謝宗翰的隨筆

考慮線性非時變 (Linear Time-Invariant, LTI)系統利用狀態空間表示：
\[
{\bf \dot x} = A {\bf x} + B {\bf u}
\] 回憶在大學部自動控制課程中，我們知道 LTI 系統穩定 的 充分必要條件 為系統矩陣 $A$ 之特徵值具有負實部 （或者等價論述為 極點 pole 落在 複數平面的左半面）。現在我們想問若 系統為 線性時變 (Linear Time-Varying, LTV)系統是否此條件依然成立？

答案是否定的，以下為一個極為出色的反例：考慮線性時變系統 ${\bf \dot x} = A(t) {\bf x} $ 其中
\[A\left( t \right): = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{{e^{2t}}}\\
0&{ - 1}
\end{array}} \right]
\] 且給定初始狀態為 $x_1(0) = x_2(0)=1$ 則由於此系統 $A(t)$ 矩陣為三角矩陣，其特徵值為對角線元素，亦即 $\lambda_{1,2} = -1$，具有負實部。然而，若我們求解此 LTV 系統，亦即觀察
\[{\bf{\dot x}}\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&{{e^{2t}}}\\
0&{ - 1}
\end{array}} \right]\left[ \begin{array}{l}
{x_1}\left( t \right)\\
{x_2}\left( t \right)
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}
 - {x_1}\left( t \right) + {e^{2t}}{x_2}\left( t \right)\\
 - {x_2}\left( t \right)
\end{array} \right]\]故我們可首先解得
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\dot x}_2}\left( t \right) =  - {x_2}\left( t \right)}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow {x_…

以下我們給出凸分析中 常用的函數，稱作 支撐函數 (Support Function)：

=====================
Definition: Support Function
令 $\mathcal{X}$ 為 $\mathbb{R}^n$ 中的任意緊緻集合 (compact set)，我們稱函數 $h_{\mathcal{X}}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \bigcup \{+\infty\}$ 為 support function of $\cal X$ 若下列條件成立：對任意 $ {\bf y} \in \mathbb{R}^n$
\[
h_{\cal X}( {\bf y }) := \sup_{ {\bf x} \in \mathcal{X}} {\bf y}^T {\bf x}
\]=====================

Comments:
1. $\mathbb{R}^n$ 空間中，緊緻集合(compact set) 等價 有界封閉集 (closed and bounded set)


以下我們有一個極為重要的結果：任意集合的支撐函數 與 該集合的凸包 (convex hull) 之支撐函數相等。令 $\cal X$ 為任意集合，以下我們令 $conv( {\mathcal{X}})$ 為該集合 $\cal X$ 的凸包。對凸包定義不熟悉的讀者可先行閱讀： [凸分析] 凸集合 與 凸包 。

======================
Claim:
令 $conv ({\mathcal {X}})$ 為緊緻集 $\cal X$ 的 convex hull 則
\[
h_{\cal X} ({\bf y}) = h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y})
\]=====================

Proof: 
給定任意 $\bf y$$\in \mathbb{R}^n$，我們需證明 $ h_{\cal X} ({\bf y}) \le h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y}) $ 與 $ h_{\cal X} ({\bf y}) \ge h_{conv({\mathcal{X} })} ({\bf y}) $

故現在我們首先證明 $ h_{\cal …

考慮以下初始值問題
\[
\frac{dy}{dt} = ky - cy^2, \;\; y(0) = A \in \mathbb{R}
\]上述微分方程用以描述 具備外在競爭關係 $(-cy^2)$ 的 (人口)成長模型 $(ky)$。一般稱之為 Logistic Equation of Population Growth

Comments:
1. 上述 Logistic Equation 具備 $y' = f(y)$ 形式，其中 $f(y) := ky - cy^2$ ，亦即函數 $f$ 僅與 $y$ 有關而無直接與時間 $t$相關，我們稱此類微分方程為 autonomous equation。


