[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(2) - Series version

令 $X$ 為 metric space。現在考慮 一組 函數 sequence $\{f_n \}$ 定義在集合 $E \subset X$，我們稱 $\{f_n \}$為 uniform convergence 若下列任一條件成立
1. (Definition) 對任意 $\varepsilon >0$, 存在 $N >0$ 使得 $n > N$ 對所有的 $x \in E$
\[|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon
\]2. (Cauchy criterion) 若對任意 $\varepsilon >0$, 存在 $N >0$ 使得 對任意 $x \in E$， 我們有 \[
 n,m > N \Rightarrow |f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon
\]3. (Sup-norm version) 若 \[
\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in E} |f_n(x) - f(x)| =\lim_{n\rightarrow \infty}||f_n - f|| =0
\]
那麼現在我們看看若是一個級數而言，我們亦可討論此級數 是否 uniform convergence。故我們先給定級數收斂的定義

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Definition: (Convergence of Series of numbers )
令級數 $ \sum_{n=1}^{\infty}a_n$, 其中 $a_n \in \mathbb{R}$ ，我們稱此級數收斂若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon >0$，存在 $N>0$ 使得 對任意 $m > N$
\[\left| {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}}  - \sum\limits_{n = 1}^m {{a_n}} } \right| < \varepsilon \]亦即所謂的級數的 partial sum 收斂。
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那麼對於一組函數級數的收斂該怎麼定義呢?

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Definition: (Convergence of Series of functions )
$E \subset X$，給定 $\{f_n(x) \}$ 為在 $E$ 上的函數 sequence，定義 函數級數 $ \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$, 其中 $a_n \in \mathbb{R}$ ，我們稱此 函數級數為 逐點收斂(converges pointwise) 若下列條件成立：
給定任意點 $x \in E$，對任意 $\varepsilon >0$，存在 $N>0$ 使得 對任意 $m > N$
\[\left| {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{f_n(x)}}  - \sum\limits_{n = 1}^m {{f_n(x)}} } \right| < \varepsilon \]亦即所謂的級數的 partial sum 收斂。

我們稱此 函數級數 為 均勻收斂(converges uniformly) 若下列條件成立：
對任意 $\varepsilon >0$，存在 $N>0$ 使得 對任意 $m > N$ 與 任意 $x \in E$
\[\left| {\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{f_n(x)}}  - \sum\limits_{n = 1}^m {{f_n(x)}} } \right| < \varepsilon \]亦即所謂的級數的 partial sum 收斂。
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注意到上述定義要求無窮級數合，這在使用上會有一定的困難，故我們轉而利用 Cauchy criterion  (因為 "級數" 本身可視為一個函數。則透過函數的均勻收斂條件可知道 若且唯若 Cauchy criterion 成立 )，亦即：

Cauchy Criterion for uniform convergent series
函數級數 $ \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 為 均勻收斂(converges uniformly)若下列條件成立
對任意 $\varepsilon >0$, 存在 $N >0$ 使得 $n,m > N (n>m>N)$, $x \in E$ 我們有\[\left| {\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)}  - \sum\limits_{k = 1}^m {{f_k}(x)} } \right| < \varepsilon \]


接著我們在給出一個更進一步的結果，就是若函數級數的每一項都有界，且其有界函數的級數合收斂，則原函數級數有 均勻收斂，此稱作 Weierstrass M test 記做下面定理
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Theorem: Weierstrass M-test
設 $\{f_n \}$ 為一組定義在集合 $E$ 上函數 sequence，且我們假設
\[
|f_n(x)| \le M_n, (x\in E, n\in \mathbb{N})
\] 現若 級數 $\sum_n M_n$ 收斂，則 $\sum_n f_n$ converges uniformly on $E$ 。
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Proof:
給定任意 $\varepsilon >0$，我們可使用 Cauchy criterion 幫助我們判斷 函數級數的 均勻收斂；現在觀察 partial sum：
\[\left| {\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)}  - \sum\limits_{k = 1}^m {{f_k}(x)} } \right| = \left| {\sum\limits_{k = m}^n {{f_k}(x)} } \right| \le \sum\limits_{k = m}^n {\left| {{f_k}(x)} \right|}  \le \sum\limits_{k = m}^n {{M_k}} \ \ \ \ (*)
\]上述不等式最後一項成立 (使用假設 $|f_k(x)| \le M_k, (x\in E, k\in \mathbb{N})$)，又因為 級數 $\sum_n M_n$ 收斂，故可知 $(*)$ 收斂，亦即存在一個 $N$ 使得 當 $m,n > N$ 的時候，
\[\left| {\sum\limits_{k = 1}^n {{f_k}(x)}  - \sum\limits_{k = 1}^m {{f_k}(x)} } \right| \le \sum\limits_{k = m}^n {{M_k}}  < \varepsilon \]亦即 $\sum_n f_n$ converges uniformly on $E$

Example
考慮級數
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{n^2}
\]試判斷此級數是否均勻收斂?
Solution
利用 Weierstrass M-test，首先檢驗
\[
 |\frac{\sin (nx)}{n^2}| \le |\frac{1}{n^2}|
\]接著觀察
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \rightarrow 0
\]故 由Weierstrass M-test Theorem
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{n^2} \rightarrow 0
\]均勻收斂。


延伸閱讀
[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(3) - Differentiation property

[數學分析] 逐點收斂與均勻收斂(4) - Uniform boundedness and Equicontinuity