以往在工學院學習的數學，較偏重在計算與應用部分，對於證明較少著墨，
有時因為時間關係，很容易把定理的結果直接使用，自動跳過證明，假設它是對的先用再說。這樣的方法雖然在當下節省很多時間，但對於學習其實並不是很好。也讓自己後來在學習較高等的數學時吃足了苦頭；
最大的困難我想就是在一開始接觸 抽象化 & 嚴格證明的時候，常常會發生儘管"自認"已經對定義相當清楚，但等到做題的時候，仍然對證明之中每個推理與邏輯間思路的連結沒有頭緒。這種事在初學的時候實在是很大的挑戰。
不過其實數學證明是有規則可循的，這很類似於下棋，比如說我們下棋之前(EX 西洋棋、圍棋、象棋等等棋類)，我們都必須先學會各種棋子對應的規則，才能開始去想下棋的策略與戰勝對手的妙方，事實上，對於數學證明也是如此，如果規則(定義)不懂，定理不明，看到題目就埋頭苦證，拼命思考各種技巧與策略(反證法、逆否命題、數學歸納法、直接證法)，我想也很難有所突破。因為根本就不清楚你的敵人是誰(也就是根本不清楚到底要證明甚麼!?)
尤有甚者，就算看了解答也是常常不明白作者為何可以甚麼都不說就從某一步會跳到某一步，這其實最根本的原因就是定義不清所導致的問題。
先總結一個重要概念。證明之前先問自己
Comments:
1. 對於想要了解一般證明策略的讀者，建議可略過此文直接閱讀
關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backward method。
2. 除了基本定義之外，兩種"量詞" (quantifier: "for all" 與 "there exists") 的掌握也是證明中極為重要的技巧，但這篇文章重點不在此故不贅述。有興趣的讀者可參閱 Daniel Solow, How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes 2e, 2001
3. 關於 清楚明白定義的重要性，讀者可直接參閱此篇
[數學分析] 淺談 Metric Space and Topology
以下文章將專注在清楚定義之後，邏輯間思路的連結。我們先看個簡單的例子
------------
Example 1
考慮下列兩個已知假設為 真：
1. 所有 生物都會死
2. 人 是 生物
試證 人會死。
------------
Proof：
[證明1] 已知人是生物，又已知 所有生物都會死，故 人會死。$\square$
或者
[證明2] 已知所有生物都會死，又已知人 是生物，故由 "所有生物都會死" 可得 人會死。$\square$
Comment:
在數學教科書或者文獻上，作者常將主要的結果用 定理 (Theorem)， 或者前置定理 (Lemma)，又或者衍生定理 (Corollary) 來描述。而其中最重要的結果是定理。一個數學的定理包含假設 (Hypothesis)與結論(Conclusion)：若以 Example 1來看，則假設的部分為 “所有生物會死” 與 “人是生物”，結論的部分則為 “人會死”。此結果可被稱為一個定理。
現在看看下面這個(不太)簡單的數學證明思路
一般而言，在證明某個結果之前，我們可能會知道 (或者嘗試去找到) 某些已知的結果 與我們的假設 或者 待證目標 有直接或間接相關。現在假設我們事先已知下列三個結果 (我們稱為定理)。
------------
Example 2
已知 定理 X: $P \; \& \;T \Rightarrow R$
已知 定理 A: $P \Rightarrow S$
已知 定理 B: $S \; \& \;Q \Rightarrow T$
試證：若 $P, Q$ 成立，則 $R$ 成立。
------------
一般而言，一個好的習慣是先寫下 已知假設 (hypothese) 以及 待證的目標(conclusion)，故我們寫下：
已知假設: $P \; \& \; Q$
待證目標: $R$
那現在我們的目標就是 如何從 已知假設 $P \; \& \; Q$ 透過一連串的邏輯推理，推到結果為 $R$ 會成立。故唯一要做的事情就是把彼此之間的關聯性用 "邏輯" 連結起來。步驟如下:
Step 1: 讓 $P, Q$ 成立。
Step 2: 觀察手邊工具。首先由於 定理A 告訴我們 若 $P$ 成立，則 $S$ 成立，讀者可發現此定理直接與我們手邊有的假設 $P$ 相關，故我們可以馬上使用 定理A 得到
\[
P \Rightarrow S
\]所以現在變成 已知 $P \; \& \; Q$ $\Rightarrow S$
Step 3: 由於我們手邊已經有了 $P,Q$ 以及 $S$，觀察手邊工具可發現與前述相關的 定理 B ： $S \; \& \;Q \Rightarrow T$ 。也就是說我們現在手邊能得到的所有 邏輯推理關係 為 已知 $P \; \& \; Q$ $\Rightarrow S$ 且 $S \; \& \;Q \Rightarrow T$ (by 定理 B)；故合併兩者我們可馬上推至 $ T$ 的結果。
Step 4: 現在再度觀察上述結果，發現 定理 X 告訴我們 $P \; \& \;T \Rightarrow R$，此即為我們要證明的目標，故將此 定理 X 用上去 Step 3，便可推得證欲證的 $R$ 至此證明完畢。$\square$
想法圖如下"
Ref: Robert S. Strichartz, "The Way of Analysis revised edition",
延伸閱讀:
有時因為時間關係，很容易把定理的結果直接使用，自動跳過證明，假設它是對的先用再說。這樣的方法雖然在當下節省很多時間，但對於學習其實並不是很好。也讓自己後來在學習較高等的數學時吃足了苦頭；
最大的困難我想就是在一開始接觸 抽象化 & 嚴格證明的時候，常常會發生儘管"自認"已經對定義相當清楚，但等到做題的時候，仍然對證明之中每個推理與邏輯間思路的連結沒有頭緒。這種事在初學的時候實在是很大的挑戰。
不過其實數學證明是有規則可循的，這很類似於下棋，比如說我們下棋之前(EX 西洋棋、圍棋、象棋等等棋類)，我們都必須先學會各種棋子對應的規則，才能開始去想下棋的策略與戰勝對手的妙方，事實上，對於數學證明也是如此，如果規則(定義)不懂，定理不明，看到題目就埋頭苦證，拼命思考各種技巧與策略(反證法、逆否命題、數學歸納法、直接證法)，我想也很難有所突破。因為根本就不清楚你的敵人是誰(也就是根本不清楚到底要證明甚麼!?)
尤有甚者，就算看了解答也是常常不明白作者為何可以甚麼都不說就從某一步會跳到某一步，這其實最根本的原因就是定義不清所導致的問題。
先總結一個重要概念。證明之前先問自己
- 是否已經清楚 "基本定義" !?
Comments:
1. 對於想要了解一般證明策略的讀者，建議可略過此文直接閱讀
關於數學證明的一點點思路(III)-Forward-backward method。
2. 除了基本定義之外，兩種"量詞" (quantifier: "for all" 與 "there exists") 的掌握也是證明中極為重要的技巧，但這篇文章重點不在此故不贅述。有興趣的讀者可參閱 Daniel Solow, How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes 2e, 2001
[數學分析] 淺談 Metric Space and Topology
以下文章將專注在清楚定義之後，邏輯間思路的連結。我們先看個簡單的例子
------------
Example 1
考慮下列兩個已知假設為 真：
1. 所有 生物都會死
2. 人 是 生物
試證 人會死。
------------
Proof：
[證明1] 已知人是生物，又已知 所有生物都會死，故 人會死。$\square$
或者
[證明2] 已知所有生物都會死，又已知人 是生物，故由 "所有生物都會死" 可得 人會死。$\square$
Comment:
在數學教科書或者文獻上，作者常將主要的結果用 定理 (Theorem)， 或者前置定理 (Lemma)，又或者衍生定理 (Corollary) 來描述。而其中最重要的結果是定理。一個數學的定理包含假設 (Hypothesis)與結論(Conclusion)：若以 Example 1來看，則假設的部分為 “所有生物會死” 與 “人是生物”，結論的部分則為 “人會死”。此結果可被稱為一個定理。
現在看看下面這個(不太)簡單的數學證明思路
一般而言，在證明某個結果之前，我們可能會知道 (或者嘗試去找到) 某些已知的結果 與我們的假設 或者 待證目標 有直接或間接相關。現在假設我們事先已知下列三個結果 (我們稱為定理)。
------------
Example 2
已知 定理 X: $P \; \& \;T \Rightarrow R$
已知 定理 A: $P \Rightarrow S$
已知 定理 B: $S \; \& \;Q \Rightarrow T$
試證：若 $P, Q$ 成立，則 $R$ 成立。
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NOTE: 上述陳述中使用的 $P \Rightarrow Q$ 在數學上表示 If $P$ then $Q$;
Proof:一般而言，一個好的習慣是先寫下 已知假設 (hypothese) 以及 待證的目標(conclusion)，故我們寫下：
已知假設: $P \; \& \; Q$
待證目標: $R$
那現在我們的目標就是 如何從 已知假設 $P \; \& \; Q$ 透過一連串的邏輯推理，推到結果為 $R$ 會成立。故唯一要做的事情就是把彼此之間的關聯性用 "邏輯" 連結起來。步驟如下:
Step 1: 讓 $P, Q$ 成立。
Step 2: 觀察手邊工具。首先由於 定理A 告訴我們 若 $P$ 成立，則 $S$ 成立，讀者可發現此定理直接與我們手邊有的假設 $P$ 相關，故我們可以馬上使用 定理A 得到
\[
P \Rightarrow S
\]所以現在變成 已知 $P \; \& \; Q$ $\Rightarrow S$
Step 3: 由於我們手邊已經有了 $P,Q$ 以及 $S$，觀察手邊工具可發現與前述相關的 定理 B ： $S \; \& \;Q \Rightarrow T$ 。也就是說我們現在手邊能得到的所有 邏輯推理關係 為 已知 $P \; \& \; Q$ $\Rightarrow S$ 且 $S \; \& \;Q \Rightarrow T$ (by 定理 B)；故合併兩者我們可馬上推至 $ T$ 的結果。
Step 4: 現在再度觀察上述結果，發現 定理 X 告訴我們 $P \; \& \;T \Rightarrow R$，此即為我們要證明的目標，故將此 定理 X 用上去 Step 3，便可推得證欲證的 $R$ 至此證明完畢。$\square$
想法圖如下"
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| 證明想法圖 |
Ref: Robert S. Strichartz, "The Way of Analysis revised edition",
延伸閱讀:
講的真好!!!! qwq
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