想法：
這次要介紹數學分析理論中一個重要的定理，稱作 反函數定理 (Inverse Function Theorem)，簡而言之，反函數定理指出 一個 連續可微函數 $f$，若我們考慮點 $x$ 可使其 Linear transformation $f'$ 為 invertibale，則該點 $x$ 附近的 $f'$ 都為 invertible。
Comments:
1. 上述我們所提及的 invertible 我們指 一個 Linear transformation 為 invertible，嚴格來說定義如下：若 linear transformation $A: X \to Y$ 為 invertible，若下列條件滿足：
(a.) $A$ 為 one-to-one： (i.e., $A x = Ay \Rightarrow x =y$)
(b.) $A(X) = Y$ (i.e., $A$ maps $X$ onto $Y$ or 對任意 $y \in Y$, 存在 $x \in X$ 使得 $Ax = y$ )
2. 以下討論我們皆以 多變數向量函數 為主，亦即
若 $A \subset \mathbb{R}^n$ 且 $B \subset \mathbb{R}^m$，$n,m \in \mathbb{N}$ 則我們稱 $\bf f$ $: A \to B$ 為多變項量函數 (vector function of several variables.)
接著我們介紹何謂 $C^1$ 函數：
================
Definition: $C^1$ Continuously differentiable
我們稱一個可導的 mapping ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 為 continuously differentiable in $E$ (記做 ${\bf f} \in C^1(E)$) 若下列條件成立：
${\bf f}':E \to L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ 為 continuous mapping ；亦即 對任意 ${\bf x} \in E$ 且 任意 $\varepsilon >0$，存在 $\delta >0$ 使得 對任意 ${\bf y} \in E$，
\[||{\bf{x}} - {\bf{y}}|| < \delta \Rightarrow ||{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right) - {\bf{f}}'\left( {\bf{y}} \right)|| < \varepsilon \]================
現在我們可以介紹 反函數定理：
Inverse Function Theorem 的基本想法:
考慮 連續函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 若 $f'>0$ 則我們知道 $f$ 為 monotonic (嚴格來說 $f$ 為 strictly increasing)。我們可推知 $f$ 必為 one-to-one 與 onto (讀者可自行驗證)；故 $f$ 為 invertible。
故如果我們觀察以上結果，可發現若 $f' \neq 0$ 且 連續，則 $f$ 必為 invertible。那麼將此結果推廣到多變數向量函數的情況便會得到 Inverse Function Theorem。
======================
Theorem: Inverse Function Theorem
令 ${\bf f} \in C^1(E)$，$E $ 為 open set 且 ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$；
假設存在 點 ${\bf a} \in E$ 使得 ${\bf f}'({\bf a})$ 為 invertible linear operator 且 ${\bf{b}} = {\bf{f}}\left( {\bf{a}} \right)$ 則
Comment:
Inverse Function Theorem 要求 $\bf f'$$({\bf a})$ 需要為連續 (因為 $C^1$)。此假設是必要的! (若無此假設，反函數不存在。) 我們看下面的例子：
Example
考慮 $n=1$，且考慮
\[f\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
t + 2{t^2}\sin \left( {1/t} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t \ne 0\\
0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t = 0
\end{array} \right.\]則 $f'(0) =1$，$f'$ 在 $(-1,1)$ 上有界，但在 $0$ 點附近任意鄰域 $f$ 並非 one-to-one 。
Proof:
我們首先證明 $f'(0) =1$，由導數定義可知
\[\small
f'\left( 0 \right): = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h + 2{h^2}\sin \left( {1/h} \right) - 0}}{h} = 1 + 2\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin \left( {1/h} \right)h = 1
\]接著我們證明 $f'$ 在 $(-1,1)$ 上有界；亦即 對任意 $x \in (-1,1)$ 要證明 存在 $M$ 使得 $|f'(t)| \le M$。觀察
\[\left| {f'\left( x \right)} \right| = \left| {1 + 4t\sin \left( {1/t} \right) - 2\cos \left( {1/t} \right)} \right| \le 1 + 4 + 2 = 7\]此處暗示了 $f'(0)$ 不為連續函數。 因為
\[\begin{array}{l}
|f'\left( t \right) - f'\left( 0 \right)| = |\left[ {1 + 4t\sin \left( {1/t} \right) - 2\cos \left( {1/t} \right)} \right] - 1|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = |4t\sin \left( {1/t} \right) - 2\cos \left( {1/t} \right)| \le 4|t| + 2 < 4\delta + 2
\end{array}\]故不管 $\varepsilon$ 選多小都沒辦法使上述誤差項 $|f(t) - f(0)|$ 逼近任意小。
最後我們證明 $0$ 點附近任意鄰域 $f$ 並非 one-to-one：故給定任意 $r>0$ 使得任意$0$ 點附近 鄰域 $B_r(0)$，存在相異點 $x,y \in B_r(0)$ 滿足 $x = -y$ 使得在此鄰域中 $f(x) =f(y)$。注意到 $|x-y| = |x- (-x)| < r \Rightarrow |x| < r/2$ 且
\[\begin{array}{l}
f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) = 2x\left[ {x + 2{x^2}\sin \left( {1/x} \right) - \left( { - x - 2{x^2}\sin \left( {1/x} \right)} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {\left( {2x} \right)^2}\left[ {1 + 2x\sin \left( {1/x} \right)} \right] < {r^2}\left[ {1 + 2r} \right]
\end{array}\]由於 $r$ 為任意正數，故 $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)$
Proof: Inverse Function Theorem
先證 (1)： 亦即要證 存在 open sets $U,V \subset \mathbb{R}^n$ 使得 ${\bf{a}} \in U$， ${\bf b} \in V$； 且 $\bf f$ 為 one-to-one on $U$ 且 ${\bf f}(U) = V$。
想法如下：要證明 one-to-one 除了利用定義之外，我們亦可透過建構輔助函數 利用 contraction principle 的幫助來得到我們所需的結果。
首先令 ${\bf{f}}'\left( {\bf{a}} \right): = A$ 且 選擇 $\lambda \in \mathbb{R}$ 使得 $2 \lambda ||A^{-1}||_L=1 $ $(*)$
(在此 $||\cdot||_L$ 表 operator norm)
由於 $\bf f$ 在 $\bf a$處可導，故可知 $\bf f'$ 為 continuous at 點 $\bf a$；亦即 對任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta >0$ 使得 對任意 ${\bf x} \in E$，
\[
||{\bf{x}} - {\bf{a}}|| < \delta \Rightarrow ||{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{x}} \right) - \underbrace {{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{a}} \right)}_{ = A}|| < \varepsilon
\] 現在取 $\varepsilon:= \lambda$ 可推知：存在 球心為 $\bf a$ 半徑為 $\delta$ 的 open ball $U \subset E$ (表 $||{\bf x} - {\bf a}|| < \delta$) 使得 對任意 $\bf x$ $\in U$，我們有
\[
||{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{x}} \right) - A|| < \lambda \ \ \ \ \ (\star)
\]現在，對任意 ${\bf y} \in \mathbb{R}^n$，定義輔助函數 $\varphi$ 如下：對任意 $\bf x$ $\in E$
\[
\varphi ({\bf{x}}): = {\bf{x}} + {A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right)
\]觀察上式，注意到 ${\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{y}}$ 若且唯若 ${\bf{x}}$ 為 fixed point of $\varphi$。 $(**)$
故我們接著計算 $\varphi'$，首先我們觀察 \[\varphi ({\bf{x}} + {\bf{h}}) - \varphi ({\bf{x}}) = {\bf{h}} - {A^{ - 1}}\left[ {{\bf{f}}\left( {{\bf{x}} + {\bf{h}}} \right) - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right]\]故可推知
\[\begin{array}{l}
\varphi '({\bf{x}}) = I + {A^{ - 1}}{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = {A^{ - 1}}\left[ {A + {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)} \right]
\end{array}\]現在對上式取 norm，並 利用 $(*)$ 與 $(\star)$ 可推知
\[\begin{array}{l}
{\left\| {\varphi '({\bf{x}})} \right\|_L} = {\left\| {{A^{ - 1}}\left[ {A + {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)} \right]} \right\|_L}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} \le {\left\| {{A^{ - 1}}} \right\|_L}{\left\| {A + {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)} \right\|_L}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{\lambda }{2} \cdot \lambda = \frac{1}{2}
\end{array}
\] 上式對任意 $\bf x$ $\in U$ 成立。現在利用 Mean Value Theorem 可知對任意 ${\bf x}_1$, ${\bf x}_2$ $\in U$
\[{\left\| {\varphi ({\bf{x}}_1) - \varphi ({\bf{x}}_2)} \right\|_L} \le \frac{1}{2}{\left\| {{\bf{x}}_1 - {\bf{x}}_2} \right\|_L}\]故由 Contraction principle 可知 $\varphi$ 有唯一固定點 $\bf x$ $\in U$；由 $(**)$可知存在唯一固定點 $\bf x$ 使得 ${\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{y}}$ 因此 $\bf f$ 為 one-to-one in $U$
接著我們證 ${\bf f}(U) = V$ 為 open 。
亦即要證給定任意 ${\bf y}_0 \in V$ 存在 $R>0$ 使得 開球 $B_R({\bf y}_0) \subset V$
令 $V:= {\bf f} (U)$ 則若我們取 ${{\bf{y}}_0} \in V$ 則 存在 ${\bf x}_0$ 使得 ${{\bf{y}}_0} = {\bf{f}}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)$ 。現在取 開球 $B_r({\bf x}_0)$ ，並且讓 $B_r({\bf x}_0)$ 的半徑 $r>0$ 足夠小 使得 開球的 closure $\bar B_r({\bf x}_0) \subset U$。
現在選 $R:= \lambda r$ 我們要證明 開球 $B_R({\bf y}_0) \subset V$，此等價證明以下 Claim:
Claim: $\left\| {{\bf{y}} - {{\bf{y}}_0}} \right\| < \lambda r \Rightarrow {\bf{y}} \in V$
(此陳述等價對任意 $R:=\lambda r>0$ 存在 open ball $B_{\lambda r} ({\bf y}_0) \subset V$)
固定任意 $\bf y$ 滿足 $||{\bf y} - {\bf y}_0|| < \lambda r$，回憶我們先前定義的 contraction 函數 $\varphi$
\[
\varphi ({\bf{x}}): = {\bf{x}} + {A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right)
\]觀察
\[\begin{array}{l}
\left\| {\varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\| = \left\| {{{\bf{x}}_0} + {A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)} \right) - {{\bf{x}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left\| {{A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)} \right)} \right\| = \left\| {{A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {{\bf{y}}_0}} \right)} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \left\| {{A^{ - 1}}} \right\|\left\| {{\bf{y}} - {{\bf{y}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{1}{{2\lambda }}\lambda r = \frac{1}{2}r
\end{array}
\]若 $\bf x$ $\in \bar B_r({\bf x}_0)$ 則 $\left\| {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right\| \le r$ 且我們有
\[\begin{array}{l}
\left\| {\varphi ({\bf{x}}) - {{\bf{x}}_0}} \right\| = \left\| {\varphi ({\bf{x}}) - \varphi ({{\bf{x}}_0}) + \varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \left\| {\varphi ({\bf{x}}) - \varphi ({{\bf{x}}_0})} \right\| + \left\| {\varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\|
\end{array}
\]由於 $\left\| {\varphi ({{\bf{x}}_1}) - \varphi ({{\bf{x}}_2})} \right\| \le \frac{1}{2}\left\| {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right\|$ (注意到此式成立 ${\bf x}_1, {\bf x}_2$ $\in \bar B_r({\bf x}_0)$)故可知
\[\begin{array}{l}
\left\| {\varphi ({\bf{x}}) - {{\bf{x}}_0}} \right\| \le \left\| {\varphi ({\bf{x}}) - \varphi ({{\bf{x}}_0})} \right\| + \left\| {\varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{1}{2}\left\| {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right\| + \frac{r}{2}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{1}{2}r + \frac{r}{2} = r
