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[集合論] 基礎集合論的數學語言 (3)- Monotone Sequence of Sets

延續前篇  [集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets

Definition: 單調集合的數列 (Monotone Sequence of Sets)
令 $\{A_n \}$ 為 一組 sequence of sets,我們說 $\{A_n \}$ 為 montone non-decreasing 若 $A_1 \subset A_2 \subset ... $,我們用 $A_n \uparrow$ 表示  $\{A_n \}$ 為 monotone non-decreasing sets。

另一方面,我們說 $\{A_n \}$ 為 montone non-increasing 若 $A_1 \supset A_2 \supset ... $。我們用 $A_n \downarrow$ 表示  $\{A_n \}$ 為 monotone non-increasing sets。

FACT: 對 Monotone Sequence of Sets 其極限存在。


現在我們看個結果

Theorem:
令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets,我們有
若 $A_n  \uparrow $ ( 亦即 $\{A_n\} $ 為 monotone non-decreasing) 則 \[\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\]若 $A_n  \downarrow $ (亦即 $\{A_n\} $ 為 monotone non-increasing) 則 \[\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\]Proof 先證 (1):令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets  且  $A_n \uparrow $ ,我們要證\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {{A_n}} \]注意到若 集合數列的極限存在等價為
\[\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } {A_n…

[轉載] 如何讓學生真正有熱情與動機「學習」?

如何讓學生真正有熱情與動機「學習」?. 這是一個非常棒的講座,講者 葉丙成老師 與大家分享他在 台大/密大 的個人的教學經驗


講者 葉丙成老師- 台大電機系副教授
一位非常熱血又傑出的老師,分享一個熱血又傑出的演講,當中不論是老師自身準備的Power Point或者教學觀點,理念與想法,很多部分都值得我們深思與學習。老師他分享了多年的教學經驗與引導學生如何從被動中學習變成樂於學習,主動學習 learn by student, assign by student, and grade by student. !
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