[微分拓樸] 淺論 Manifold (2) - Manifold 的 Boundary 與 Regular point

回憶前篇，我們說一個 Manifold with boundary 定義如下：

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Definition: Manifold with Boundary
集合 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 $k$-dimensional manifold of class $C^r$ 若下列條件成立：
對任意點 $p \in M$，存在鄰域 $U_p \subset \mathbb{R}^k$ open 或者 $U_p \subset \mathbb{H}^k$ open in $\mathbb{H}^k$ 且 $V_p \subset M$；與 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p$ 滿足
 (1) $\alpha \in C^r$
 (2) $\alpha^{-1} \in C^0$
 (3) $D \alpha$ 有 rank $k$
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接著我們可以介紹 Manifold 的 Interior Point 與 Boundary point：

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Definition: Interior Point and Boundary Point of a Manifold
令 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 $k$-manifold 且 $p \in M$
我們說 $p$ 為 Manifold $M$ 中的 interior point 若下列條件成立：
對上述的 $p$ 而言，存在 coordinate patch $\alpha : U_p \to V_p$ 使得 $U_p$ 為 open in $\mathbb{R}^k$

反之，我們則稱此點 $p$ 為 boundary point。
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Comments:
上述的定義的 interior/boundary point 與 一般的 topology 中定義的 interior/ boundary point 不盡相同! 讀者須小心分辨


以下我們有個更好的判斷法來辨別是否為 interior point 或者 boundary point ：

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Lemma: 令 $M$ 為 $k$-manifold in $\mathbb{R}^n$ 且定義 $\alpha: U_p \to V_p$ 為 coordinate patch about $p \in M$
1. 若 $U_p$ 為 open in $\mathbb{R}^k$ 則 $p$ 為 interior point of $M$
2. 若 $U_p$ 為 open in  $\mathbb{H}^k$ 且存在  $x_0 \in \mathbb{R}^{k-1} \times (0,\infty)$  使得 $p = \alpha(x_0)$ 則 $p$ 為 interior point of $M$
3. 若 $U_p$ 為 open in  $\mathbb{H}^k$ 且存在 $x_0 \in \mathbb{R}^{k-1} \times \{0\}$ 使得 $p = \alpha(x_0)$  則 $p$ 為 boundary point of $M$
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$k$-Manifold 的非空邊界 為 $k-1$-Manifold。
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Theorem: 令 $M$ 為 $k$-manifold of class $C^r$ 。令 $\partial M$ 為 $M$ 所有的 Boundary point 所形成的集合，若 $\partial M \neq \emptyset $ 則 $\partial M$ 為 $k-1$ manifold (without boundary)。
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Definition: Critical Point, Regular Point, and its Values

令 $f : U \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^1$ mapping 且 令 $D f(x)$ 為 $f$ 的導數，則

1. 我們說 點 $p \in U$ 為 critical point of $f$ 若 $Df(p)$ 不為 full rank。

2. 我們說  $q \in \mathbb{R}^n$ 為 critical value of $f$ 若 存在 $p$ 為 critical point of  $f$ 使得 $f(p) = q$。

3. 我們說 $q \in \mathbb{R}^n$ 為 regular value of $f$ 若其並非 critical value
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Comment:

在一維空間時候，可知所謂的 critical point 即為 一階導數為零的點。 

Graph 為 manifold。

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FACT 1: Graph of a function is a manifold
令 $\beta: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ 為 $C^r$-mapping。則 graph of $\beta$
\[
\{(x, \beta(x)): x \in \mathbb{R}^n\} \subset \mathbb{R}^{n+k}
\] 為 $n$-manifold in $\mathbb{R}^{n+k}$
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FACT 2: 任意 $M \subset \mathbb{R}^m$ 為 $k$-manifold 為一個 Local property：亦即
考慮 $M \subset \mathbb{R}^m$ 為子集合， 若 對任意 $p \in M$ 存在 open neighborhood $M'$ of $p$ 使得 $M'$ 為 $k$-manifold，則 $M$ 為 $k$-manifold。

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Proof:
考慮 $M \subset \mathbb{R}^m$ 為子集合， 且給定任意 $p \in M$，可知 存在一個 open neighborhood $M'$ of $p$ 使得 $M'$ 為 $k$-manifold，

若 $p \in M'$ 為 $k$-manifold 則由 manifold 定義 存在 coordinate patch $\alpha :U \to V$ 其中 $U \subset \mathbb{H}^k$ 或者 $U \subset \mathbb{R}^k$ open  且 $V \subset M'$ open。

由於 $M'$ 為 open 故 $V \subset M$ 必為 open in $M$，因此 $\alpha$ 為 coordinate patch about $p$ into $M$ 且滿足所有 coordinate patch 所需的性質。故 $M$ 為 $k$-manifold；且  $k$-manifold 為一個 Local property。$\square$


上述兩個 FACT 可推得下面的重要結果：

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Theorem: Regular Value Theorem
若 $f: U \subset \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^r$-mapping 且 點 $p \in \mathbb{R}^n$ 為 regular value，則 對此點 $p$ 的 inverse image  $f^{-1}(p)$ 為 $k$-manifold。
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comments:
注意到上述定理中 $p$ 為 regular value 故只為單值，不可放置多值 e.g., $f^{-1}[0,1]$。

現在我們給出上述 Regular Value Theorem 的證明：

Proof of Regular Value Theorem by using Rank Theorem
我們要證明其 inverse image $f^{-1}(p)$ 為 $k$-manifold。亦即給定 對任意 $p \in f^{-1}(p)$，要證  存在兩 open 鄰域 $U_p \subset \mathbb{R}^{k}, V_p \subset \mathbb{R}^n$ 且 有 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p$ 滿足三個條件。

由假設可知  $f: U \subset \mathbb{R}^{n+k} \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^r$-mapping 且 點 $p \in \mathbb{R}^n$ 為 regular value， 故可知 $Df$ 具有 常數 rank $n$ 對任意 $q \in f^{-1}(p)$

現在回憶 Rank theorem：若 $f: U \subset \mathbb{R}^{n+k}$ 且導數 $Df(x)$ 具有 常數 rank 值，則：對點 $p_1 \in U$ 存在 $U_1, V_1 \subset \mathbb{R}^{n+k}$ 且有函數 $H: V_1 \to U_1$為 1-1 & onto 使得 對任意 $x \in V_1$,
\[
(f \circ H)(x) = f'(p_1) x + \varphi(f'(p_1))
\]且有 projection $P: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}(f(p_1))$ satisfying $P(\varphi(f(p_1)))x = 0$

令 $p \in \mathbb{R}^n$為 regular value, 我們考慮 $x$ 使得
\[
(f \circ H)(x) =p
\]但 $\{x \in V_1: (f \circ H)(x) =p\} = \{x \in V_1: f'(q)x = Pp\}:=L $ 其中 $f(q) = p$

注意到 $H^{-1}(q) \in L$，故 若$x_0 \in L, $ 則
\[
f'(q)x_0 = Pp
\]因此
\[
f'(q) (x_0 - H^{-1}(q)) = f'(q)x_0 - f'(q) H^{-1}(q) = Pp - Pp= 0
\]故 $x_0 = H^{-1}(q) + y$ 其中$y \in \mathcal{N}(f'(q))$. 現在觀察 $\mathcal{N}(f'(q))$ is a vector space with dimension $n+k-n = k$. (因為 range space 為 dimension $k$ )

令 $Q$ 為 composition of translation by $H^{-1}(q)$ and the linear map taking $\mathcal{N}(f'(q)) \to \mathbb{R}^k$

定義 $U_p := Q(L)$ 與 coordinate patch $\alpha := H \circ Q^{-1}: U_0 \to V_1$ 即為 所需的 coordinate patch. $\square$