\end{array}\]因此 $\varphi({\bf x}) \in B_r({\bf x}_0)$ 故 $\varphi$ 確實為 contraction on $\bar B_r({\bf x}_0)$ ；且由於 $\bar B_r$ 為 closed subset in $\mathbb{R}^n$ 故 $\bar B_r$ 為 complete ，利用 Contraction principle 可知具有唯一固定點 ${\bf x}^*$ $\in \bar B_r({\bf x}_0)$，對此 ${\bf x}^*$ 而言，我們有
\[{\bf{f}}\left( {\bf{x}^*} \right) = {\bf{y}} \in {\bf{f}}\left( {{{\bar B}_r}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)} \right) \subset {\bf{f}}\left( U \right) = V\]因此 ${\bf{y}} \in V$
Corollary: (f is a open mapping of E to R^n)
若 $\bf f$ $\in C^1(E)$，且 ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 且 若 對任意 $\bf x$，${\bf f}'({\bf x})$ 為 invertible，則 對任意 open set $W \subset E$，${\bf f}(W)$ 為 open subset of $\mathbb{R}^n$
以下我們看個 Inverse Function Theorem 的應用：
Example
Let $L:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ be a bounded linear operator such that $||L(\vec x)|| = ||\vec x||$ for all $\vec x \in \mathbb{R}^n$. Define $f(\vec x):=L(\vec x) + g(\vec x)$ where $||g(\vec x)|| \le M ||\vec x||^2$ and $f \in C^1$. Show that $f$ is invertible in a neighborhood of $\vec 0 \in \mathbb{R}^n$.
Proof: First show that $f'(\vec0) = L$. Observe that
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {f(\vec h) - f\left( {\vec 0} \right) - L\vec h} \right\|}}{{\left\| {\vec h} \right\|}} = \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {L\vec h + g(\vec h) - g(\vec 0) - L\vec h} \right\|}}{{\left\| {\vec h} \right\|}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {g(\vec h) - g(\vec 0)} \right\|}}{{\left\| h \right\|}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{M{{\left\| {\vec h} \right\|}^2}}}{{\left\| {\vec h} \right\|}} = \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} M\left\| {\vec h} \right\| = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {f(\vec h) - f\left( {\vec 0} \right) - L\vec h} \right\|}}{{\left\| {\vec h} \right\|}} = 0
\end{array}\]Hence, $f'(\vec 0) =L.$ Next, we show $L$ is invertible. Observe that for two vectors $\vec x, \vec y$ $\in \mathbb{R}^n$, suppose $L\vec x = L\vec y$, we have by linearity,
$L\left( {\vec x - \vec y} \right) = 0$. This shows $\vec x = \vec y$; i.e., $L$ is invertible. Now, by inverse function theorem, we know that $f$ is invertible in a neighborhood of $\vec 0$ $\in \mathbb{R}^n$. $\square$
這次要介紹數學分析理論中一個重要的定理，稱作 反函數定理 (Inverse Function Theorem)，簡而言之，反函數定理指出 一個 連續可微函數 $f$，若我們考慮點 $x$ 可使其 Linear transformation $f'$ 為 invertibale，則該點 $x$ 附近的 $f'$ 都為 invertible。
Comments:
1. 上述我們所提及的 invertible 我們指 一個 Linear transformation 為 invertible，嚴格來說定義如下：若 linear transformation $A: X \to Y$ 為 invertible，若下列條件滿足：
(a.) $A$ 為 one-to-one： (i.e., $A x = Ay \Rightarrow x =y$)
(b.) $A(X) = Y$ (i.e., $A$ maps $X$ onto $Y$ or 對任意 $y \in Y$, 存在 $x \in X$ 使得 $Ax = y$ )
2. 以下討論我們皆以 多變數向量函數 為主，亦即
若 $A \subset \mathbb{R}^n$ 且 $B \subset \mathbb{R}^m$，$n,m \in \mathbb{N}$ 則我們稱 $\bf f$ $: A \to B$ 為多變項量函數 (vector function of several variables.)
