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[微積分] 函數的單調性質(1)-一階導數判斷遞增?遞減?

這次要介紹利用微分來幫助我們判斷 可導函數在某區間 是否遞增/遞減。 Theorem: 1. 考慮函數 $f(x)$ 定義在 開 區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞增函數(strictly increasing) 若下列條件成立: \[ \forall x \in (a,b),\;\; f'(x) >0 \]2. 考慮函數 $f(x)$ 定義在 開 區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 嚴格遞減函數(strictly decreasing) 若下列條件成立: \[ \forall x \in (a,b),\;\; f'(x) <0 \]3. 考慮函數 $f(x)$ 定義在 開 區間 $(a,b)$上 且在此區間上可導,我們說此函數在 $(a,b)$ 上為 常數函數 $c$ 若下列條件成立: \[ \forall x \in (a,b),\;\; f'(x) =0 \] Proof: omitted. Example 1: 考慮 $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^2$,試判斷其遞增/遞減性質: Solution 利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數 \[ f'(x) = 2x \]故可知當 $f'(x) = 2x >0$ 亦即 $x>0$ 時候 (或者說在區間 $(0,\infty)$) $f$ 為遞增 同理,可推知當 $f'(x) = 2x < 0$ 亦即 當 $x<0$ 時候 (或者說在區間 $(-\infty,0)$) $f$ 為遞減 同理,可推知當 $f'(x) = 2x = 0$ 亦即 當 $x=0$ 時候 (或者說在 $0$ 處) $f$ 為常數。 Example 2: 考慮 $x \in \mathbb{R}$,且定義函數 $f(x) = x^2 + 2x -5$,試判斷其遞增/遞減性質: Solution 利用 前述 Theorem,對 $f(x)$ 求一階導數 \[ f'(x) = 2x +2 \]故可知當 $f'(x) =  

[微積分] 反函數

想法:給定任意函數 $f(x) = y$ 我們想問 是否可以將其改寫成 $x = g(y)$? 如果可以則稱 $g$ 為 $f$ 的反函數(inverse function) 在介紹反函數之前,我們需要一些定義來幫助我們: ========================= Definition: one-to-one function 一個函數 $f: X \to Y$ 稱作 one-to-one function 若下列條件成立: 對任意 $x,y \in X$ 我們有\[ f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \]========================= Comment: 一般而言,one-to-one function 又稱作 injective function 中文譯作 單射函數 或者 一對一函數。 現在看幾個例子試試: Example 試問 $f(x) = x^3$,$x \in \mathbb{R}$ 是否為 one-to-one? Solution 給定任意 $x,y \in \mathbb{R}$ ,且假設 $f(x) = f(y)$ 成立 我們要證明 $x=y$,故現在觀察 \[\begin{array}{l} f(x) = f(y) \Rightarrow {x^3} = {y^3} \end{array}\]對兩邊取三次方根,可得 \[ x = y. \,\,\,\, \square \] Example  試證函數 $f(x) = x^2$,$x \in \mathbb{R}$ 並非 one-to-one function。 Solution 要證明不是 one-to-one,故對定義取非,要證明 存在一組 $x,y \in \mathbb{R}$ 使得 \[ f(x) = f(y) \; \text{ but} \;\; x \neq y \]觀察 \[\begin{array}{l} f(x) = f(y) \Rightarrow {x^2} = {y^2}\\  \Rightarrow {x^2} - {y^2} = 0\\  \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y}