[集合論] $\{x: 2^n < |f(x)| < 2^{n+1}\}$ 為 disjoint

Claim: 令 $f \in L^1$ 且 考慮集合
\[
A_n:=\{x: 2^n < |f(x)| < 2^{n+1}\}
\]其中 $n \in \mathbb{Z}$則對任意 $n \neq m$， $A_n \cap A_m = \emptyset$

Proof: 用反證法，令 $n \neq m$ (假設 $n > m$)，$ A_n \cap A_m \neq \emptyset$。亦即存在 $x_0 \in A_n \cap A_m \neq \emptyset$。此表明 $x_0 \in A_n$ 且 $x_0 \in A_m$。則由 $x_0 \in A_n  $ 我們有 \[
2^n < |f(x_0)| <2^{n+1}
\]同樣地，由 $x_0 \in A_m$ 可推得 \[
2^m < |f(x_0)| < 2^{m+1}
\]換言之，我們有 $|f(x_0)| \in (2^n, 2^{n+1})$ 且 $|f(x_0)| \in (2^{m}, 2^{m+1})$ 得到矛盾，因為 $(2^n, 2^{n+1}) \cap (2^m, 2^{m+1}) = \emptyset $。故 $A_n$ 為 disjoint $\square$

[集合論] 基礎集合論的數學語言 (3)- Monotone Sequence of Sets

延續前篇  [集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets

Definition: 單調集合的數列 (Monotone Sequence of Sets)
令 $\{A_n \}$ 為 一組 sequence of sets，我們說 $\{A_n \}$ 為 montone non-decreasing 若 $A_1 \subset A_2 \subset ... $，我們用 $A_n \uparrow$ 表示  $\{A_n \}$ 為 monotone non-decreasing sets。

另一方面，我們說 $\{A_n \}$ 為 montone non-increasing 若 $A_1 \supset A_2 \supset ... $。我們用 $A_n \downarrow$ 表示  $\{A_n \}$ 為 monotone non-increasing sets。

FACT: 對 Monotone Sequence of Sets 其極限存在。


現在我們看個結果

Theorem:
令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets，我們有

1. 若 $A_n  \uparrow $ ( 亦即 $\{A_n\} $ 為 monotone non-decreasing) 則 \[\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\]
2. 若 $A_n  \downarrow $ (亦即 $\{A_n\} $ 為 monotone non-increasing) 則 \[\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\]

Proof

先證 (1)：令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets  且  $A_n \uparrow $ ，我們要證\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} \]注意到若 集合數列的極限存在等價為
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n}
\]現在由  $A_n  \uparrow $ 我們知道 $A_j \subset A_{j+1}$ 故
\[\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}}  = {A_n}
\]現在觀察 $\lim \inf$
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right)}  = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}}
\]接著我們在觀察 $\lim \sup$  可得
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right)}  \subset \bigcup\limits_{k \ge 1}^{} {{A_k}}  = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}\]又我們知道
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} \subset \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}
\]故總合以上可推知
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} \subset \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}\\
\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} \subset \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}
\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}\]且
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} \subset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}}  \subset \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} \Rightarrow \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}}  = \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}\]

接著我們證 (2)：令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets  且  $A_n \downarrow $ ，我們要證\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} \]

同之前證明(1)的手法，若 集合數列的極限存在等價為
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n}
\] 故現在由定義 $\lim \sup$ 與 $\lim \inf$可知
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right)} \\
\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right)}
\end{array} \right.\]由於 $\{A_n \} \downarrow$，亦即 $A_{n+1} \subset A_n$ 故上述  $\lim \sup$ 與 $\lim \inf$ 有如下關係
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right)} \\
\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right) = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} }
\end{array} \right.\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} \subset \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}\\
\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}}  \subset \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{A_k}} } \right) = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n}}
\end{array} \right.\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} \ \ \ \ \ \square
\end{array}\]

上述定理有個重要的結果值得紀錄。
若現在我們取 $B_n$ 為任意 sequence of sets，則
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\inf }\limits_{k \ge n} {B_n}: = \bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}}  \uparrow \\
\mathop {\sup }\limits_{k \ge n} {B_n}: = \bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}}  \downarrow
\end{array} \right.\]利用上述定理可得
\[\left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\inf }\limits_{k \ge n} {B_n}: = \bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}}  \uparrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}} } \right) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}} } \right) = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {B_n}} \\
\mathop {\sup }\limits_{k \ge n} {B_n}: = \bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}}  \downarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}} } \right) = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k \ge n}^{} {{B_k}} } \right) = \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {B_n}}
\end{array} \right.\]

讀者可嘗試以下幾個例子看看是否能正確使用上述定理

Exercise：
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,1 - \frac{1}{n}} \right] = [0,1)\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,1 - \frac{1}{n}} \right) = [0,1)\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,1 + \frac{1}{n}} \right] = [0,1]\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,1 + \frac{1}{n}} \right) = [0,1]
\end{array}\]

[集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets

回憶在數學分析中我們定義了實數 sequence 的 limit 以及 函數 sequence 的 limt，那麼對於一組 集合 sequence 是否也能定義其極限?。 答案是肯定的。我們將仿照 實數 or 函數sequence 的 limit 來定義 集合 sequence 的極限 如下

令集合 $ A_n \subset \Omega$，我們定義
\[\mathop {\inf }\limits_{k \ge n} {A_k}: = \bigcap\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} ;\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\mathop {\sup }\limits_{k \ge n} {A_k}: = \bigcup\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} ;
\] 有了上述定義後我們可以進一步定義 $\lim\inf$ 與 $\lim \sup$
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} } ;\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}
\end{array}\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n}: = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {{A_k}} } ;
\] 有了$\lim\inf$ 與 $\lim \sup$，我們便可定義 集合 sequence 的 極限如下：

若存在一組集合 sequence $\{B_n\}$ 且 $B_n \subset \Omega, \; \forall n$ ，則我們說 $B_n$ 的極限存在若下列條件成立
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {B_n} = \mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {B_n} = B\]且 我們稱 $B$ 為 $B_n$ 的極限，並記做
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} B_n = B\; \text{ or $B_n \rightarrow B$}
\]

以下我們看個例子確保我們確實了解上述定義

Example 
試證
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \left[ {0,1} \right)\]
Proof
首先觀察
\[\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right)}
 \]注意到
\[\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left\{ \begin{array}{l}
k = 1:\bigcap\limits_{k = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,\frac{1}{2}} \right)\\
k = 2:\bigcup\limits_{k = 2}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,\frac{2}{3}} \right)\\
...\\
k = n:\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right)
\end{array} \right.
\] 故
\[ \Rightarrow \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcap\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right) = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \left[ {0,1} \right)} } \]接著觀察
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \left[ {0,\frac{n}{{n + 1}}} \right) = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right)}
\]注意到
\[\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left\{ \begin{array}{l}
k = 1:\bigcup\limits_{k = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)\\
k = 2:\bigcup\limits_{k = 2}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)\\
...\\
k = n:\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)
\end{array} \right.\]故可得
\[\bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {\bigcup\limits_{k = n}^\infty  {\left[ {0,\frac{k}{{k + 1}}} \right)} } \right)}  = \bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {0,1} \right) = \left[ {0,1} \right)}
\]故兩者相等即為所求。$\square$

不過事實上我們可以將 集合的 sequence 的 $\lim \sup$ 與 Indicator function 連結起來。(關於 Indicator function 請參閱BLOG文章)

Lemma: The relationship between limsup and indicator function
令 $A_n \in \Omega$，我們讓 $\{ A_n \}$ 為 一組 集合 sequence。則
對於 $\lim \sup$ 我們有如下等價描述：
存在 subsequence $n_k$ 且 $n_k$ 與 $\omega$ 有關 使得
\[\begin{array}{l}
\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \left\{ {\omega  \in \Omega :\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{1_{{A_n}}}\left( \omega  \right) = \infty } } \right\}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left\{ {\omega  \in \Omega :\omega  \in {A_{{n_k}}},k = 1,2,3,...} \right\}
\end{array}
\]亦即我們可寫
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \left\{ {{A_n}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}i.o.} \right\}\]其中 $i.o.$ 表 infinitely often.
Proof: omitted.