接著我們介紹何謂 $C^1$ 函數：
================
Definition: $C^1$ Continuously differentiable
我們稱一個可導的 mapping ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 為 continuously differentiable in $E$ (記做 ${\bf f} \in C^1(E)$) 若下列條件成立：
${\bf f}':E \to L(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$ 為 continuous mapping ；亦即 對任意 ${\bf x} \in E$ 且 任意 $\varepsilon >0$，存在 $\delta >0$ 使得 對任意 ${\bf y} \in E$，
\[||{\bf{x}} - {\bf{y}}|| < \delta \Rightarrow ||{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right) - {\bf{f}}'\left( {\bf{y}} \right)|| < \varepsilon \]================
Inverse Function Theorem 的基本想法:
考慮 連續函數 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 若 $f'>0$ 則我們知道 $f$ 為 monotonic (嚴格來說 $f$ 為 strictly increasing)。我們可推知 $f$ 必為 one-to-one 與 onto (讀者可自行驗證)；故 $f$ 為 invertible。
故如果我們觀察以上結果，可發現若 $f' \neq 0$ 且 連續，則 $f$ 必為 invertible。那麼將此結果推廣到多變數向量函數的情況便會得到 Inverse Function Theorem。
======================
Theorem: Inverse Function Theorem
令 ${\bf f} \in C^1(E)$，$E $ 為 open set 且 ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$；
假設存在 點 ${\bf a} \in E$ 使得 ${\bf f}'({\bf a})$ 為 invertible linear operator 且 ${\bf{b}} = {\bf{f}}\left( {\bf{a}} \right)$ 則
- 存在兩 open sets $U,V \subset \mathbb{R}^n$ 使得 ${\bf{a}} \in U$, ${\bf b} \in V$； 且 $\bf f$ 為 one-to-one on $U$ 且 ${\bf f}(U) = V$。
- 若 $\bf g$ 為 inverse of $\bf f$ (定義在 $V$ 上) 且滿足對任意 ${\bf x} \in U$ 我們有 ${\bf{g}}\left( {{\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right) = {\bf{x}}$ 則 ${\bf g} \in C^1(V)$
Comment:
Inverse Function Theorem 要求 $\bf f'$$({\bf a})$ 需要為連續 (因為 $C^1$)。此假設是必要的! (若無此假設，反函數不存在。) 我們看下面的例子：
Example
考慮 $n=1$，且考慮
\[f\left( t \right): = \left\{ \begin{array}{l}
t + 2{t^2}\sin \left( {1/t} \right),\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t \ne 0\\
0\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array},\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}t = 0
\end{array} \right.\]則 $f'(0) =1$，$f'$ 在 $(-1,1)$ 上有界，但在 $0$ 點附近任意鄰域 $f$ 並非 one-to-one 。
Proof:
我們首先證明 $f'(0) =1$，由導數定義可知
\[\small
f'\left( 0 \right): = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0 + h} \right) - f\left( 0 \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h + 2{h^2}\sin \left( {1/h} \right) - 0}}{h} = 1 + 2\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin \left( {1/h} \right)h = 1
\]接著我們證明 $f'$ 在 $(-1,1)$ 上有界；亦即 對任意 $x \in (-1,1)$ 要證明 存在 $M$ 使得 $|f'(t)| \le M$。觀察
\[\left| {f'\left( x \right)} \right| = \left| {1 + 4t\sin \left( {1/t} \right) - 2\cos \left( {1/t} \right)} \right| \le 1 + 4 + 2 = 7\]此處暗示了 $f'(0)$ 不為連續函數。 因為
\[\begin{array}{l}
|f'\left( t \right) - f'\left( 0 \right)| = |\left[ {1 + 4t\sin \left( {1/t} \right) - 2\cos \left( {1/t} \right)} \right] - 1|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = |4t\sin \left( {1/t} \right) - 2\cos \left( {1/t} \right)| \le 4|t| + 2 < 4\delta + 2
\end{array}\]故不管 $\varepsilon$ 選多小都沒辦法使上述誤差項 $|f(t) - f(0)|$ 逼近任意小。
最後我們證明 $0$ 點附近任意鄰域 $f$ 並非 one-to-one：故給定任意 $r>0$ 使得任意$0$ 點附近 鄰域 $B_r(0)$，存在相異點 $x,y \in B_r(0)$ 滿足 $x = -y$ 使得在此鄰域中 $f(x) =f(y)$。注意到 $|x-y| = |x- (-x)| < r \Rightarrow |x| < r/2$ 且
\[\begin{array}{l}
f\left( x \right) - f\left( { - x} \right) = 2x\left[ {x + 2{x^2}\sin \left( {1/x} \right) - \left( { - x - 2{x^2}\sin \left( {1/x} \right)} \right)} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = {\left( {2x} \right)^2}\left[ {1 + 2x\sin \left( {1/x} \right)} \right] < {r^2}\left[ {1 + 2r} \right]
\end{array}\]由於 $r$ 為任意正數，故 $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)$
Proof: Inverse Function Theorem
先證 (1)： 亦即要證 存在 open sets $U,V \subset \mathbb{R}^n$ 使得 ${\bf{a}} \in U$， ${\bf b} \in V$； 且 $\bf f$ 為 one-to-one on $U$ 且 ${\bf f}(U) = V$。
想法如下：要證明 one-to-one 除了利用定義之外，我們亦可透過建構輔助函數 利用 contraction principle 的幫助來得到我們所需的結果。
首先令 ${\bf{f}}'\left( {\bf{a}} \right): = A$ 且 選擇 $\lambda \in \mathbb{R}$ 使得 $2 \lambda ||A^{-1}||_L=1 $ $(*)$
(在此 $||\cdot||_L$ 表 operator norm)
由於 $\bf f$ 在 $\bf a$處可導，故可知 $\bf f'$ 為 continuous at 點 $\bf a$；亦即 對任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta >0$ 使得 對任意 ${\bf x} \in E$，
\[
||{\bf{x}} - {\bf{a}}|| < \delta \Rightarrow ||{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{x}} \right) - \underbrace {{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{a}} \right)}_{ = A}|| < \varepsilon
\] 現在取 $\varepsilon:= \lambda$ 可推知：存在 球心為 $\bf a$ 半徑為 $\delta$ 的 open ball $U \subset E$ (表 $||{\bf x} - {\bf a}|| < \delta$) 使得 對任意 $\bf x$ $\in U$，我們有
\[
||{{\bf{f}}^\prime }\left( {\bf{x}} \right) - A|| < \lambda \ \ \ \ \ (\star)
\]現在，對任意 ${\bf y} \in \mathbb{R}^n$，定義輔助函數 $\varphi$ 如下：對任意 $\bf x$ $\in E$
\[
\varphi ({\bf{x}}): = {\bf{x}} + {A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right)
\]觀察上式，注意到 ${\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{y}}$ 若且唯若 ${\bf{x}}$ 為 fixed point of $\varphi$。 $(**)$
故我們接著計算 $\varphi'$，首先我們觀察 \[\varphi ({\bf{x}} + {\bf{h}}) - \varphi ({\bf{x}}) = {\bf{h}} - {A^{ - 1}}\left[ {{\bf{f}}\left( {{\bf{x}} + {\bf{h}}} \right) - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right]\]故可推知
\[\begin{array}{l}
\varphi '({\bf{x}}) = I + {A^{ - 1}}{\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}
\end{array} = {A^{ - 1}}\left[ {A + {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)} \right]
\end{array}\]現在對上式取 norm，並 利用 $(*)$ 與 $(\star)$ 可推知
\[\begin{array}{l}
{\left\| {\varphi '({\bf{x}})} \right\|_L} = {\left\| {{A^{ - 1}}\left[ {A + {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)} \right]} \right\|_L}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} \le {\left\| {{A^{ - 1}}} \right\|_L}{\left\| {A + {\bf{f}}'\left( {\bf{x}} \right)} \right\|_L}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{\lambda }{2} \cdot \lambda = \frac{1}{2}
