[數學分析] 連續函數性質與sublevel set 關係

 考慮 $f: X \to \mathbb{R}$ 為連續函數，則其sublevel set $$L_s := \{x \in X: f(x) \leq s\}$$ 為閉集(closed set)。

Proof.

首先注意到 $(-\infty, s]$ 為在 $\mathbb{R}$ 的 closed set (why?)，並且注意到 $f$ 的 sublevel set 可由連續函數 $f$ 的像原(preimage) 表示，亦即， $$f^{-1}((-\infty, s]) = \{x \in X: f(x) \leq s\}$$ 由連續函數等價定理：函數 $f$ 為連續若且唯若對於 $\mathbb{R} $ 中任意 closed set $A$ ，其 $f^{-1}(A) $ 為 closed。現令 $A:=(-\infty, s]$，且 $f$ 為連續，故 $L_s = f^{-1}((-\infty, s])$ 為 closed set。