令 $\Omega$ 為 樣本空間,定義 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ 為配備 機率分配函數 $f_X$ 的 隨機變數。 ================== Definition: k-th Moment 隨機變數 $X : \Omega \to \mathbb{R}$ 的 k階 動差 (k-th moment) 定為 $E[X^k]$ ================== ================== Definition: Moment Generating Function 令 $X$ 為隨機變數,若存在 $\delta >0$ 使得對 $t \in (-\delta,\delta )$ 而言,期望值 $E[e^{tX}]$ 存在,則 $X$ 的 動差生成函數 (Moment Generating Function, mgf) 存在,且定義為 \[ M_X(t) := E[e^{tX}], \;\;\; t \in (-\delta,\delta ) \]除此之外,若上述條件成立則 \[ D_t^k E[e^{tX}] = E[D_t^k e^{tX}] \]其中 $D_t^k $ 表示為對 $t$ 微分 $k$次 微分算子。 ================== Comments: 1. 動差生成函數 $M_X(t)$ 是一個以 $t$ 為變數 的函數,目的在於 "產生動差",至於如何產生我們會在下面進行討論。 2. 上述定義僅僅要求 mgf 在 $t = 0$ 附近開區間 $t \in (-\delta, \delta)$ 期望值存在,此條件也保證積分與微分互換性。 3. 若在開區間 $ t \in (-\delta, \delta)$ 期望值存在,立刻可得知 $M_X(0) = E[e^{0}] = 1$ FACT: 上述動差生成函數算是非常便利的工具,我們可以透過其產生各種具有常見分配的隨機變數之一,二階動差。假定某隨機變數之 mgf 存在,則此隨機變數的 k-th 動差表為 \[ D_t^k M_X (0) = E[X^k], \;\; k=1,2,... \] Comment: 由上述討論可知,若我們想求期望值則
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya