首先考慮 $n$階 線性微分方程如下 \[ \dot {\bf x}(t) = G{\bf x}(t); \;\; { \bf x}(0) ={\bf x}_0 \]上式一般表示為 無外力輸入 $u$ 的系統。且我們可對其求解得到 \[{\bf x}(t) = e^{Gt} {\bf x}_0 \ \ \ \ \ \ (*) \] 我們可進一步將上式的解 $(*)$ 重新用 矩陣 $G$ 的 eigenvalues/eigenvectors 表示; i.e., 若 $G$ 為 $n \times n$ 則 下式 eigenvalue-eigenvector 關係需被滿足 \[G{{\bf{v}}_i} = {\lambda _i}{{\bf{v}}_i}, \text{ for $i=1,2,...,n$} \]其中 $\lambda_i$ 為 $G$ 的 eigenvalues 且 $v_i$ 為對應的 eigenvectors。 注意到在此我們假設 $G$ 的 eigenvalues 均相異。現在使用這些 eigenvectors, $v_i$,建構 非奇異轉換矩陣 或稱 modal matrix $M$ 如下 \[M: = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{v}}_1}}&{{{\bf{v}}_2}}& \cdots &{{{\bf{v}}_n}} \end{array}} \right] \]注意到 $M$ 為 nonsingular 因為 $\{v_i\}$ 彼此線性獨立 (因為相異 eigenvalue 對應 線性獨立的 eigenvector) ;現在使用 $M$,定義下列新狀態 $\bf z$ 轉換 \[ {\bf x} = M {\bf z} \]將上述新的狀態關系代入原系統 $\dot {\bf x}(t) = G{\bf x}(t)$ 我們可以改寫如下 \[\begin{array}{l} {\bf{\dot x}}(t) = G{\bf{x}}(t)\\ \Rightarrow M{\bf{\dot z}}\left( t \right) = GM{\bf{z}}(t)\\ \Rightarrow {\bf{\dot z}}\le
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya