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2/12/2021

[機率論] 一類含有supremum運算與期望值的不等式問題

X,Y 為兩隨機變數定義在某機率空間 (Ω,B,P)f:R2R 為一連續函數。若對 X 的實現 X=x 而言 (亦即,存在 ωΩ 使得 X(ω)=x ),我們顯然有 

E[f(x,Y)]sup 

試問上述不等式左方若將 x 換回隨機變數 X 時仍然成立?亦即我們想問 \mathbb{E}[f(X,Y)] \leq ? \sup_x \mathbb{E}[f(x,Y)]

答案是否定的,我們看以下的反例:


Counterexample

考慮隨機變數 X=YP(X=1)=P(X=-1) = 1/2f(x,y) := xy 則我們可驗證 \mathbb{E}[f(X,Y)] = \mathbb{E}[X^2] = 1/2 + 1/2 = 1然而如果我們觀察 \mathbb{E}[f(1,Y)] = \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X] = 0 另外 \mathbb{E}[f(-1,Y)] = \mathbb{E}[-Y] = -\mathbb{E}[X] = 0\sup_x\mathbb{E}[f(x,Y)] = 0但是 \sup_x\mathbb{E}[f(x,Y)] < \mathbb{E}[f(X,Y)]

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