[測度論] indicator function 為可測函數的充分必要條件

令 $(X,\mathcal{M})$ 與 $(\mathbb{R},\mathcal{L})$ 為可測空間。

Fact: 令 $1_E: (X,\mathcal{M}) \to (\mathbb{R},\mathcal{L})$ 滿足
\[ 1_E(x):=\begin{cases}
      1 & x \in E\\
      0 & x \notin E
   \end{cases}
\]則 $1_E$ 為可測函數 若且唯若 $E \in \mathcal{M}$。

Proof:

$(\Leftarrow)$ 假設 $E \in \mathcal{M}$。我們要證明 $1_E$ 為可測函數。為此，令 $I:=(-\infty, \alpha]$ 為任意區間，我們僅需證明 $1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。若 $\alpha \leq 0$，則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x) < \alpha\}=\varnothing \in \mathcal{M}
$$ 若 $\alpha >1$ 則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=X \in \mathcal{M}
$$最後，若 $0<\alpha \leq 1$ 則
$$
1_E^{-1}(I) =\{x:1_E(x)<\alpha\}=E^c
$$ 由於 $E\in \mathcal{M}$ 且 $\mathcal{M}$ 為 $\sigma$-algebra，故 $E^c \in \mathcal{M}$。至此我們得證 $1_E$ 為可測函數。

$(\Rightarrow)$ 假設 $1_E$ 為可測函數，我們要證明 $E \in \mathcal{M}$。由於 $1_E$ 為可測函數，對任意區間 $I=(-\infty,\alpha]$ 而言，$1_E^{-1}(I) \in \mathcal{M}$。故取 $\alpha =1/2$ 我們有
$$
1_E^{-1}(I):=\{x:\chi_E(x)<1/2\} = E^c \in \mathcal{M}
$$由於 $\cal M $為 $\sigma$-algebra，故 $E\in \mathcal{M}$。$\square$

[測度論] 有限測度空間中，$f_n\to f$ a.e. $\Rightarrow f_n \to f$ in measure

考慮測度空間 $(X,\mathcal{M},\mu)$
Theorem: 令 $\mu(X) <\infty$ 且 $f_n \to f$ a.e. 則 $f_n \to f$ in measure。
Proof:
不失一般性的情況下，假設 $f_n \to f$ everywhere。令 $\alpha > 0$ 我們要證明
\[
\lim_{n}\mu(x: |f_n(x) - f(x)| \geq \alpha ) = 0
\]因為 $f_n \to f$ everywhere (i.e., $f_n \to f$ pointwise) 由極限定義，我們知道給定任意 $\varepsilon >0$ 存在 $N:=N(x)>0$ 使得當 $n\geq N$，
\[
|f_n(x) - f(x)| \leq \varepsilon
\]這表明
\[
x \in \bigcup_N \bigcap_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|\leq \varepsilon\}
\]且
\[
X:= \bigcup_N \bigcap_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|\leq \varepsilon\}
\]故
\[
X^c = \emptyset  = \bigcap_N \bigcup_{n\geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}
\]令 $E_N:= \bigcup_{n\geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\} $ 且注意到 $E_N$ 對 $N$ 遞減，且 $\mu(X) <\infty$ 由 測度的 下連續性，我們有
\[
\underbrace{\mu(\cap_N E_N)}_{=\mu(\emptyset)=0} = \lim_N \mu(E_N)
\]故我們得到
\[
\mu(E_N) = \mu(\bigcup_{n \geq N(x)} \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}) \to \mu(\emptyset) = 0
\]將其換成較小的集合上述結果仍然成立，亦即
\[
\mu( \{|f_n(x) - f(x)|> \varepsilon\}) \to  0
\]此表明 $f_n \to f$ in meausre。至此證明完畢。