謝宗翰的隨筆

首先考慮  $n$階 線性微分方程如下 \[ \dot {\bf x}(t) = G{\bf x}(t); \;\; { \bf x}(0) ={\bf x}_0 \]上式一般表示為 無外力輸入 $u$ 的系統。且我們可對其求解得到 \[{\bf x}(t) = e^{Gt} {\bf x}_0 \ \ \ \ \ \ (*) \] 我們可進一步將上式的解 $(*)$ 重新用 矩陣 $G$ 的 eigenvalues/eigenvectors 表示; i.e., 若 $G$ 為 $n \times n$ 則 下式 eigenvalue-eigenvector 關係需被滿足 \[G{{\bf{v}}_i} = {\lambda _i}{{\bf{v}}_i}, \text{ for $i=1,2,...,n$} \]其中 $\lambda_i$ 為 $G$ 的 eigenvalues 且 $v_i$ 為對應的 eigenvectors。 注意到在此我們假設 $G$ 的 eigenvalues 均相異。現在使用這些 eigenvectors, $v_i$，建構  非奇異轉換矩陣 或稱 modal matrix  $M$ 如下 \[M: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{v}}_1}}&{{{\bf{v}}_2}}& \cdots &{{{\bf{v}}_n}} \end{array}} \right] \]注意到 $M$ 為 nonsingular 因為 $\{v_i\}$ 彼此線性獨立 (因為相異 eigenvalue 對應 線性獨立的 eigenvector) ；現在使用 $M$，定義下列新狀態 $\bf z$ 轉換 \[ {\bf x} = M {\bf z} \]將上述新的狀態關系代入原系統 $\dot {\bf x}(t) = G{\bf x}(t)$ 我們可以改寫如下 \[\begin{array}{l} {\bf{\dot x}}(t) = G{\bf{x}}(t)\\  \Rightarrow M{\bf{\dot z}}\left( t \right) = GM{\bf{z}}(t)\\  \Rightarrow {\bf{\dot z}}\le

控制理論中最重要的本質 便是 回授控制 (feedback control)，在實現上，回授控制具有下列四種主要功能： 改善/保證 系統穩定度 降低系統的 敏感度(提升強健性) 改善系統 抑制 低頻外在干擾 或者 抑制 高頻雜訊 的能力 改善 系統暫態響應 而 Eigenstructure Assignment (同時給定 eigenvalue 與 eigenvector )主要是透過回授控制達成第四個目標：改善 系統的 暫態響應。以下我們介紹 全狀態回授 (Full State Feedback) 的 Eigenstructure Assignment。 考慮系統 \[\dot x\left( t \right) = Ax\left( t \right) + Bu\left( t \right) \] 其中 $x(t) \in \mathbb{R}^n$； $u(t) \in \mathbb{R}^m$ 且狀態回授控制器 $u(t) = F x(t)$。 則將控制器帶入系統，可得閉迴路系統如下 \[\dot x\left( t \right) = \left( {A + BF} \right)x\left( t \right) \] 現在令 $\lambda_i$ 為系統 $A+BF$ 的 eigenvalue，且 $v_i$ 為對應的 eigenvector，則我們有 eigenvalue-eigenvector relationship 如下 \[ (A+BF) v_i = \lambda_i v_i \] 上式可改寫為 \[\begin{array}{l} (A + BF){v_i} = {\lambda _i}{v_i}\\  \Rightarrow \left( {{\lambda _i}I - A} \right){v_i} - BF{v_i} = 0 \end{array}\] 故我們現在定義 $S_{\lambda_i }:= [\lambda_i I - A \;\; B]$ 且定義其對應的分割矩陣 \[{K_{{\lambda _i}}}: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{N_{{\lambda _i}}}}\\ {{M_{{\lambda

固定 機率空間 $(\Omega, \mathcal{B}, P)$。我們說 隨機事件 $A$  almost surely (a.s.) 成立，若下列條件成立： 存在一個事件 $N \in \mathcal{B}$ 且 $P(N)=0$ 使得 若 $\omega \in N^c$ 事件 $A$ 都成立。 Example 1: Two r.v. equal Almost Surely 令 $X, X'$ 為兩個隨機變數，則 $X=X'$ almost surely 亦即 \[ P(\omega: X(\omega) = X'(\omega)) = 1 \]亦即，存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow X(\omega) = X(\omega)'$ 都成立。$\square$ Example 2:  令 $X, X'$ 為兩個隨機變數，則 $X \le X'$ almost surely 亦即 \[ P(\omega: X(\omega) \le X'(\omega)) = 1 \]亦即，存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow X(\omega) \le X(\omega)'$ 都成立。$\square$ Example 3: random variable sequence 若' $\{X_n\}$ 為 隨機變數的 sequence，則 $\lim_{n\rightarrow \infty}X_n$存在 almost surly 意指 存在事件 $N \in \mathcal{B}$ 使得 $P(N)=0$ 且  $\omega \in N^c \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}X_n$ 存在 ；此陳述等價為 \[ \limsup_{n \rightarrow \infty} X_n(\omega) = \liminf_{n\rightarrow \infty }X_n(\omega) \]我們會寫作 $\lim_{n \