看個例子：

Example 
考慮 $S:=\{(x,y): x^2 + y^2 = r^2\}$ 若我們選 $f(x,y) := x^2 + y^2$ 則 $f: \mathbb{R}^{1+1} \to \mathbb{R}^1$ 且為 $C^2$ mapping。 故現在我們檢驗何時會是 regular value，利用 critical value 的定義：檢驗其一階導數
 \[Df\left( x \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x}\\
{2y}
\end{array}} \right]\]故可發現若 $(x,y) = (0,0)$ 時 其 一階導數無法維持 full rank。故除了 $(0,0)$ 以外的點皆為 regular point，其餘任意一點 $(x,y)$ 所對應的值 ( regular value ) 我們記做 $r$ 。由上述 Regular Value Theorem 可知 其 inverse image $f^{-1}(\{r\})$ 為 1-manifold。

注意到
\[{f^{ - 1}}(\{ 1\} ): = \{ (x,y):{x^2} + {y^2} = 1\}  = {S^1} = \{ (x,y):{x^2} + {y^2} = 1\} \]

[微分拓樸] 淺論 Manifold (1)

基本想法：
Manifold 一般譯為 "流形" ，本質上是作為  $\mathbb{R}^n$ 空間中 曲線 or 曲面 的進一步推廣。故我們可將 Manifold 視為 $\mathbb{R}^n$ 空間中的子集，這樣一來，整個 $\mathbb{R}^n$ 之上定義的概念 (極限、微分、積分) 都可以在 manifold上面做處理。

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Definition: k-dimensional manifold of class $C^r$ without Boundary
一個子集合 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 k-dimensional manifold of class $C^r$ without Boundary 若下列條件成立：對任意 $p \in M$ 存在兩個 open sets： $U_p \subset \mathbb{R}^k$ 與 $V_p \subset M$ ($V_p$ open in $M$) 且 存在 連續 bijection 函數 $\alpha:U_p \to V_p$ 滿足
 (i) $\alpha \in C^1$
 (ii) $\alpha^{-1}$ 為 連續
 (iii) $D \alpha$ 具備 rank $k$
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Comment: 
$\alpha: U_p \to V_p$ 一般稱為 coordinate patch。

以下我們看幾個例子：
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Example 1: 1-manifold example
考慮 $M:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 = 1 \}$，試問此集合是否為 1-dimensional manifold of class $C^1$?
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Proof:
要證明上述集合為 manifold 我們需要證明：
對任意 $p \in M$ 存在兩個 open sets $U_p \subset \mathbb{R}^k$ 與 $V_p \subset M$ open in $M$ 且 存在 一連續 bijection 函數 $\alpha:U_p \to V_p$ 且
 (i) $\alpha \in C^1$
 (ii) $\alpha^{-1}$ 為 連續
 (iii) $D \alpha$ 具備 rank $k$

注意到 $S$ 為 $\mathbb{R}^2$ 中的圓，故我們可以利用 參數表示法 將其用單變數表示：

現在給定 $p \in M \setminus (0,-1)$ ，考慮 $\alpha: (-\pi, \pi) \to V \subset M$，且滿足 $\alpha(x) := (\cos(x), \sin(x))$ 則可得
\[
\alpha(-\pi, \pi) \to M \setminus (0,-1)
\]現在我們宣稱此 參數表示 $\alpha$ 為 coordinate patch：故逐步檢驗三個性質：
(1) 注意到 $\alpha(x) := (\cos(x), \sin(x))$ ，由於 $(cos(x), sin(x)) $ 微分後仍為連續函數故滿足 $C^1$。
(2) 其反函數 $\alpha^{-1}(x,y)$

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Example 2: 1-manifold example
考慮 $M:=\mathbb{R}$，試問此集合是否為 1-dimensional manifold of class $C^1$?
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Proof:
令 $p \in M$，我們要證明存在兩個 open sets： $U_p \subset \mathbb{R}^1$ 與 $V_p \subset M$ ($V_p$ open in $M$) 且 存在 連續 bijection 函數 $\alpha:U_p \to V_p$ 滿足
 (i) $\alpha \in C^1$
 (ii) $\alpha^{-1}$ 為 連續
 (iii) $D \alpha$ 具備 rank $1$

故令 $U_p := \mathbb{R}$ 且取 coordinate patch $\alpha:U_p \to V_p:=\alpha(U_p)$ 滿足 $\alpha(x) = x$ ，接著我們逐步檢驗 $\alpha$ 所需的條件如下
(i) $\alpha (x) = x$ 為 $C^1$ (因為 $x$ 為 $C^1$ 函數)，

(ii) 檢驗 $\alpha^{-1}$ 為 連續，故檢驗 $\alpha^{-1}$ 是否存在 (亦即 檢驗是否為 one-to-one：) 觀察
\[
\alpha(x) = \alpha(y) \Rightarrow x = y
\]故 $\alpha$ 為 one-to-one 且 onto (因為 $V_p := \alpha(U_p)$；故可推知 $\alpha^{-1}$ 存在，且 $\alpha^{-1}(x) = x$ 亦為 連續函數 (因為 $x$ 為連續函數)。

(iii) 檢驗 $D \alpha$ 具備 rank $1$，觀察 $D \alpha = 1 \neq 0$ (full rank) 故 $M:=\mathbb{R}$ 為 1-dimensional manifold of class $C^1$?

Exercise:
同上例，試證 $M:=[0,1]$ 為 1-manifold；
同上例，試證 $M:=\mathbb{R}^n$ 為 n-manifold；

Example: NOT a 2-manifolds
令 $M:= \mathbb{R}^3$ 試問 $M$ 是否為 2-manifolds?

Proof:
令 $p:=(p_1,p_2,p_3) \in M$，選 $U_p:=\mathbb{R}^2$，$V_p:=\alpha(\mathbb{R}^2)$  且 $\alpha: \mathbb{R}^2 \to \alpha(\mathbb{R}^2)$ 滿足
\[\begin{array}{l}
\alpha (x,y): = p + (x,y,0)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = ({p_1},{p_2},{p_3}) + (x,y,0) = ({p_1} + x,{p_2} + y,{p_3})
\end{array}\]但注意到 $V_p:=\alpha(\mathbb{R}^2)$ 照上面的定法只能映射出平面! NEVER open in $\mathbb{R}^3$


Example 
令 $\alpha: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ 且 $\alpha(x) := (x,x^2)$ 且 $M:=\alpha(\mathbb{R})$ 。試證明  $M$ 為 1-manifold 且  $M$ 僅被一個 coordinate patch 蓋住。

Proof:
要證 $M:=\alpha(\mathbb{R})$ 為 1-manifold。 令 $p \in M$ 且 取 鄰域 $U_p:=\mathbb{R}$ 為 open，定義  coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p:=\alpha(\mathbb{R}) = M$ 滿足 $\alpha(x) = (x,x^2)$。

接著我們逐步檢驗 $\alpha$ 滿足三項條件：
(i)  $\alpha$ 為 $C^1$ (因為 $x,x^2$ 皆為 $C^1$)，
(故此 $V_p:=\alpha(\mathbb{R}) \subset M$ $V_p := \alpha(\mathbb{R})$ 為 open 。)

(ii) 若 $\alpha(x) = \alpha(y) \Rightarrow (x-y,x^2-y^2)=(0,0)$，此暗示了 $x=y$ 。故可推知 $\alpha$ 為 one-to-one 因此 $\alpha^{-1}:V_p \to U_p$ 存在 且 $x = \alpha^{-1}(x,y)$ 為連續函數；

(iii) 最後我們檢驗 $D \alpha = [1, \; 2x]^T$ 為 full rank (對任意 $x$ 而言)。

總結以上 $M= \alpha(\mathbb{R})$ 為 1-manifold 且此表明 $\alpha(\mathbb{R}) \supset M$ 亦即 $M$僅被 一個 coordinate patch 蓋住 $\square$


現在我們可介紹 有邊界的 Manifold。
令 $\mathbb{H}^k := \mathbb{R}^{k-1} \times [0, \infty)$ 為 upper-half plane。現在我們可以定義有邊界的 Manifold：

