[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)

[投資理論]權證定價(II) - 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM) 

這次是延續上一次與大家分享 的股息貼現模型(DDM)
 [投資理論]權證定價(I) - 股息貼現模型(Dividend Discounted Model, DDM) 

我們在上一篇文章中有簡介DDM的推導，並於最後提到DDM本身的缺陷 (DDM需要知道任何未來年份的配發股息預期值。但事實上這仍是難以估計)，為了克服這個問題，Gordon 教授於1956年 提出外加一個簡化的假設來企圖使DDM可以容易使用：

假設：股息全部由固定增長率來增加

此修正型的股息貼現模型 我們稱作 固定增長股息貼現模型 或者 Gordon 模型

在介紹模型之前，我們得先再回頭看看 Gordon 教授提出的簡化假設到底是甚麼意思?
也就是說什麼叫做 股息全部由固定增長率來增加? 在甚麼樣的情況之下這件事情會成立：

這個問題的答案就是如果某間公司是 所謂的 固定增長公司 (Constantly Growing Firm)，則其具備股息為固定增長率來增長。

固定增長公司假設：

1. 公司無任何負債，也就是說資產-債務表上: 資產 = 股東權益
2. 公司的 股本權益收益率(Return on Equity, ROE) 為固定常數
3. 公司的 再投資率(Plowback ratio, b)為固定常數
4. 公司利潤(Earning) $E_t$、配發股息(Dividend) $D_t$、與股東權益(Equity = Book Value) 全為固定速率增長

也就是說公司增長率:
$g:= b \times (ROE) =  \left ( \frac{E_t}{E_{t-1}}-1 \right )= \left( \frac{D_t}{D_{t-1}}-1 \right) = \left( \frac{BV_{t}}{BV_{t-1}} \right) $

若上述假設成立，則固定增長速率的公司可以讓我們推論：

首先透過會計或者資產-債務表 (balancing sheet)中，可得到初始 帳面價值(Book Value), $BV_{t-1}$

接著，由初始帳面價值 $BV_{t-1}$ 可以計算：

公司的年末利潤: $E_t = BV_{t-1} \times (ROE)$

公司的年末配發股息: $D_t := E_t(1-b)$

公司留存準備再投資的部分利潤: $E_t - D_t = E_t  \times b$

公司年末的帳面價值(=年初帳面價值 + 利潤 - 配發股息): $BV_t := BV_{t-1} + E_t - D_t$

注意：公司增長率: $g := b \times (ROE)$

如果公司滿足上述假設，我們說此公司為 固定增長公司，此時我們便可引入 固定增長股息折現模型(Constant Growth DDM)

其概念如下：
回憶標準DDM
\[
{\color{red}  {P_0 = \frac{\mathbb{E}[D_1]}{1+\mathbb{E}[r]} +  \frac{\mathbb{E}[D_2]}{(1+\mathbb{E}[r])^2}+ \frac{\mathbb{E}[D_3]}{(1+\mathbb{E}[r])^3}+...}}\]

現在考慮公司所配發的股息以固定增長速率 $g$ 增長; i.e.,
\[
D_t = D_0(1+g)^t\]
且令 $k := \mathbb{E}[r]$ 為預期必要收益率 or 市場資本化比率，注意此收益率可由CAPM模型來求得, i.e.,
\[
k:=r_f + \beta (\mathbb{E}[r_{market}] - r_f) \]
將 $D_t$ 與 $k$ 代入標準DDM則我們可以改寫如下
\[
 \Rightarrow  P_0 = \frac{D_0(1+g)}{1+k} +  \frac{D_0(1+g)^2}{(1+k)^2}+ \frac{D_0(1+g)^3}{(1+k)^3}+...\]
透過無窮等比級數公式可知
\[
 {\color{red} { P_0 = \frac{D_0(1+g)}{k-g} = \frac{D_1}{k-g}}} \]
上式即被稱為 固定增長股息貼現模型(Constant growing DDM)  或者 Gordon Model

Comments:

1. 上式如果 $g>k$ 或者 $g=k$ 則Gordon Model失效 2. 注意到我們亦可由Gordon Model 反求(對Gordon Model做簡單的移項即可求得) 預期的必要收益率 or 市場資本化比率 k \[
{\color{red} k = \frac{D_1}{P_0} + g = Dividend \ yield + Capital \ gains \ yield} \]

上式被稱作 現金流折現公式 (Discounted Cash Flow (DCF) Formula)