這次要介紹利用微分來幫助我們判斷 可導函數在某區間 是否遞增/遞減。 Theorem: 1. 考慮函數 $f(x)$ 定義在 開 區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞增函數(strictly increasing) 若下列條件成立: \[ \forall x \in (a,b),\;\; f'(x) >0 \]2. 考慮函數 $f(x)$ 定義在 開 區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞減函數(strictly decreasing) 若下列條件成立: \[ \forall x \in (a,b),\;\; f'(x) <0 \]3. 考慮函數 $f(x)$ 定義在 開 區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 常數函數 $c$ 若下列條件成立: \[ \forall x \in (a,b),\;\; f'(x) =0 \] Proof: omitted. Example 1: 考慮 $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^2$,試判斷其遞增/遞減性質: Solution 利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數 \[ f'(x) = 2x \]故可知當 $f'(x) = 2x >0$ 亦即 $x>0$ 時候 (或者說在區間 $(0,\infty)$) $f$ 為遞增 同理,可推知當 $f'(x) = 2x < 0$ 亦即 當 $x<0$ 時候 (或者說在區間 $(-\infty,0)$) $f$ 為遞減 同理,可推知當 $f'(x) = 2x = 0$ 亦即 當 $x=0$ 時候 (或者說在 $0$ 處) $f$ 為常數。 Example 2: 考慮 $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^2 + 2x -5$,試判斷其遞增/遞減性質: Solution 利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數 \[ f'(x) = 2x +2 \]故可知當 $f'(x) =
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya