謝宗翰的隨筆

考慮某賭博系統其報酬率定義為 i.i.d. 隨機變數，記作 $X(k)$  且具有分佈 $F_X$ 。現在定義 $V(k)$ 為在時刻 $k$ 之資產價值，且令 $K \in [0,1]$ 為投資比率，則時刻 $k$ 之投資策略可記作
\[
I(k) := K V(k)
\]且投資人資產動態模型可表為
\begin{align*}
  V(k + 1) &= V(k) + I(k)X(k) \hfill \\
   &= V(k) + KX(k)V(k) \hfill \\
   &= \left( {1 + KX(k)} \right)V(k) \hfill \\
\end{align*}

Definition: Growth Rate and Optimal Growth Rate
以投資比率 $K$ 為投資策略之資產成長率 (Growth Rate) 定義為
\[
g(K) := E[\log(1+K X(k))]
\]
另外我們接著定義 最佳成長率 (Optimal Growth Rate) 如下
\[
g^* := \max_K g(K)
\]且我們稱 $K^*$ 達到 $g^*$ 為 log-optimal feedback gain。


Comments:
上述問題的最簡形式(投擲單一銅板問題) 即為經典 凱利問題 (Kelly Optimization Problem) 且上述的最大化成長率又稱為凱利判准 (Kelly Criterion)，有興趣讀者請參閱本部落格關於凱利問題的相關文章。


上述最佳成長率存在性由下列定理確保。

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Theorem:
令 $X(0),X(1),...X(N-1)$ 為 i.i.d. 報酬 且具有分佈 $F_X$，現在令
\[\frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} = \prod\limits_{k = 0}^{N-1} {\left( {1 + {K^*}X(k)} \right)} \]則當 $N \to \infty$，我們有
\[\frac{1}{N}\log \frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} \to {g^*}\]almost surely.
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Proof: 首先觀察
\begin{align*}
 …

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FACT 1: 兩凸集之交集仍為凸集
令 $C_1, C_2$ 為兩凸集，則 $C_1 \cap C_2$ 為凸集。
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Proof:
若 $C_1,C_2$ 任一者為空集合，亦即 $C_i = \emptyset, \;\;\; i=1 \text{ or } 2$ 則 $C_1 \cap C_2 = \emptyset$ 故為凸集。若 $C_1, C_2 \neq \emptyset$ ，我們可令 $x,y \in C_1 \cap C_2 $ 與 $\theta \in [0,1]$ 我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]
注意到$x,y \in C_1 \cap C_2 $ 表示 $x,y \in C_1$ 且同時 $x,y \in C_2$，由於 $C_1, C_2$ 為凸集，故 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_1$ 且 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_2$ 亦即，
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]故此得證。$\square$

上述結果可推廣到任意交集，亦即

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Theorem: 對任意  $i \in \mathcal{I}$ ， 令 $C_i$ 為凸集，則
\[
\bigcap_{i \in \mathcal{I}} C_i
\]亦為凸集。
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Proof: omitted (與前述 FACT 的證明雷同)



凸集合的用途非常廣泛，比如說在線性代數中最常被使用的空間為向量空間的子空間，此子空間即為凸集和。



================= FACT 2: Subspace 為凸集
令 $V$ 為任意 vector space，令 $W \subset V$ 且 $W \neq \emptyset$ 為 subspace，則 $W$ 為 凸集。
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Proof:
令 $x,y \in W$ 與 $\theta \in [0,1]$，我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in W…

Markowitz 在 1952年 提出利用 Mean (或稱 一階動差) 與 Variance  (或稱 二階動差)這兩種統計量來判別一組 投資組合(portfolio) 的績效表現，該理論要求某投資組合具有較高 期望報酬 或者 較低 報酬變異，此理論被廣泛應用在現代金融 與 投資學，又稱 現代投資組合理論 。此文主要討論此理論具備的一些潛在的缺失：以下我們先給出基本定義：



考慮兩投資組合 $\{P_1, P_2\}$ 且令 $\{E_1, \sigma_1^2\}; \;\;\; \{E_2, \sigma_2^2 \}$ 分別為投資組合 $P_1$ 與 $P_2$ 之期望報酬 與 報酬變異
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Definition: Domination of Portfolios :
假設投資組合 $P_1$ 比另一 投資組合 $P_2$ 具有較高的期望報酬 與 較低的變異 (亦即 $E_1 > E_2$ 且 $\sigma_1^2 < \sigma_2^2$)，則我們稱 $P_1$ dominates $P_2$ 。

我們稱 $P_1$ 為 dominate $P_2$ in minimum variance sense 若 $\sigma_1 < \sigma_2$
同理，我們稱 $P_1$ 為 dominate $P_2$ in maximum expected return sense 若 $E_1 > E_2$
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令 $P$ 為一組投資組合，我們利用上述討論，可以進一步給出 efficient portfolio 定義。 ============================
Definition: Efficient Portfolio
1. 若沒有其他 投資組合可以 dominates $P$，則我們稱 $P$為 (absolutely) efficient。

2. 若沒有其他 投資組合 可以 dominate $P$ in minimum variance sense 則我們稱 $P$ 為 efficient in variance sense

3. 同理，若沒有其他 投資組合 可以 dominate $P$ in maxim…