[機率論] 兩隨機變數相等表示兩者有相同分布但反之不然

Claim: 給定機率空間 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$，令$X$與$Y$為兩隨機變數。若 $P(X=Y)=1$ 則$X$與$Y$有相同分布，亦即對任意可測集合 $A \in \mathcal{F}$，

$$P(X \in A) = P(Y \in A)$$

Proof: 令$A \in \mathcal{F}$，我們觀察
$$P(X\in A\cap X\neq Y)\leq P(X\neq Y)=0$$ 故可推得 $P(X\in A\cap X\neq Y)=0$。利用此結果，我們注意到
$$P(X\in A)=P(X\in A\cap X=Y)+\underbrace{P(X\in A\cap X\neq Y)}_{=0}=P(X\in A\cap X=Y)$$ 同理我們亦可觀察 $P(Y\in A)=P(Y\in A\cap X=Y)$。注意到若我們可證明 $$P(X\in A\cap X=Y) = P(Y\in A\cap X=Y) \;\;\;\;\; (*)$$ 則 $$P(X\in A)=P(X\in A\cap X=Y)=P(Y\in A\cap X=Y)=P(Y\in A)$$ 即為所求。

現在我們回頭證明等式$(*)$。我們僅須證明下列事件集合等式關係成立 $$\{X\in A\cap X=Y\} = \{Y\in A\cap X=Y\}$$ 即可。首先證明 $\{X\in A\cap X=Y\} \subset \{Y\in A\cap X=Y\}$: 令 $\omega \in \{ X \in A\cap X=Y\}$ 即表明 $X(\omega) \in A$ 且 $X(\omega) = Y(\omega)$。 故我們可推得 $Y(\omega) \in A$ 故此，$\omega \in \{Y \in A\cap X=Y\}$。亦即 $$\{X\in A\cap X=Y\} \subset \{Y\in A\cap X=Y\}$$ 同理不難證得 $\{X\in A\cap X=Y\} \supset \{Y\in A\cap X=Y\}$。故我們得到 $\{X\in A\cap X=Y\} = \{Y\in A\cap X=Y\}$至此證明完畢。$\square$

上述 Claim 的反面論述並不成立。以下我們給個反例：考慮均勻分布 $X$為隨機變數服從均勻分布 $U[-1,1]$ 現在取另一隨機變數 $Y:=-X$則 $Y$亦為在 $[-1,1]$上均勻分布，亦即 $X$與 $Y$具有同分布。然而

$$P(X = Y) = 0$$