謝宗翰的隨筆

這次要介紹利用微分來幫助我們判斷 可導函數在某區間 是否遞增/遞減。

Theorem:
1. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞增函數(strictly increasing) 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) >0
\]2. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞減函數(strictly decreasing) 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) <0
\]3. 考慮函數 $f(x)$ 定義在開區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導，我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 常數函數 $c$ 若下列條件成立：
\[
\forall x \in (a,b),\;\; f'(x) =0
\]Proof: omitted.

Example 1:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^2$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x
\]故可知當 $f'(x) = 2x >0$ 亦即 $x>0$ 時候 (或者說在區間 $(0,\infty)$) $f$ 為遞增
同理，可推知當 $f'(x) = 2x < 0$ 亦即 當 $x<0$ 時候 (或者說在區間 $(-\infty,0)$) $f$ 為遞減
同理，可推知當 $f'(x) = 2x = 0$ 亦即 當 $x=0$ 時候 (或者說在 $0$ 處) $f$ 為常數。


Example 2:
考慮 $x \in \mathbb{R}$，且定義函數 $f(x) = x^2 + 2x -5$，試判斷其遞增/遞減性質：

Solution
利用 前述 Theorem，對 $f(x)$ 求一階導數
\[
f'(x) = 2x +2
\]故可知當 $f'(x) =  2x +2 >0$ 亦即 $ x>-1$ 時候 (或者說在區間 $(-1,\in…

想法：給定任意函數 $f(x) = y$ 我們想問 是否可以將其改寫成 $x = g(y)$? 如果可以則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數(inverse function)

在介紹反函數之前，我們需要一些定義來幫助我們：

=========================
Definition: one-to-one function
一個函數 $f: X \to Y$ 稱作 one-to-one function 若下列條件成立：
對任意 $x,y \in X$ 我們有\[
f(x) = f(y) \Rightarrow x = y
\]=========================

Comment:
一般而言，one-to-one function 又稱作 injective function 中文譯作 單射函數 或者 一對一函數。


現在看幾個例子試試：

Example
試問 $f(x) = x^3$，$x \in \mathbb{R}$ 是否為 one-to-one?

Solution
給定任意 $x,y \in \mathbb{R}$ ，且假設 $f(x) = f(y)$ 成立 我們要證明 $x=y$，故現在觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^3} = {y^3}
\end{array}\]對兩邊取三次方根，可得
\[
x = y. \,\,\,\, \square
\]

Example 
試證函數 $f(x) = x^2$，$x \in \mathbb{R}$ 並非 one-to-one function。

Solution
要證明不是 one-to-one，故對定義取非，要證明 存在一組 $x,y \in \mathbb{R}$ 使得 \[
f(x) = f(y) \; \text{ but} \;\; x \neq y
\]觀察
\[\begin{array}{l}
f(x) = f(y) \Rightarrow {x^2} = {y^2}\\
 \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 0\\
 \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = 0
\end{array}\]
故現在選 $x=a$，$y=-a$ …