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目前顯示的是 3月, 2016的文章

[控制理論] 具有負實部特徵值之 LTV系統 並不保證系統穩定

考慮線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI)系統利用狀態空間表示: \[ {\bf \dot x} = A {\bf x} + B {\bf u} \] 回憶在大學部自動控制課程中,我們知道 LTI 系統穩定 的 充分必要條件 為系統矩陣 $A$ 之特徵值具有負實部 (或者等價論述為 極點 pole 落在 複數平面的左半面)。現在我們想問若 系統為 線性時變 (Linear Time-Varying, LTV)系統是否此條件依然成立? 答案是否定的,以下為一個極為出色的反例:考慮線性時變系統 ${\bf \dot x} = A(t) {\bf x} $ 其中 \[A\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{{e^{2t}}}\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right] \] 且給定初始狀態為 $x_1(0) = x_2(0)=1$ 則由於此系統 $A(t)$ 矩陣為三角矩陣,其特徵值為對角線元素,亦即 $\lambda_{1,2} = -1$,具有負實部。然而,若我們求解此 LTV 系統,亦即觀察 \[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{{e^{2t}}}\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l} {x_1}\left( t \right)\\ {x_2}\left( t \right) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}  - {x_1}\left( t \right) + {e^{2t}}{x_2}\left( t \right)\\  - {x_2}\left( t \right) \end{array} \right]\]故我們可首先解得 \[\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_2}\left( t \right) =  - {x_2}\left( t \right)}\\ \begin{arra

[凸分析] 支撐函數

以下我們給出凸分析中 常用的函數,稱作 支撐函數 (Support Function): ===================== Definition: Support Function 令 $\mathcal{X}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的任意緊緻集合 (compact set),我們稱函數 $h_{\mathcal{X}}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \bigcup \{+\infty\}$ 為 support function of $\cal X$ 若下列條件成立:對任意 $ {\bf y} \in \mathbb{R}^n$ \[ h_{\cal X}( {\bf y }) := \sup_{ {\bf x} \in \mathcal{X}} {\bf y}^T {\bf x} \]===================== Comments: 1. $\mathbb{R}^n$ 空間中,緊緻集合(compact set) 等價 有界封閉集 (closed and bounded set) 以下我們有一個極為重要的結果:任意集合的支撐函數 與 該集合的凸包 (convex hull) 之支撐函數相等。令 $\cal X$ 為任意集合,以下我們令 $conv( {\mathcal{X}})$ 為該集合 $\cal X$ 的凸包。對凸包定義不熟悉的讀者可先行閱讀:  [凸分析] 凸集合 與 凸包  。 ====================== Claim: 令 $conv ({\mathcal {X}})$ 為緊緻集 $\cal X$ 的 convex hull 則 \[ h_{\cal X} ({\bf y}) = h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y}) \]===================== Proof:  給定任意 $\bf y$$\in \mathbb{R}^n$,我們需證明 $ h_{\cal X} ({\bf y}) \le h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y}) $ 與 $ h_{\cal X} ({\bf y}) \ge h_{conv({\mathcal{X} })} ({\

[微分方程] 人口增長模型

考慮以下初始值問題 \[ \frac{dy}{dt} = ky - cy^2, \;\; y(0) = A \in \mathbb{R} \]上述微分方程用以描述 具備外在競爭關係 $(-cy^2)$ 的 (人口)成長模型 $(ky)$。一般稱之為 Logistic Equation of Population Growth Comments: 1. 上述 Logistic Equation 具備 $y' = f(y)$ 形式,其中 $f(y) := ky - cy^2$ ,亦即函數 $f$ 僅與 $y$ 有關而無直接與時間 $t$相關,我們稱此類微分方程為 autonomous equation。 現在我們開始求解 Logistic Equation Solution: 令 $\phi(t) \neq 0$ 為上述 IVP 在某區間 $I$ 包含 $t=0$ 的解,則在此區間 $I$ 上,我們有 \[ \phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \;\;\;\;\; (*) \]注意到儘管上式為非線性,但其具備分離變數形式,故若 \[\begin{array}{l} k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \ne 0\\  \Rightarrow \left( {k - c\phi \left( t \right)} \right)\phi \left( t \right) \ne 0 \end{array} \]亦即 $\phi \left( t \right) \ne 0 $ 且 ${k - c\phi \left( t \right)} \neq 0$(或者等價 $\phi(t) \neq k/c$) 則我們可以將 $(*)$ 改寫為 \[\begin{array}{l} \phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right)\\  \Rightarrow \frac{{\phi '\left( t \right)

[凸分析] 凸集合 與 凸包

Definition: Convex Set 我們說一個集合 $C \subset \mathbb{R}^k$ 為 凸集合 ( convex set ) 若下列條件成立: 給定任意 $c^1, c^2 \in C$ 且 $\lambda \in [0,1]$ 則 $\lambda c^1 + (1-\lambda)c^2 \in C$ 另外我們稱 $\lambda c^1 + (1-\lambda)c^2 $ 為 $c^1, c^2$ 所成的凸組合 ( convex combination ) Comments: 1. 事實上 凸組合 即為 線性組合(linear combination) 但係數必須為非負,且係數之合必須為 $1$ 2. 上述集合 $C$ 可為向量空間。 3. 上述集合 $C$ 若為空集合,亦即 $C = \emptyset$ 則 $C$ 視為 convex set 。 4.  一般而言,凸組合可推廣至如下定義:我們稱 $c^1,...,c^m$ 的凸組合為 \[ \lambda_1 c^1 + ... + \lambda_m c^m \]其中 $\lambda_1 + ... + \lambda_m = 1$。在應用數學中,我們可將 $\lambda_i$ 視為 機率 或者某向量 $c^i $ 佔整體的成分比率。 Example: 1. $\mathbb{R}^n$ 空間為 convex set 2. 過點 $x_0 \in \mathbb{R}^n$,延方向 $d \in \mathbb{R}^n$ 的直線 \[ l := \{x \in \mathbb{R}^n: x = x_0 + t d, \;\; t \in \mathbb{R}\} \] 以下為  convex set 的一些基本但常用的性質 ================= Proposition: 令 $V$ 為向量空間,且 $K$ 與 $G$ 為 $V$ 上的兩 convex sets,則 1. 對任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ , $\alpha K := \{x: x=\alpha k, k\in K\}$ 為 convex set。 2. $K+G$ 為 convex set,其中 \[

[隨筆] 關於朋友

今天走在路上特別想到的一個問題:人與人之間如何才會變成朋友?或許彼此之間有相同興趣,相同喜好,或者有某些共同人格特點。我認為過程大概是這樣的:在某個當下,有那麼一個人出現在某個特定情境,你們彼此共同經歷了一些事情,也許過程有苦有樂,然後最後很幸運的,他成為了你的朋友。 但是,有沒有可能 同樣 的一個人,我們讓他在不同時間與不同場景出現,也許 你 與 這個同一個人 就不再是朋友,甚至你們根本不可能是朋友。對嗎? 因為人會變,一個人所經歷的人事物 會 漸漸改變 他看事情的角度,喜好,思想以及習慣。 如果在不同時間點相遇的你們已經沒有了共同興趣,或者共同喜好,那麼要變成彼此的朋友可能就變得困難。當我越這樣想的時候,越發現人與人之間能成為彼此朋友,或者能成為一生的朋友實在是一件非常奇妙的事情,因為這大概只能發生在對的時間與對的人才有可能。 願我們都能 好好珍惜彼此身邊的朋友。