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Definition: Manifold with Boundary
我們稱 集合 $M \subset \mathbb{R}^n$ 為 $k$-dimensional manifold of class $C^r$  (with boundary) 若下列條件成立：對任意點 $p \in M$，存在鄰域 $U_p \subset \mathbb{R}^k$ open 或者 $U_p \subset \mathbb{H}^k$ open in $\mathbb{H}^k$ 且 $V_p \subset M$ open，且有 coordinate patch $\alpha: U_p \to V_p$ 滿足
 (1) $\alpha \in C^r$
 (2) $\alpha^{-1} \in C^0$
 (3) $D \alpha$ 有 rank $k$
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上述的定義有些基本問題需要解決：

1. 何謂 $C^r$ 函數?
2. 任意集合上的 $C^r$ 函數該如何界定?
3. $D \alpha$ on $\mathbb{H}^k$ 該如何界定?

ANS1: $\alpha$ 為 $C^r$ in $U \subset \mathbb{R}^k$ 若 任意 $r$ 階 偏導數 存在且連續。
ANS2: 我們引入 extension function：

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Definition: $C^r$-Extension
令 $f : S \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ ，我們稱 $g$ 為 $f$ 的 extension 若下列條件成立： 存在 $U \supset S $ open set 與 $g: U \to \mathbb{R}^n$ 使得 對任意 $x \in S$， $g(x) = f(x)$ 且 $g$ 為 $C^r$ on $U$。
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若 extension 函數 $g$ 為 $C^r$ 則原函數 $f$ 必為 $C^r$

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FACT:
令 $f : S \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ 若存在 extension $g$ of $f$ ，則 $f \in C^r$ on $S$。====================

事實上 class $C^r$ 是一個 local property! 亦即我們可以透過 extension function $g$ 來說函數 $f$ 在某點的鄰域附近仍為 $C^r$ 函數。
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Lemma: 
令 $f: S \subset \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^n$ 若 對任意 $x \in S$ 存在鄰域 $U_x$ 使得 $x \in U_x$ 且 $g_x: U_x \to \mathbb{R}^n$ 為 $C^r$-extension of $f$ on $U_x \cap S$ 則 $f$ 亦為 $C^r $ on S。
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Proof: omitted.

現在我們可以回答 問題3： $D \alpha$ 在 $\mathbb{H}^k$ 如何界定? 我們可以 extend $\alpha$ 到 $\mathbb{R}^k$ 但此 extension 是否會影響 $D \alpha$? 以下我們將證明上述 manifold 定義中，$D \alpha $ 與 我們引入的 $C^r$-extension 無關。

現在考慮 coordinate patch: $\alpha: U \subset \mathbb{H}^k \to \mathbb{R}^n$ 且令 $\beta$ 為其 $C^r$-extension of $\alpha$，現在注意到由於 $\beta$ 為 $C^r$ 故一階導數存在 (且 $h \uparrow 0$ 或者 $h \downarrow 0$ 都成立)，故我們可只寫導數的單邊極限：
\[{D_j}\beta \left( x \right): = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\beta \left( {x + h{e_j}} \right) - \beta \left( x \right)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \searrow 0} \frac{{\beta \left( {x + h{e_j}} \right) - \beta \left( x \right)}}{h}\]注意到 $x \in U \subset \mathbb{H}^k$ 則其附近 $x + h e_j \in U$ 故
\[\begin{array}{l}
{D_j}\beta \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \searrow 0} \frac{{\beta \left( {x + h{e_j}} \right) - \beta \left( x \right)}}{h}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \mathop {\lim }\limits_{h \searrow 0} \frac{{\alpha \left( {x + h{e_j}} \right) - \alpha \left( x \right)}}{h} = {D_j}\alpha \left( x \right)
\end{array}\]因此 $D_j \alpha$ 與 extension 無關，且 $D \alpha$ 在 $U \subset \mathbb{H}^{k}$ 定義亦可被接受。

延伸閱讀：[微分拓樸] 淺論 Manifold (2) - Manifold 的 Boundary 與 Regular point