[機率論] 一類含有supremum運算與期望值的不等式問題

令 $X,Y$ 為兩隨機變數定義在某機率空間 $(\Omega, \mathcal{B}, P)$ 且 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 為一連續函數。若對 $X$ 的實現 $X=x$ 而言 (亦即，存在 $\omega \in \Omega$ 使得 $X(\omega) = x$ )，我們顯然有 

$$\mathbb{E}[f(x,Y)] \leq \sup_x \mathbb{E}[f(x,Y)]$$  

試問上述不等式左方若將 $x$ 換回隨機變數 $X$ 時仍然成立?亦即我們想問 $$\mathbb{E}[f(X,Y)] \leq ? \sup_x \mathbb{E}[f(x,Y)]$$

答案是否定的，我們看以下的反例：

Counterexample

考慮隨機變數 $X=Y$ 且 $P(X=1)=P(X=-1) = 1/2$ 且 $f(x,y) := xy$ 則我們可驗證 $$\mathbb{E}[f(X,Y)] = \mathbb{E}[X^2] = 1/2 + 1/2 = 1$$ 然而如果我們觀察 $$\mathbb{E}[f(1,Y)] = \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X] = 0$$ 另外 $$\mathbb{E}[f(-1,Y)] = \mathbb{E}[-Y] = -\mathbb{E}[X] = 0$$ 故 $\sup_x\mathbb{E}[f(x,Y)] = 0$但是 $$\sup_x\mathbb{E}[f(x,Y)] < \mathbb{E}[f(X,Y)]$$