[機率論] 指示函數 ( Indicator function)

這次要介紹的是 指示函數( Indicator function)，這個特殊函數在機率論與相關應用中佔有重要的腳色，其重要程度類似 step function, dirac function 在控制理論中的位置。 (事實上 Indicator function是更廣義的特殊函數，我們可以透過 Indicator function 來建構/逼近 各種函數)

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Definition : Indicator Function of a Set A
一個 Indicator function of set A，我們用 $1_{A}(x)$表示，此函數定義如下
\[{1_A}\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l}
1,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \in A\\
0,\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}x \notin A
\end{array} \right.
\]========================

以下是一些 Indicator function的例子

Example 1. : $1_{[a,b)}(x)$

Example 2. : $1_{(a,b]}(x)$

Example 3. Unit-Step Function

由單位步階函數定義:

\[
u\left( x \right): = \left\{ \begin{array}{l} 1,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x \ge 0\\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}x < 0 \end{array} \right.
\]我們可以把上式用 Indicator function表示：亦即 $u(x) = I_{ [0,\infty)}(x)$。

接著我們看個一些結果：
Theorem 1:
對任意 $A,B \subset \Omega$，下列結果成立：
\[\left\{ \begin{array}{l}
A = B \Leftrightarrow {1_A} = {1_B}\\
A \subset B \Leftrightarrow {1_A} \le {1_B}\\
A = \emptyset  \Leftrightarrow {1_A} = 0\\
A = \Omega  \Leftrightarrow {1_A} = 1
\end{array} \right.\]
Proof: omitted

Theorem 2:
對任意 $A,B \subset \Omega$，下列結果成立：
\[\left\{ \begin{array}{l}
{1_{A \cap B}} = \min \left\{ {{1_A},{1_B}} \right\}\\
{1_{A \cup B}} = \max \left\{ {{1_A},{1_B}} \right\}\\
{1_{{A^c}}} = 1 - {1_A}\\
{1_{\mathop {\lim \inf }\limits_n {A_n}}} = \mathop {\lim \inf }\limits_n {1_{{A_n}}}\\
{1_{\mathop {\lim \sup }\limits_n {A_n}}} = \mathop {\lim \sup }\limits_n {1_{{A_n}}}
\end{array} \right.\]
Proof: omitted

上述定理的第二項，如果 $A,B$ 為 disjoint 則我們可以有一個非常好用的結果：

FACT:
如果 $A, B$ 為 disjoint 則
\[
1_{A \cup B} = 1_A + 1_B
\]
Proof: omitted

再者我們要介紹 Indicator function 一個重要的性質，就是任意機率測度都可以透過 Indicator function 用期望值表示：

現在考慮 $X$ 為在機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 的隨機變數且 $A \subset \mathbb{R}$ 為實數中任意集合，則 $1_{A}(X)$ 為一個離散隨機變數且取值僅為 0 或者1。故如果我們計算其期望值則可得到
\[
E\left[ {{1_A}\left( X \right)} \right] = 1 \cdot P\left( {X \in A} \right) + 0 \cdot P\left( {X \notin A} \right) = P\left( {X \in A} \right) \ \ \ \ (*)
\]注意到上式中 機率測度 $P(X \in A):=P(\omega \in \Omega: X(\omega) \in A)$

Comments:
1. 如果我們考慮 期望值 $E[\cdot]$ 的抽象定義 (期望值用 Lebesgue integral 定義)：
若 $X$ 為在機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 的隨機變數，則 $X$ 的 期望值定義為Lebesgue integral
\[
E[X] := \int_{\Omega} X dP
\]若上述積分為well-defined。

上式中 $\Omega$ 為樣本空間， $\mathcal{F}$ 為 $\sigma$-algebra (可簡單視為事件的集合)，$P$ 為機率測度 $P: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$

故之前討論的式 $(*)$ 可以被進一步改寫
\[
P\left( {X \in A} \right) = E\left[ {{1_A}\left( X \right)} \right] = \int_{\Omega} 1_{A}(X) dP = \int_{A} dP
\]
2. 對 $A, B \subset \mathbb{R}$，則 $1_{A} \cdot 1_{B} =1_{A \cap B}$


Remarks:
在實變函數論 或者 測度論中，上述 指示函數 一般被稱作 特性函數(characteristic function)。