[投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM)

權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM) 

這次要跟大家分享權證定(估)價的基本方法。
不過在分享前，讓我們先處理一個問題。

Q: 我們為何需要估價?
基本想法很簡單：因為如果投資人可以找到某個市場價格偏離"真實"價格的股票。則此時便存在透過 買低賣高 來賺取利潤的機會 (亦即 存在 套利 (arbitrage) 的機會)。

注意到，我們並未定義 "何謂股票的真實價格"，一般而言 "真實價格" 指的是某證卷(EX: 股票/債卷...)的 內在價值(Intrinsic Value)，而 估價方法(Valuation) 就是要試圖(合理的)找出某證卷的內在價值。

所以現在問題變成
Q: 如何(合理的)找到某證卷的內在價值呢?
這個問題最早是由 John Burr Williams 於1938年提出解決之道，之後由經濟學家 Myron J. Gordon 教授引入一個稱作 股息貼現模型(Dividend Discounted Model)來回答這個問題

股息貼現模型的基本想法如下：
Gordon教授認為
股票的價格應該可由 其未來所有配發的股息 將其折現(discounted)求得。

所以以下我們將逐步推導此模型

現在考慮某股票的初始股價 $P_0$ (我們想要估算此初始股價)，
接著考慮一年後股價(price)為 $P_1$，一年後配發股息(dividend)為 $D_1$，則我們可以計算一年後收益率(return) $r$為
\[
r=\frac{P_1+D_1}{P_0}-1
\]不過注意到一年後的股價 $P_1$ 與 一年後配發的股息 $D_1$ 事實上是未知數。因為我們無法準確預測一年後股價or股息會是多少。所以在數學上的取巧方法就是對它們取期望值，表示我們"預期"一年後股價與股息是多少

所以上式中 $P_1$ 由  $\mathbb{E}[P_1]$  取代，  $D_1$  由  $\mathbb{E}[D_1]$  取代。
則此時收益率$r$就變成了"預期"收益率 $\mathbb{E}[r]$ 故我們得到
\[
\mathbb{E}[r]=\frac{\mathbb{E}[P_1]+\mathbb{E}[D_1]}{P_0}-1
\]現在將上式做一點移項，改寫可得 (why? 因為我們想估算股票現在的價格 $P_0$)

\[
\Rightarrow P_0 = \frac{\mathbb{E}[P_1]+\mathbb{E}[D_1]}{1+ \mathbb{E}[r]} \ \ \ \ (1)
\] 注意到上式中，對於一年後的股價 $P_1$ 我們可以用第二年的股價 $P_2$ 與 第二年配發的股息 $D_2$ 來估計，如下：

\[ \mathbb{E}[P_1] = \frac{\mathbb{E}[P_2]+\mathbb{E}[D_2]}{1+ \mathbb{E}[r]}
\]將上式帶入 (1) 式，可得

\[P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+ \mathbb{E}[r]} +  \frac{\mathbb{E}[D_2] + \mathbb{E}[P_2]}{(1+ \mathbb{E}[r])^2} \ \ \ \  (2)
\]然後 我們又需要第二年的股價 $P_2$ 的期望值，故可透過
\[ \mathbb{E}[P_2] = \frac{\mathbb{E}[P_3]+\mathbb{E}[D_3]}{1+ \mathbb{E}[r]}
\]將其帶入 (2)中，接著不斷重複上述步驟
可得到股票現值 ${\color{red} P_0}$ 由如下方程式表示 \[ {\color{red}  P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+\mathbb{E}[r]} +  \frac{\mathbb{E}[D_2]}{(1+\mathbb{E}[r])^2}+ \frac{\mathbb{E}[D_3]}{(1+\mathbb{E}[r])^3}+...}
\] 上式表明 股票現值應等於所有未來股息的貼現和，我們稱之為 股息貼現模型(Dividend discount model, DDM)

Comments:
此模型雖看似合理，但存在使用上的極大困難。注意到
1. 股息貼現模型的最終表述中我們需要知道任何年份的配發股息預期值。但事實上這仍是無法準確預期。
2. 股息貼現模型的 分母項(貼現項)  $1+\mathbb{E}[r]$  中的 預期收益 $ \mathbb{E}[r]$ 一般而言可由 CAPM 模型進行估計，也就是說
\[
 \mathbb{E}[r] = r_f + \beta(\mathbb{E}[r_M]-r_f)
\]其中 $r_f$ 為無風險收益率， $\mathbb{E}[r_M]$ 為預期的整體市場收益率


總結以上兩點，為了使用上的需求，Gordon 教授於引入了額外的簡化假設(假設股息以固定速率增長)，並提出所謂的 固定增長股息貼現模型(Constantly Growing Model)，之後我們會在介紹。

繼續閱讀：[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)