Theorem: 令 $(X,\mathcal{M,\mu})$ 與 $(Y, \mathcal{N},\nu)$ 為任意測度空間。 (a) 若 $f: X \to \mathbb{R}$ 為 $\mathcal{M}$-measurable 且 $g: Y \to \mathbb{R}$ 為 $\mathcal{N}$-measurable 且我們定喔 $h(x,y):=f(x)g(y)$ 則 $h$ 為 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$-measurable。 (b) 若 $f \in L^1(\mu)$ 且 $g \in L^1(\nu)$,則 $h \in L^1(\mu \times \nu)$ 且 \[ \int h \; d(\mu \times \nu) = \left( \int f d\mu \right) \left( \int g d \nu \right) \] Proof (a): 令 $a \in \mathbb{R}$,考慮 $A:=[a,\infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$我們要證明 \[ h^{-1}(A) \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N} \]注意到因為 $f: X \to \mathbb{R}$ 為 $\mathcal{M}$-measurable 且 $g: Y \to \mathbb{R}$ 為 $\mathcal{N}$-measurable ,我們有 $f^{-1}([a,\infty)) \in \mathcal{M}$ 與 $g^{-1}([a,\infty)) \in \mathcal{N}$ 。 現在定義兩個新函數 $F,G: X\times Y \to \mathbb{R}$ 分別滿足 $F(x,y) := f(x), \forall y \in Y$ ,$G(x,y):=g(y), \forall x \in X$,則我們可知 $h $ 為 $F$ 與 $G$ 相乘,亦即 $h=FG$。現在觀察 \begin{align*} {F^{ - 1}}(A) &= \left\{ {(x,y) \in X \times Y:F(x,y) \in [a,\i
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya