延續前篇 [集合論] 基礎集合論的數學語言 (2)- Limits of Sets Definition: 單調集合的數列 (Monotone Sequence of Sets) 令 $\{A_n \}$ 為 一組 sequence of sets,我們說 $\{A_n \}$ 為 montone non-decreasing 若 $A_1 \subset A_2 \subset ... $,我們用 $A_n \uparrow$ 表示 $\{A_n \}$ 為 monotone non-decreasing sets。 另一方面,我們說 $\{A_n \}$ 為 montone non-increasing 若 $A_1 \supset A_2 \supset ... $。我們用 $A_n \downarrow$ 表示 $\{A_n \}$ 為 monotone non-increasing sets。 FACT: 對 Monotone Sequence of Sets 其極限存在。 現在我們看個結果 Theorem: 令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets,我們有 若 $A_n \uparrow $ ( 亦即 $\{A_n\} $ 為 monotone non-decreasing) 則 \[\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\] 若 $A_n \downarrow $ (亦即 $\{A_n\} $ 為 monotone non-increasing) 則 \[\lim_{n \rightarrow \infty}A_n = \bigcap_{n=1}^\infty A_n\] Proof 先證 (1): 令 $\{A_n \}$ 為 monotone sequence of sets 且 $A_n \uparrow $ ,我們要證 \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \bigcup\limits_{n = 1}^\infty {{A_n}} \]注意到若 集合數列的極限存在等價為 \[\mathop {\lim \su
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya