2016年12月24日 星期六

[凸分析] 一些常用的凸集性質(1) - 任意凸集之交集仍為凸集

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FACT 1: 兩凸集之交集仍為凸集
令 $C_1, C_2$ 為兩凸集,則 $C_1 \cap C_2$ 為凸集。
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Proof:
若 $C_1,C_2$ 任一者為空集合,亦即 $C_i = \emptyset, \;\;\; i=1 \text{ or } 2$ 則 $C_1 \cap C_2 = \emptyset$ 故為凸集。若 $C_1, C_2 \neq \emptyset$ ,我們可令 $x,y \in C_1 \cap C_2 $ 與 $\theta \in [0,1]$ 我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]
注意到$x,y \in C_1 \cap C_2 $ 表示 $x,y \in C_1$ 且同時 $x,y \in C_2$,由於 $C_1, C_2$ 為凸集,故 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_1$ 且 $\theta x + (1-\theta) y   \in C_2$ 亦即,
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in C_1 \cap C_2
\]故此得證。$\square$

上述結果可推廣到任意交集,亦即

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Theorem: 對任意  $i \in \mathcal{I}$ , 令 $C_i$ 為凸集,則
\[
\bigcap_{i \in \mathcal{I}} C_i
\]亦為凸集。
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Proof: omitted (與前述 FACT 的證明雷同)



凸集合的用途非常廣泛,比如說在線性代數中最常被使用的空間為向量空間的子空間,此子空間即為凸集和。



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FACT 2: Subspace 為凸集
令 $V$ 為任意 vector space,令 $W \subset V$ 且 $W \neq \emptyset$ 為 subspace,則 $W$ 為 凸集。
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Proof:
令 $x,y \in W$ 與 $\theta \in [0,1]$,我們要證明
\[
\theta x + (1-\theta) y  \in W \;\;\;\;\; (*)
\]注意到 $x,y \in W$ 且 $W$ 為 subspace 故我們知道對任意 $a,b \in \mathbb{R}$
\[
a x + b y \in W
\]現在取 $ a := \theta \in [0,1]$ 且 $b := 1- \theta$ 則 $(*)$ 自動成立。故 subspace 為 凸集。 $\square$



不只如此,子空間自身的交集仍為子空間

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FACT 3: Subspaces 交集仍為 Subspace
令 $V$ 為向量空間,令 $W,U$ 為 $V$ 之子空間,則 $W \cap U$ 仍為子空間。
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Proof:
由於子空間必定包含零點,故 $W \cap U \neq \emptyset$,現在取 $x, y \in W \cap U$ 與 $a,b \in \mathbb{R}$,我們要證明
\[
a x + b y \in W \cap U
\]由於 $x, y \in W \cap U$ ,故 $x,y \in W$ 且 $y \in U$ 又因為 $W,U$ 為子空間,故 $ a x + b y \in W $ 且 $ a x + b y \in U $ 亦即,
\[a x + b y \in W \cap U \] 至此得證。$\square$


由 FACT 2 與 FACT 3 可立即推得以下引理:

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Corollary:
Subspaces 之交集仍為凸集。
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另外關於凸集之交集的另一個主要應用來自 由 歐式空間線性不等式 與 線性等式所成之集合,一般稱之為 Polyhedra ,記作 $P$, 我們亦可使用上述 FACT 來推論 $ P $為凸集。

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Example: 
回憶 Polyhedran 定義為 $\mathbb{R}^n$ 空間中的 線性不等式 與 線性等式 所成之集合,亦即
\[
P := \{x \in \mathbb{R}^n: \exists A,b,C,d \text{s.t.} Ax \leq b, \;\;\; Cx = d\}
\]此集合等價為
\[
P= \bigcap \{\text{half-spaces and hyperplane}\}
\]由於 half-space 與 hyperplane為凸集 (why?) 故 $P$ 亦為凸集。
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