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目前顯示的是 十二月, 2016的文章

[隨機系統] 淺論賭博系統理論 (1)

考慮某賭博系統其報酬率定義為 i.i.d. 隨機變數,記作 $X(k)$  且具有分佈 $F_X$ 。現在定義 $V(k)$ 為在時刻 $k$ 之資產價值,且令 $K \in [0,1]$ 為投資比率,則時刻 $k$ 之投資策略可記作
\[
I(k) := K V(k)
\]且投資人資產動態模型可表為
\begin{align*}
  V(k + 1) &= V(k) + I(k)X(k) \hfill \\
   &= V(k) + KX(k)V(k) \hfill \\
   &= \left( {1 + KX(k)} \right)V(k) \hfill \\
\end{align*}

Definition: Growth Rate and Optimal Growth Rate
以投資比率 $K$ 為投資策略之資產成長率 (Growth Rate) 定義為
\[
g(K) := E[\log(1+K X(k))]
\]
另外我們接著定義 最佳成長率 (Optimal Growth Rate) 如下
\[
g^* := \max_K g(K)
\]且我們稱 $K^*$ 達到 $g^*$ 為 log-optimal feedback gain。


Comments:
上述問題的最簡形式(投擲單一銅板問題) 即為經典 凱利問題 (Kelly Optimization Problem) 且上述的最大化成長率又稱為凱利判准 (Kelly Criterion),有興趣讀者請參閱本部落格關於凱利問題的相關文章。


上述最佳成長率存在性由下列定理確保。

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Theorem:
令 $X(0),X(1),...X(N-1)$ 為 i.i.d. 報酬 且具有分佈 $F_X$,現在令
\[\frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} = \prod\limits_{k = 0}^{N-1} {\left( {1 + {K^*}X(k)} \right)} \]則當 $N \to \infty$,我們有
\[\frac{1}{N}\log \frac{{{V^*}(N)}}{{V(0)}} \to {g^*}\]almost surely.
=================

Proof: 首先觀察
\begin{align*}
 …

[凸分析] 一些常用的凸集性質(1) - 任意凸集之交集仍為凸集

=================
FACT 1: 兩凸集之交集仍為凸集
令 $C_1, C_2$ 為兩凸集,則 $C_1 \cap C_2$ 為凸集。
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Proof:
若 $C_1,C_2$ 任一者為空集合,亦即 $C_i = \emptyset, \;\;\; i=1 \text{ or } 2$ 則 $C_1 \cap C_2 = \emptyset$ 故為凸集。若 $C_1, C_2 \neq \emptyset$ ,我們可令 $x,y \in C_1 \cap C_2 $ 與 $\theta \in [0,1]$ 我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]
注意到$x,y \in C_1 \cap C_2 $ 表示 $x,y \in C_1$ 且同時 $x,y \in C_2$,由於 $C_1, C_2$ 為凸集,故 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_1$ 且 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_2$ 亦即,
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]故此得證。$\square$

上述結果可推廣到任意交集,亦即

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Theorem: 對任意  $i \in \mathcal{I}$ , 令 $C_i$ 為凸集,則
\[
\bigcap_{i \in \mathcal{I}} C_i
\]亦為凸集。
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Proof: omitted (與前述 FACT 的證明雷同)



凸集合的用途非常廣泛,比如說在線性代數中最常被使用的空間為向量空間的子空間,此子空間即為凸集和。



================= FACT 2: Subspace 為凸集
令 $V$ 為任意 vector space,令 $W \subset V$ 且 $W \neq \emptyset$ 為 subspace,則 $W$ 為 凸集。
=================
Proof:
令 $x,y \in W$ 與 $\theta \in [0,1]$,我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in W…

[投資理論] Markowitz's Mean-Variance 投資組合理論的潛在缺點

Markowitz 在 1952年 提出利用 Mean (或稱 一階動差) 與 Variance  (或稱 二階動差)這兩種統計量來判別一組 投資組合(portfolio) 的績效表現,該理論要求某投資組合具有較高 期望報酬 或者 較低 報酬變異,此理論被廣泛應用在現代金融 與 投資學,又稱 現代投資組合理論 。此文主要討論此理論具備的一些潛在的缺失:以下我們先給出基本定義:



考慮兩投資組合 $\{P_1, P_2\}$ 且令 $\{E_1, \sigma_1^2\}; \;\;\; \{E_2, \sigma_2^2 \}$ 分別為投資組合 $P_1$ 與 $P_2$ 之期望報酬 與 報酬變異
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Definition: Domination of Portfolios :
假設投資組合 $P_1$ 比另一 投資組合 $P_2$ 具有較高的期望報酬 與 較低的變異 (亦即 $E_1 > E_2$ 且 $\sigma_1^2 < \sigma_2^2$),則我們稱 $P_1$ dominates $P_2$ 。

我們稱 $P_1$ 為 dominate $P_2$ in minimum variance sense 若 $\sigma_1 < \sigma_2$
同理,我們稱 $P_1$ 為 dominate $P_2$ in maximum expected return sense 若 $E_1 > E_2$
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令 $P$ 為一組投資組合,我們利用上述討論,可以進一步給出 efficient portfolio 定義。 ============================
Definition: Efficient Portfolio
1. 若沒有其他 投資組合可以 dominates $P$,則我們稱 $P$為 (absolutely) efficient

2. 若沒有其他 投資組合 可以 dominate $P$ in minimum variance sense 則我們稱 $P$ 為 efficient in variance sense

3. 同理,若沒有其他 投資組合 可以 dominate $P$ in maxim…