[集合論] 基礎集合論的數學語言 (1) - Set Operations

基礎集合論(Elementary Set theory)

集合論對於往後的數學的各分支 都居極其重要的地位；e.g., 數學分析 與 機率論 都有至深至遠的影響，此文是介紹基本的集合論，讀者不須任何先備知識即可讀懂。以下依次介紹

• 集合(Set) 
• 集合的敘述 (Statement of Set)
• 子集合(Subset)
• 補集 (Complement)
• 交集 (Intersection)
• 聯集 (Union)
• 差集 (Difference)
• 積集合 (Cartesian product)

==========
Definition: Set
一個 集合 (Set) 為 一堆 " 不同的元素 distinct element " 所組成的"收集"。若某 元素 $a$ 落在集合 $A$ 中，我們稱 $a$ 屬於集合 $A$，數學上記做 $a\in{A}$
==========

Comments: 
0. 引述集合論大師 Cantor 說法：直觀/想像中可辨識且確定的事物 (在上述定義等價為 元素)將其收集之後視為一體。 此兩個名詞無法再繼續被追問，讀者需先有共識能接受此兩者。

1. 集合可以簡單的想成一群 "東西" 我們把他收集在一起。叫這群收集起來東西"集合"。 比如說 把一群水滴收集在一起，叫這群水滴為"水"的集合。注意到集合中元素並無次序問題。

2. 有時候我們會遭遇 所謂 集合的集合 (set of sets) 的情況，此時為了避免用字重複會改稱 family of sets，或者稱 collection of sets。

以下看一些集合的例子：

Example: some sets
a. 一個集合 $A:=\{ \text{head, tail} \}$ 表示此集合有兩個元素 $\text{head}$ 與 $\text{tail}$。此兩者都在 $A$ 中。
b. 定義集合 $A := \{ \xi_1, \xi_2, ... , \xi_n \}$ 表示此集合 $A$ 由 $\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n $ 組成。
c. 如果一個集合裡面 沒有任何元素，我們稱此集合為 空集合(empty set)，一般用 $ \emptyset $ 表示
d. 加上指標(indexed)的集合所形成的集合 (;i.e., indexed family of sets):
\[
\mathcal{E}:=\{E_{\alpha}: \alpha \in A \} = \{E_\alpha \}_{\alpha \in A}
\]另外若現在考慮 family of sets 由 $\mathbb{N}$ 做指標，則我們可建構 集合形成的數列(sequence of sets) 記做
\[
\{E_n \}_{n=1}^{\infty}
\]
e. 若集合中含有的元素仍為集合，比如說 $\mathcal{A}=\{ \{2,3\}, \{5,6,7\}\}$ 我們稱此 $\mathcal{A}$ 為 collection of sets  或者 family of sets。

集合的敘述
接著我們介紹更常見的集合表示法，稱作集合的敘述表示， 一般而言，在數學上常見的集合表示法為使用下列符號
\[
\left\{x\in{X}: \text{ statement involving property $x$ } \right\}
\] 上述稱為 集合的敘述表示法，說明了此集合是由所有 $x \in{X}$組成，且對所有 $x$ 而言，其敘述 (statement) 都必須為真， 注意到 statement 扮演的腳色等同"定義"，故如果想要說明某個元素是否落在集合之中，則必須檢驗其是否符合此 statement

我們看下面一些集合以敘述表示的例子 ：

Example 1:
試將開區間 $(a,b)$ 用集合敘述表示：
\[
\{x: a<x<b\}
\]讀者可自行練習 $(a,b]$，$[a,b]$, $(a,\infty)$...


Example 2

假設 $k \in \mathbb{N}$，定義集合 $A$

\[
A:=\{k \geq 1: \text{$k$  is  even} \}
\]上述集合 $A$ 表示的是 對 所有的 $k \geq 1$ 且滿足 $k$ 必須是偶數( even) 。且把這些符合條件的元素全部收集起來叫做集合 $A$。所以重點是 $k$ 但是這個  $k$  必須滿足給定的特殊性質 比如在此例中是 k 為偶數

Example 3
定義集合 $A := \{ \text{all positive integer} \}$ 表示此集合 $A$ 由 所有正整數 $1,2,3,...$ 所組成。

==========
Definition: 子集合 (subset):
設$A$ 與 $B$ 為二集合，若所有在 $A$ 集合中的元素 亦都 落在集合 $B$ 中，則我們稱 $A$ 為 $B$ 的 子集合(subset)。數學上記做 $A\subset{B}$;i.e.,   
\[
\forall x\in{A}, x\in{B}
\]==========
注意：上述符號 $\forall$ 表示 對所有 (for all...)。
另外注意到符號 "$\subset{}$" 允許 $A=B$ 的可能性 

ref: Wikipedia

Comment:
1. 如果想要證明兩個集合相等 $A=B$ 則我們必須證明 $A\subset{B}$ 與 $B\subset{A}$
證明的方法便是利用上述的定義：
$\forall x\in{A}, x\in{B}$ 證明 $A\subset{B}$
$\forall x\in{B}, x\in{A}$ 證明 $B\subset{A}$

2. 令 $A,B,C$ 為任意集合，我們有以下子集合性質
\[\begin{array}{l}
A \subset A\\
A \subset B\& B \subset C \Rightarrow A \subset C\\
A \subset C\& B \subset C \Rightarrow A \cup B \subset C\\
A \supset C\& B \supset C \Rightarrow A \cap B \subset C
\end{array}\]

Example 1: subset and the number of all subsets
若考慮一集合 $B=\left\{{1,2}\right\}$ 那麼集合 $B$所有 子集合為
\[\emptyset  \subset B;\;\left\{ 1 \right\} \subset B;\;\left\{ 2 \right\} \subset B;\;\left\{ {1,2} \right\} \subset B\]事實上，如果一個集合有 $n$ 個元素，則其全部可能的子集合數目為 $2^n$ (power set)。以此例而言集合 $B$ 全部可能的子集合數目為 $2^2 = 4$ 個。那麼有沒有一種表示法可以用來表示某個集合的"所有"子集合呢?答案是有的。我們稱此集合為 Power Set 。如下面例子。

Example 2: Power sets
考慮集合 $X$，現在考慮 $X$ 中所有的子集合所形成的集合 (family of all subsets of a set $X$) 我們稱其為冪集合(Power Set)，符號記做 $\mathcal{P}(X)$ 且定義為
\[
\mathcal{P}(X) := \{ {E: E \subset X} \}
\]

關於 Power set的例子：
考慮 $A = \{1,2,3\}$ 則 其 power set 為
\[{\cal P}(A) = \{ \emptyset ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\{ 1,2\} ,\{ 2,3\} ,\{ 1,3\} ,\{ 1,2,3\} \} \]
==========
Definition: 補集 (Complement)
考慮子集合 $A \subset X$，則我們說 $A$ 的補集 (記做 $A^c$) 定義為
\[
A^c := \{x \in X : x \notin  A \}
\]==============

補集有一些重要的性質值得我們一看：令 $A \subset X$，則
\[{({A^c})^c} = A;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{\emptyset ^c} = X;\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}{X^c} = \emptyset \]

==============
Definition: 交集 (Intersection)
設${A,B,X}$為三集合，且 $A\subset{X}$, $B\subset{X}$ 現若有一個新的集合，其包含的所有元素 同時由 屬於集合 ${A}$ 又屬於 ${B}$ 所組成，我們稱此新的集合為 $A$ 集合與 $B$ 集合的交集(intersection)，數學上記做 $A\cap{B}$
==============

下圖為兩集合交集的示意圖

Comment
1. 若 $\cal{E}$ 為 family of sets，我們可以建構其元素的 intersection 如下
\[
\bigcap_{E \in \cal{E}} :=\{x : x \in E \;\; \forall E \in \cal{E} \}
\] 2. 若兩集合 $A,B$ 滿足 $A \cap B = \emptyset$，則我們稱此兩個集合彼此為 disjoint。

3. 令 $A,B$ 為兩集合，  $A \bigcap B = B \bigcap A$

4. 令 $A,B$ 為兩集合，則 $A \bigcap B \subset A$ 且 $A \bigcap B \subset B$

以下我們看一些例子：

 Example 1:
\[\bigcap\limits_{n = 1}^\infty  {\left( {0,\frac{1}{n}} \right)}  = \emptyset \]

Example 2:
\[
\bigcap_{n \in \mathbb{R}} [-n, 1) = \emptyset
\]
Example 3:
\[
\bigcap_{n \in \mathbb{N}} [-n, 1) = [-1,1)
\]
Example 4:
\[
\bigcap_{n \in \mathbb{R}, n >0} [-n, 1) = [0,1)
\]

==========
Definition: 聯集(Union)
設 ${A,B,X}$ 為三集合，且 $A\subset{X}$ 現若有一個新的集合，其所包含的所有元素由 屬於集合 ${A}$ 與屬於 ${B}$ 的元素所組成，而沒有其他元素，我們稱此新的集合為 $A$ 集合與 $B$ 集合的聯集(union)，數學上記做 $A\cup{B}$
==========

下圖為兩集合聯集的示意圖

Comment
1. 若 $\cal{E}$ 為 family of sets，我們可以建構其元素的 union 如下
\[
\bigcup_{E \in \cal{E}} :=\{x : x \in E \; \text{for some } E \in \cal{E} \}
\]2. 令 $A,B$ 為兩集合，$A \bigcup B = B \bigcup A$

3. 令 $A,B,C$ 為三集合，則 $(A \bigcup B ) \bigcup B = A \bigcup (A \bigcup B)$

4. 令 $A,B$ 為兩集合，  $A \bigcup B = B \bigcup A$

5. 令 $A,B$ 為兩集合，則 $A \subset A \bigcup B$ 且 $B \subset A \bigcup B$

以下我們看一些聯集的例子：
Example 1:
\[\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\left[ {0,\frac{1}{{n + 1}}} \right)}  = \left[ {0,1} \right)\]
Example 2:

\[\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {\left[ { - n,1} \right)}  = \left( { - \infty ,1} \right)\]

Example 3:

\[\begin{array}{l}
\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N},m \in \left( {0,1} \right)}^{} {\left( {1 - \frac{1}{n},10 - m} \right]}  = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {\left( {\bigcup\limits_{m \in \left( {0,1} \right)}^{} {\left( {1 - \frac{1}{n},10 - m} \right]} } \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}}^{} {\left( {1 - \frac{1}{n},10} \right)} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left({0,10} \right)

\end{array}\]

=====================

Definition: 差集 (Difference)
若 $A, B$ 為兩集合，我們定義此兩者的 差集 $A \backslash B$ 如下
\[
A\backslash B := \{x: x\in A \text{ and } x  \notin B \}
\]====================

Example: $\mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} = \{0, -1, -2,...\}$

關於差集有一些重要的性質我們陳述如下：

Property 1: $A\setminus \emptyset = A$

Property 2: $A\setminus B  = \emptyset \Leftrightarrow A \subset B$

Property 3: $A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$

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Definition: Cartesian product
設 $A, B$ 為兩集合，則\[A \times B: = \{ (x,y):x \in A,\;y \in B\} \]==========

以下我們看幾個例子：

Example 1:
考慮 $A:=\{a_1, a_2, a_3\}$ 且 $B:= \{b_1,b_2\}$ 則
\[
A \times B = \{(a_1,b_1),(a_1,b_2), (a_2, b_1), (a_2,b_2), (a_3,b_1), (a_3,b_2)\}
\]

Example 2:
考慮 $A:=\{1,4\}, B:=\{2,3\}$ 則
\[\begin{array}{l}
A \times B = \{ (x,y):x \in A,y \in B\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (x,y):x \in \left\{ {1,4} \right\},y \in \left\{ {2,3} \right\}\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (1,2),(1,3),(4,2),(4,3)\}
\end{array}\]

Example 3:
考慮  $A:=[1,4], B:=[2,3]$ 則
\[\begin{array}{l}
A \times B = \{ (x,y):x \in A,y \in B\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (x,y):x \in [1,4],y \in [2,3]\} \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \{ (x,y):1 \le x \le 4,2 \le y \le 3\}
\end{array}\] $A \times B$ 如下圖所示

Comments:
1. 座標平面可視為 Cartesian product; e.g., $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$
2. 我們亦可定義三個集合的 Cartesian product
設 $A, B, C$ 為三集合，則\[A \times B \times C: = \{ (x,y,z):x \in A,\;y \in B, \; z \in C\} \]同理，我們可定義 $N$ 個集合的 Cartesian product 甚至 無窮個集合的 Cartesian product。

延伸閱讀
[集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets