1. (單一)持有期收益率 (Holding-period return, HPR)
在特定投資期限之內的 收益率 (rate of return, $r$ )。其定義如下
\[
HPR := r = \frac{EV-BV+D}{BV}
\]其中 $EV$ 表示持有期間的 期末價格 (Ending Value)； $BV$ 表示 期初價格 (Beginning Value)； $D$ 表示期末配發的 現金股息(Dividend)
多個時期收益率的測量方法
- 算術平均法 (Arithmetic average)
- 幾何平均法 (Geometric average)
- 資金加權平均法 (Dollar-weighted average)
對各時期的收益率 $r_i$ 取平均得到平均收益率 $m$
\[
m:=\frac{1}{n} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} r_i
\]
3. 幾何平均法 (Geometric average (of n periods))
將各時期的收益率 $r_i$ 取幾何平均(考慮複利的效果)可得幾何平均收益率 $g$ 亦即 $g$ 滿足
\[
(1+g)^n = (1+r_1)(1+r_2)(1+r_3)...(1+r_n)
\]
4. 資金加權平均法 (Dollar-weighted average of n periods)
此法可計算出內部收益率(Internal Rate of Return, IRR on an investment)
其概念為應用 現金流折現模型計算內部收益率
\[
PV = \frac{C}{1+IRR} + \frac{C}{(1+IRR)^2} +...+ \frac{C}{(1+IRR)^n}
\]其中 $PV$ 為淨現值， $C$ 為淨現金流， $IRR$ 為內部收益率， $n$為期數
此法可計算出內部收益率(Internal Rate of Return, IRR on an investment)
其概念為應用 現金流折現模型計算內部收益率
\[
PV = \frac{C}{1+IRR} + \frac{C}{(1+IRR)^2} +...+ \frac{C}{(1+IRR)^n}
\]其中 $PV$ 為淨現值， $C$ 為淨現金流， $IRR$ 為內部收益率， $n$為期數
風險與風險溢價 (Risk and Risk premium)
兩種分析收益率的方法:
兩種分析收益率的方法:
- 對未來預測:使用情境分析 (機率論)
- 對過去分析:使用歷史資料 (統計學)
4. 情境分析 (Scenario analysis (= events))
列舉一些可能的經濟情況(比如經濟衰退、經濟復甦)，接著對每一種經濟情況給定其對應可的發生可能性。
- 在機率論上 情境分析等同 單純給定各種可能的"事件" 並進行分析(=給定機率)。
5. 機率分布 (Probability distribution)
把在情境分析中對所有已給定的事件將其列舉並給定對應的機率。
- 在機率論上 機率分布有嚴格的數學定義，我們在此並不贅述
下圖給出上述情境分析與機率分布一個例子
6. 預期收益率 (Expected return, $\mathbb{E}[r]$)
對於情境分析而言，預期收益率定義如下
\[
\mathbb{E}[r] := \displaystyle\sum_{i=1}^{n} r_i p_i
\]其中 $p_i$ 為情境(事件) $i$ 發生的機率； $r_i$ 為情境(事件) $i$ 的持有其收益率； $n$ 為情境(事件)個數
對於情境分析而言，預期收益率定義如下
\[
\mathbb{E}[r] := \displaystyle\sum_{i=1}^{n} r_i p_i
\]其中 $p_i$ 為情境(事件) $i$ 發生的機率； $r_i$ 為情境(事件) $i$ 的持有其收益率； $n$ 為情境(事件)個數
風險溢價 (Risk Premium) 與 風險厭惡 (Risk Aversion)
-文獻中上述風險厭惡 又稱 風險趨避
風險 (Risk)
通常由統計上的 變異數 $\sigma^2$ 或者 標準差 $\sigma$ 來描述風險
- 變異數 (Variance):
\[
Var :=\sigma^2= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} p(i) (r_i-\mathbb{E}[r])^2
\]
- 標準差 (Standard deviation): $\sigma := \sqrt{Var}$
在金融體系中，常將標準差 (稍作年化處理) 稱作波動度(Volatility)
下圖為1920-2010之間三種資產類別的收益率圖
(1) 大公司股票(Large stocks)
(2) 長期債卷(Long-term bonds)
(3) 國庫卷(T-bills)
注意到上圖大公司股票收益率震動幅度遠遠大過其他兩者，我們說 大公司股票的波動性大過長期債卷與國庫卷。
7. 無風險收益率(Risk-free rate, $r_f$),
指確定(或者損失風險極低)能夠獲得的收益率
-ex: 國庫卷(Treasury Bills)、大額定存(Certificate Deposits, CDs)
8. 風險溢價 (Risk premium)
超過無風險收益率的超額(預期)收益稱作風險溢價；也就是
\[
Risk \ Premium := \mathbb{E}[r] - r_f
\]
9. 超額收益率 (Excess return)
- 超過無風險收益率 $r_f$ 的收益率
- 超額收益率 有時又稱 超額報酬。
10. 風險厭惡 (Risk Aversion)
指投資人傾向於不接受風險，也就是說投資人呈現風險厭惡
-風險厭惡系數, $A$
\[
A := \frac{\mathbb{E}[r_m]-r_f}{\sigma_M^2}
\]注意
a. 上式中 $\mathbb{E}[r_m]$ 表示投資人關注的收益率是整體市場組合
b. 上式中的分母為市場收益率的變異數 $\sigma_M^2$ 而非波動度(標準差)
11. 夏普指數(Sharpe Ratio, S)；又稱 報酬-波動性比 (Reward-Volatility Ratio)
為 投資組合 (非單一股票!!) 的風險溢價 $\mathbb{E}[r_p]-r_f$ 比上 其標準差 $\sigma_p$；也就是
\[
S:=\frac{\mathbb{E}[r_p]-r_f}{\sigma_p}
\]其中 $r_f$ 為無風險利率。
- Sharpe Ratio 越高，代表越好 (標準差越小，風險溢價越高)；一般而言 Sharpe ratio 高於 1 可以視為較佳的投資指標；若高於 2 被視為極為優秀的投資指標。
- 注意: the standard deviation of return is useful risk measures for diversified portfolios but not useful way to think about the risk of individual securities. the sharpe ratio is a valid statistic only for ranking portfolios it is not valid for individual assets.
12. 均值-標準差分析 (Mean-variance analysis)
通貨膨脹與實際收益率
13. 通貨膨脹率 (Inflation rate, i)
透過消費者指數(Consumer Price Index, CPI)的增長率來衡量價格上漲的比率
14.名義利率 or 名義收益率(Nominal interest rate (not adjusted for purchasing power)
風險 (Risk)
通常由統計上的 變異數 $\sigma^2$ 或者 標準差 $\sigma$ 來描述風險
- 變異數 (Variance):
\[
Var :=\sigma^2= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} p(i) (r_i-\mathbb{E}[r])^2
\]
- 標準差 (Standard deviation): $\sigma := \sqrt{Var}$
在金融體系中，常將標準差 (稍作年化處理) 稱作波動度(Volatility)
下圖為1920-2010之間三種資產類別的收益率圖
(1) 大公司股票(Large stocks)
(2) 長期債卷(Long-term bonds)
(3) 國庫卷(T-bills)
7. 無風險收益率(Risk-free rate, $r_f$),
指確定(或者損失風險極低)能夠獲得的收益率
-ex: 國庫卷(Treasury Bills)、大額定存(Certificate Deposits, CDs)
8. 風險溢價 (Risk premium)
超過無風險收益率的超額(預期)收益稱作風險溢價；也就是
\[
Risk \ Premium := \mathbb{E}[r] - r_f
\]
9. 超額收益率 (Excess return)
- 超過無風險收益率 $r_f$ 的收益率
- 超額收益率 有時又稱 超額報酬。
10. 風險厭惡 (Risk Aversion)
指投資人傾向於不接受風險，也就是說投資人呈現風險厭惡
-風險厭惡系數, $A$
\[
A := \frac{\mathbb{E}[r_m]-r_f}{\sigma_M^2}
\]注意
a. 上式中 $\mathbb{E}[r_m]$ 表示投資人關注的收益率是整體市場組合
b. 上式中的分母為市場收益率的變異數 $\sigma_M^2$ 而非波動度(標準差)
11. 夏普指數(Sharpe Ratio, S)；又稱 報酬-波動性比 (Reward-Volatility Ratio)
為 投資組合 (非單一股票!!) 的風險溢價 $\mathbb{E}[r_p]-r_f$ 比上 其標準差 $\sigma_p$；也就是
\[
S:=\frac{\mathbb{E}[r_p]-r_f}{\sigma_p}
\]其中 $r_f$ 為無風險利率。
- Sharpe Ratio 越高，代表越好 (標準差越小，風險溢價越高)；一般而言 Sharpe ratio 高於 1 可以視為較佳的投資指標；若高於 2 被視為極為優秀的投資指標。
- 注意: the standard deviation of return is useful risk measures for diversified portfolios but not useful way to think about the risk of individual securities. the sharpe ratio is a valid statistic only for ranking portfolios it is not valid for individual assets.
12. 均值-標準差分析 (Mean-variance analysis)
依據Sharpe Ratio 來給投資組合排序
通貨膨脹與實際收益率
13. 通貨膨脹率 (Inflation rate, i)
透過消費者指數(Consumer Price Index, CPI)的增長率來衡量價格上漲的比率
通貨膨脹率: $i:=\frac{I_1}{I_0} -1$，其中 $I_1$ 為期末消費者指數 $I_0$ 為期初消費者指數。
下圖為1920-2010間的國庫卷利率(看成名義利率)、通貨膨脹率、與實際國庫卷利率(實際利率)。
下圖為1920-2010間的國庫卷利率(看成名義利率)、通貨膨脹率、與實際國庫卷利率(實際利率)。
尚未經過通貨膨脹率 $i$ 調整的利率
15. 實際利率 與 實際收益率 (Real interest rate) (Real rate of return)
透過通貨膨脹率 $i$ 調整的利率。實際收益率 $r$ 可由下式計算
\[
r:=\frac{EV/I_1}{BV/I_0}-1 = \frac{R+i}{1+i}
\]其中 $I_1$ 為期末消費者指數 $I_0$ 為期初消費者指數； $R$ 為名義收益率。
r:=\frac{EV/I_1}{BV/I_0}-1 = \frac{R+i}{1+i}
\]其中 $I_1$ 為期末消費者指數 $I_0$ 為期初消費者指數； $R$ 為名義收益率。
再投資類別中進行投資組合的選擇
-ex: 50% 股票 + 50% 債卷 即為一種投資組合，其資產分配到股票與債卷上
17. 完全組合 (Complete portfolio)
整個投資組合由 無風險資產 與 風險資產組成。
18. 資產分配線 (Capital Allocation Line, CAL)
透過對無風險資產 (由無風險利率表示 $r_f$ ) 與 風險資產( 由投資組合的預期收益率表示 $\mathbb{E}[r_p]$ )進行組合分配獲得的收益與風險，將其作圖而得。此圖斜率即為 Sharpe ratio.
-Capital allocation (the choice between risky & risk-free assets)
-Capital market line, CML: (CAL but using market index portfolio as the risky asset)
下圖給出了 常見的標準資產分配線
CAL斜率即為Sharpe Ratio: $S:=\frac{\mathbb{E}[r_p]-r_f}{\sigma_p}$
19. 被動型投資策略(Passive strategy)
不主動對證卷進行分析，主要為透過 買入-持有投資組合(通常為市場指數)的一種投資策略，
- 相對應是 主動型投資策略(Active strategy): e.g., 主動選股並進行個股分析的投資策略
20. 峰度 (Kurtosis)
峰度衡量 實數隨機變數的峰態 (分布是呈現高山狀 還是 有扁平尾)
-機率論中定義為四階動差(4-th order moment)，在此不贅述
Kurtosis of normal is zero.
21. 偏斜度 (Skew)
偏斜度衡量 實數隨機變數 機率分布的 非對稱性
-機率論中 定義為 三階動差(3rd order moment)，在此不贅述
If skew <0, it implies the extreme negative value > extreme positive value
22. 風險價值 (Value at risk (VaR))
在給定的信賴區間(通常是95%信賴區間)之下，資產投資組合在持有期間內由於市場價格變動所導致的最大預期損失的數值
謝謝分享~
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