現在我們開始求解 Logistic Equation

Solution:
令 $\phi(t) \neq 0$ 為上述 IVP 在某區間 $I$ 包含 $t=0$ 的解，則在此區間 $I$ 上，我們有
\[
\phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \;\;\;\;\; (*)
\]注意到儘管上式為非線性，但其具備分離變數形式，故若
\[\begin{array}{l}
k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right) \ne 0\\
 \Rightarrow \left( {k - c\phi \left( t \right)} \right)\phi \left( t \right) \ne 0
\end{array}
\]亦即 $\phi \left( t \right) \ne 0 $ 且 ${k - c\phi \left( t \right)} \neq 0$(或者等價 $\phi(t) \neq k/c$) 則我們可以將 $(*)$ 改寫為
\[\begin{array}{l}
\phi '\left( t \right) = k\phi \left( t \right) - c{\phi ^2}\left( t \right)\\
 \Rightarrow \frac{{\phi '\left( t \right)}}{{k\phi \left( t \righ…

Definition: Convex Set
我們說一個集合 $C \subset \mathbb{R}^k$ 為 凸集合 ( convex set )若下列條件成立：
給定任意 $c^1, c^2 \in C$ 且 $\lambda \in [0,1]$ 則 $\lambda c^1 + (1-\lambda)c^2 \in C$


另外我們稱 $\lambda c^1 + (1-\lambda)c^2 $ 為 $c^1, c^2$ 所成的凸組合 ( convex combination )

Comments:
1. 事實上 凸組合 即為 線性組合(linear combination) 但係數必須為非負，且係數之合必須為 $1$
2. 上述集合 $C$ 可為向量空間。
3. 上述集合 $C$ 若為空集合，亦即 $C = \emptyset$ 則 $C$ 視為 convex set 。
4.  一般而言，凸組合可推廣至如下定義：我們稱 $c^1,...,c^m$ 的凸組合為
\[
\lambda_1 c^1 + ... + \lambda_m c^m
\]其中 $\lambda_1 + ... + \lambda_m = 1$。在應用數學中，我們可將 $\lambda_i$ 視為 機率 或者某向量 $c^i $ 佔整體的成分比率。


Example:
1. $\mathbb{R}^n$ 空間為 convex set
2. 過點 $x_0 \in \mathbb{R}^n$，延方向 $d \in \mathbb{R}^n$ 的直線
\[
l := \{x \in \mathbb{R}^n: x = x_0 + t d, \;\; t \in \mathbb{R}\}
\]

以下為  convex set 的一些基本但常用的性質

=================
Proposition: 令 $V$ 為向量空間，且 $K$ 與 $G$ 為 $V$ 上的兩 convex sets，則
1. 對任意 $\alpha \in \mathbb{R}$ ， $\alpha K := \{x: x=\alpha k, k\in K\}$ 為 convex set。
2. $K+G$ 為 convex set，其中
\[
K+G := \{k+g: k \in K, g\in G\}
\…

今天走在路上特別想到的一個問題：人與人之間如何才會變成朋友？或許彼此之間有相同興趣，相同喜好，或者有某些共同人格特點。我認為過程大概是這樣的：在某個當下，有那麼一個人出現在某個特定情境，你們彼此共同經歷了一些事情，也許過程有苦有樂，然後最後很幸運的，他成為了你的朋友。

但是，有沒有可能 同樣 的一個人，我們讓他在不同時間與不同場景出現，也許 你 與 這個同一個人 就不再是朋友，甚至你們根本不可能是朋友。對嗎？ 因為人會變，一個人所經歷的人事物 會 漸漸改變 他看事情的角度，喜好，思想以及習慣。

如果在不同時間點相遇的你們已經沒有了共同興趣，或者共同喜好，那麼要變成彼此的朋友可能就變得困難。當我越這樣想的時候，越發現人與人之間能成為彼此朋友，或者能成為一生的朋友實在是一件非常奇妙的事情，因為這大概只能發生在對的時間與對的人才有可能。

願我們都能 好好珍惜彼此身邊的朋友。