liminf b_k$ 不全為然。Counter example?

上述等式成立僅僅 $\lim a_k = a$ 則 $\liminf_k (a_k + b_k) = a+\liminf b_k$。

[測度論] 何時 兩可測函數相乘之積分 會與 個別先做積分後再相乘 相等？

Theorem: 
令 $(X,\mathcal{M,\mu})$ 與 $(Y, \mathcal{N},\nu)$ 為任意測度空間。
(a) 若 $f: X \to \mathbb{R}$ 為 $\mathcal{M}$-measurable 且 $g: Y \to \mathbb{R}$ 為  $\mathcal{N}$-measurable 且我們定喔 $h(x,y):=f(x)g(y)$ 則 $h$ 為 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$-measurable。
(b) 若 $f \in L^1(\mu)$ 且 $g \in L^1(\nu)$，則 $h \in L^1(\mu \times \nu)$ 且
\[
\int h \; d(\mu \times \nu) = \left( \int f d\mu \right) \left( \int g d \nu \right)
\]

Proof (a):
令 $a \in \mathbb{R}$，考慮 $A:=[a,\infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$我們要證明
\[
h^{-1}(A) \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}
\]注意到因為 $f: X \to \mathbb{R}$ 為 $\mathcal{M}$-measurable 且 $g: Y \to \mathbb{R}$ 為  $\mathcal{N}$-measurable ，我們有 $f^{-1}([a,\infty)) \in \mathcal{M}$ 與 $g^{-1}([a,\infty)) \in \mathcal{N}$ 。

現在定義兩個新函數 $F,G: X\times Y \to \mathbb{R}$ 分別滿足 $F(x,y) := f(x), \forall y \in Y$ ，$G(x,y):=g(y), \forall x \in X$，則我們可知 $h $ 為 $F$ 與 $G$ 相乘，亦即 $h=FG$。現在觀察
\begin{align*}
 {F^{ - 1}}(A) &= \left\{ {(x,y) \in X \times Y:F(x,y) \in [a,\infty )} \right\}  \\
  &  = \left\{ {(x,y) \in X \times Y:f\left( x \right) \in [a,\infty ),\forall y \in Y} \right\}  \\
  &  = \left\{ {x \in X:f\left( x \right) \in [a,\infty )} \right\} \times Y  \\
  &  = \underbrace {{f^{ - 1}}\left( {[a,\infty )} \right)}_{\in \mathcal M} \times \underbrace Y_{ \in {\mathcal N}} \in {\mathcal M} \otimes {\mathcal N}
\end{align*}
同理
\begin{align*}
 {G^{ - 1}}(A) &= \left\{ {(x,y) \in X \times Y: G(x,y) \in [a,\infty )} \right\}  \\
  &  = \left\{ {(x,y) \in X \times Y:g\left( x \right) \in [a,\infty ),\forall x \in X} \right\}  \\
  &  =  X \times  \left\{ {y \in Y : g\left( x \right) \in [a,\infty )} \right\} \\
  &  = \underbrace X_{ \in {\mathcal M}} \times \underbrace {{g^{ - 1}}\left( {[a,\infty )} \right)}_{ \in {\mathcal N}} \in {\mathcal M} \otimes {\mathcal N}
\end{align*}亦即，$F,G \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$，故由 相乘保證 measurability 性質可知 $FG  \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$，亦即 $h  \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$。

Proof (b): 首先證明 $h \in L^1(\mu \times \nu)$，亦即要證
\[
\int |h| d(\mu \times \nu) < \infty
\]由於 $|h| \in L^+(X \times Y)$，故由 Tonelli Theorem 可知
\[
\int |h| d(\mu \times \nu) = \int \int |f(x)| |g(y)| d \mu(x) d\nu(y)  <\infty
\]上述不等式成立因為 $f \in L^1(\mu)$ 與 $g \in L^1(\nu)$。故 $h \in L^1(\mu \times \nu)$。

接著由於 $h \in L^1$ ，利用 Fubini theorem 我們可寫
\[
\int h d(\mu \times \nu) = \int \int FG d\mu d\nu = \int f(x) d\mu(x) \int g(x) d\nu(y)
\]即為所求。$\square$

[測度論] DCT 應用：積分例子(1)

試證下列積分
\[
\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx = 0
\] Proof: 對任意 $x \in [0,\infty)$而言，令 $f_n(x):=(1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)$，則 $f_n \to 0$。另外我們注意到 因為 $\sin(x/n) \leq 1 $ 以及利用 附註的 Claim 可知 $(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}$ 故
\[
f_n(x) = (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n) \leq e^{-x}
\]現在我們令 $g(x):=e^{-x} \in L^1([0,\infty),m)$。為此我們觀察
\[
\int_0^\infty e^{-x} dx = 1 < \infty
\]故 $g \in L^1([0,\infty),m)$ 且 $|f_n(x)| \leq g(x)$，故由 Dominanted Convergence Theorem 可知
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty (1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx &=  \int_0^\infty \lim_{n \to \infty}(1+(x/n))^{-n} \sin(x/n)dx\\
&=\int_0^\infty  0 dx = 0
\end{align*}
至此證明完畢。$\square$



Claim: 對任意 $x\in(0,\infty)$ 與 $n \in \mathbb{N}$，我們有 \[
(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}
\] Proof:
注意到 $\log (1+x/n)^{-n} = -n \log(1+x/n) \leq -n \frac{x}{n}=-x$。現在對兩邊同取 $exp()$ 可得
\[
(1+x/n)^{-n} \leq e^{-x}
\]至此得證。$\square$

[測度論] 從 測度論 觀點看 Chebyshev Inequality

Chebyshev inequality 是 機率論 中一個非常好用的不等式，此不等式可以從 更廣義的 測度論觀點來證明，且不僅僅局限於使用機率測度。
令 $L^1(\mu)$ 為所有可測函數 $g$ 滿足 $\int |g| d\mu <\infty$ 所成之集合， $\mu$ 為測度。

Claim: Chebyshev Inequality in Measure-Theoretic Setting
令 $g \in  L^1$ 且 $\alpha >0$ 則
\[
\mu (\{x:|g(x)| \geq \alpha\}) \leq \frac{1}{\alpha}\int |g| d\mu
\]
Proof: 令 $\alpha >0$ 觀察
\begin{align*}
  \mu (\{ x:|g(x)| \geqslant \alpha \})  &= \int {{1_{\{ |g(x)| \geqslant \alpha \} }}} d\mu  \hfill \\
   &= \int {{1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}} d\mu  \;\;\;\; (*)
\end{align*} 其中 $1_A(x)$ 為 indicator function 滿足 $x\in A$ 則 $1_A(x) =1$ 反之則 $1_A(x) = 0$。注意到 \[\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1 \Rightarrow \frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant {1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}\]故 $(*)$ 改寫
\[\int {{1_{\left\{ {\frac{{|g(x)|}}{\alpha } \geqslant 1} \right\}}}} d\mu  \leqslant \int {\frac{{|g(x)|}}{\alpha }} d\mu  = \frac{1}{\alpha }\int {|g(x)|} d\mu \]即為所求。$\square$


Comments:
1. 上述證明儘管相當容易但對於 測度，積分 以及 indicator function 之間的操作頗具巧思值得多加注意。(關於 indicator 相關討論可參閱 [機率論] 指示函數 ( Indicator function) )。

2. 測度論觀點之下的 Chebyshev inequality 證明比 (初等)機率論 或者 數理統計 中的證明來的簡潔許多 (參閱 [機率論]   Chebyshev's Inequality 的推廣型)，讀者不需煩惱積分範圍，是否要分段積分或者考慮是否有無機率密度函數。這現象在較高等的數學中非常常見 (e.g., 泛函分析中將 函數所成的空間 利用線性代數的觀念 將其視為 無窮維向量空間，則不論多複雜的函數都變成該空間上的一"點")，也就是 抽象化之後 可以在某種程度上避免許多複雜的操作，但代價就是抽象化後的觀念需要時間沈澱。

3.  上述 Chebyshev inequality 陳述在 $L^p$ 空間也對。
Claim:
若 $g \in L^p$  其中 $p \in (0,\infty)$ 且 $\alpha >0$ 則
\[
\mu (\{x:|g(x)|^p \geq \alpha^p \}) \leq \frac{1}{\alpha^p}\int |g|^p d\mu
\] 證明雷同，在此不贅述。