\end{array}
\] 上式對任意 $\bf x$ $\in U$ 成立。現在利用 Mean Value Theorem 可知對任意 ${\bf x}_1$, ${\bf x}_2$ $\in U$
\[{\left\| {\varphi ({\bf{x}}_1) - \varphi ({\bf{x}}_2)} \right\|_L} \le \frac{1}{2}{\left\| {{\bf{x}}_1 - {\bf{x}}_2} \right\|_L}\]故由 Contraction principle 可知 $\varphi$ 有唯一固定點 $\bf x$ $\in U$；由 $(**)$可知存在唯一固定點 $\bf x$ 使得 ${\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right) = {\bf{y}}$ 因此 $\bf f$ 為 one-to-one in $U$
接著我們證 ${\bf f}(U) = V$ 為 open 。
亦即要證給定任意 ${\bf y}_0 \in V$ 存在 $R>0$ 使得 開球 $B_R({\bf y}_0) \subset V$
令 $V:= {\bf f} (U)$ 則若我們取 ${{\bf{y}}_0} \in V$ 則 存在 ${\bf x}_0$ 使得 ${{\bf{y}}_0} = {\bf{f}}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)$ 。現在取 開球 $B_r({\bf x}_0)$ ，並且讓 $B_r({\bf x}_0)$ 的半徑 $r>0$ 足夠小 使得 開球的 closure $\bar B_r({\bf x}_0) \subset U$。
現在選 $R:= \lambda r$ 我們要證明 開球 $B_R({\bf y}_0) \subset V$，此等價證明以下 Claim:
Claim: $\left\| {{\bf{y}} - {{\bf{y}}_0}} \right\| < \lambda r \Rightarrow {\bf{y}} \in V$
(此陳述等價對任意 $R:=\lambda r>0$ 存在 open ball $B_{\lambda r} ({\bf y}_0) \subset V$)
固定任意 $\bf y$ 滿足 $||{\bf y} - {\bf y}_0|| < \lambda r$，回憶我們先前定義的 contraction 函數 $\varphi$
\[
\varphi ({\bf{x}}): = {\bf{x}} + {A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {\bf{x}} \right)} \right)
\]觀察
\[\begin{array}{l}
\left\| {\varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\| = \left\| {{{\bf{x}}_0} + {A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)} \right) - {{\bf{x}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left\| {{A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {\bf{f}}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)} \right)} \right\| = \left\| {{A^{ - 1}}\left( {{\bf{y}} - {{\bf{y}}_0}} \right)} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \left\| {{A^{ - 1}}} \right\|\left\| {{\bf{y}} - {{\bf{y}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{1}{{2\lambda }}\lambda r = \frac{1}{2}r
\end{array}
\]若 $\bf x$ $\in \bar B_r({\bf x}_0)$ 則 $\left\| {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right\| \le r$ 且我們有
\[\begin{array}{l}
\left\| {\varphi ({\bf{x}}) - {{\bf{x}}_0}} \right\| = \left\| {\varphi ({\bf{x}}) - \varphi ({{\bf{x}}_0}) + \varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \left\| {\varphi ({\bf{x}}) - \varphi ({{\bf{x}}_0})} \right\| + \left\| {\varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\|
\end{array}
\]由於 $\left\| {\varphi ({{\bf{x}}_1}) - \varphi ({{\bf{x}}_2})} \right\| \le \frac{1}{2}\left\| {{{\bf{x}}_1} - {{\bf{x}}_2}} \right\|$ (注意到此式成立 ${\bf x}_1, {\bf x}_2$ $\in \bar B_r({\bf x}_0)$)故可知
\[\begin{array}{l}
\left\| {\varphi ({\bf{x}}) - {{\bf{x}}_0}} \right\| \le \left\| {\varphi ({\bf{x}}) - \varphi ({{\bf{x}}_0})} \right\| + \left\| {\varphi ({{\bf{x}}_0}) - {{\bf{x}}_0}} \right\|\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{1}{2}\left\| {{\bf{x}} - {{\bf{x}}_0}} \right\| + \frac{r}{2}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} < \frac{1}{2}r + \frac{r}{2} = r
\end{array}\]因此 $\varphi({\bf x}) \in B_r({\bf x}_0)$ 故 $\varphi$ 確實為 contraction on $\bar B_r({\bf x}_0)$ ；且由於 $\bar B_r$ 為 closed subset in $\mathbb{R}^n$ 故 $\bar B_r$ 為 complete ，利用 Contraction principle 可知具有唯一固定點 ${\bf x}^*$ $\in \bar B_r({\bf x}_0)$，對此 ${\bf x}^*$ 而言，我們有
\[{\bf{f}}\left( {\bf{x}^*} \right) = {\bf{y}} \in {\bf{f}}\left( {{{\bar B}_r}\left( {{{\bf{x}}_0}} \right)} \right) \subset {\bf{f}}\left( U \right) = V\]因此 ${\bf{y}} \in V$
Corollary: (f is a open mapping of E to R^n)
若 $\bf f$ $\in C^1(E)$，且 ${\bf f}: E \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 且 若 對任意 $\bf x$，${\bf f}'({\bf x})$ 為 invertible，則 對任意 open set $W \subset E$，${\bf f}(W)$ 為 open subset of $\mathbb{R}^n$
以下我們看個 Inverse Function Theorem 的應用：
Example
Let $L:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ be a bounded linear operator such that $||L(\vec x)|| = ||\vec x||$ for all $\vec x \in \mathbb{R}^n$. Define $f(\vec x):=L(\vec x) + g(\vec x)$ where $||g(\vec x)|| \le M ||\vec x||^2$ and $f \in C^1$. Show that $f$ is invertible in a neighborhood of $\vec 0 \in \mathbb{R}^n$.
Proof: First show that $f'(\vec0) = L$. Observe that
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {f(\vec h) - f\left( {\vec 0} \right) - L\vec h} \right\|}}{{\left\| {\vec h} \right\|}} = \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {L\vec h + g(\vec h) - g(\vec 0) - L\vec h} \right\|}}{{\left\| {\vec h} \right\|}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {g(\vec h) - g(\vec 0)} \right\|}}{{\left\| h \right\|}}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} \le \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{M{{\left\| {\vec h} \right\|}^2}}}{{\left\| {\vec h} \right\|}} = \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} M\left\| {\vec h} \right\| = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\vec h \to \vec 0} \frac{{\left\| {f(\vec h) - f\left( {\vec 0} \right) - L\vec h} \right\|}}{{\left\| {\vec h} \right\|}} = 0
\end{array}\]Hence, $f'(\vec 0) =L.$ Next, we show $L$ is invertible. Observe that for two vectors $\vec x, \vec y$ $\in \mathbb{R}^n$, suppose $L\vec x = L\vec y$, we have by linearity,
$L\left( {\vec x - \vec y} \right) = 0$. This shows $\vec x = \vec y$; i.e., $L$ is invertible. Now, by inverse function theorem, we know that $f$ is invertible in a neighborhood of $\vec 0$ $\in \mathbb{R}^n$. $\square$
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