一般而言 選擇權(Option)的定價模型 大致上有兩種方法：
一種為 二項樹定價法 (Binomial Pricing) 另一種為 Black-Scholes Model (for continuous time)。
NOTE:
1. 事實上 Binomial pricing 取極限會得到Black-Scholes Model)
2. 二項樹定價法有另一個等價的方法求解較為簡便，叫做risk-netural pricng method，關於 risk-netural pricing model 有興趣的讀者可參閱BLOG相關文章: [衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing): 本文在此不討論此法。
這次要介紹的是 Binomial Pricing Method：來幫助我們找出合理的選擇權價格。
基本想法如下：
考慮市場為無套利機會(No-Arbitrage opportunity )的市場，則我們可以建構一組能產生與 選擇權相同的 payoff 的投資組合 。因為既然 payoff 相同則其價值必須相同( 由無套利機會假設兩者等價)。故此我們便可計算選擇權的(合理)價格。
以下為一個簡單的例子說明這個想法
Example
考慮 現時股價 $S_0 = \$ 20$，且已知三個月後股價要麼為 $S_u = \$ 22$ 或者 $ S_d = \$ 18$ (只有此兩種可能)，另外考慮 無風險利率為 $r=12\%$ p.a. (採連續複利)，
現在我們想估計
3個月後到期 ($T=3/12$)、 執行價格(Strike price) $K= \$21$ 的 看漲選擇權 (Call option) 價格應該是多少?
則我們可建構如下二項樹 (點圖放大)：
上圖可以發現如果三個月後的股價為 $22$，看漲選擇權的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{22-21,0 \}=1 $；
反之如果三個月後的股價為 $18$ ，則看漲選擇權對應的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{18-21,0 \}=0 $
那麼現在想要回推 "今日" 看漲選擇權的合理價格應該是多少?
由之前的想法，我們可以建立一個投資組合來 "模仿" or "複製" 看漲選擇權 的收益行為：
故考慮如下投資組合
----------------------------
假設在"今日" 我們
買入 " $ +\Delta$ 股" 股票
投資 " $ +B$ 元 " 債卷 (此債卷提供投資者 無風險利率 $r$)
----------------------------
則三個月後此投資組合的市值，由無套利機會假設可知，必須與選擇權產生的收益相同。故我們得到下圖 (點圖放大)
故我們得到
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{22\Delta + B{e^{12\% \cdot \left( {3/12} \right)}} = 1}\\
{18\Delta + B{e^{12\% \cdot \left( {3/12} \right)}} = 0}
\end{array}} \right.\]上式可求解 $\Delta$ 與 $B$：
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 0.25\\
B = - 4.3670
\end{array} \right.
\] 注意到 $B$ 為負值，亦即我們原本假設為 要投資 $B$ 元 到無風險利率的債卷，但事實上是要 "借入" $4.367$ 元。
那麼有了 $\Delta$ 與 $B$ 便可以回答到底 今日 看漲選擇權的合理價格是多少？ 我們說此價格必須等同於我們所建構的投資組合：亦即買入 0.25股 股價為 $20$ 的股票 再借入 $4.367$元，亦即
\[
20 \Delta + B = 20 \cdot (0.25) - 4.367 = 0.633
\] 此即為我們 看漲選擇權的 (今日購入) 合理價格。 $\square$
Comment:
1. 上述唯一的假設是市場為 無套利機會 。注意到我們並不須知道股票上漲的機率是多少。
2. 如果 賣出一份看漲選擇權 (Short a call) + 購入 0.25股的股票 (Long 0.25 $\Delta$ share) 所建構而成的投資組合會發生甚麼情況?
如果我們在今日用 $0.633$ 賣出看漲選擇權，
現在考慮當三個月後股票價格上漲到 $22$ 時：
看漲選擇權會被執行 (因為 in the money, $22 > 21 = K$)，故要付1元出去，但我們因為在今日買入 $0.25$ 股 股票，故三個月後此 Short a call + Long $0.25 \Delta$ share 的組合價值為$0.25 \cdot 22 -1 = 4.5$
如果考慮當三個月後股票價格下跌到 $18$時：
則看漲選擇權 不會被執行 (因為 out of money, $18 < K=21$)，故我們三個月後 Short a call + Long $0.25 \Delta$ share 的組合價值為
$0.25 \cdot 18 +0 = 4.5$
會發現不論股票上漲或下跌，我們的組合價值都固定為 $4.5$。故此組合為無風險組合(riskless portfolio)。
=============
Generalization of the example
現在我們可以將上述的例子推廣到一般的情況：
現在考慮 當前股價 $S_0$ ，且 當前 選擇權 (可為call option / put option)價格為 $f$ (我們要求解此 $f=?$)， 假定選擇權的到期時間為 $T$ ，在期限內股票價格會由 $S_0$ 上漲到 $S_0 \cdot u$ 或者由 $S_0$ 下降到 $S_0 \cdot d$，其中 $u >1, d<1$；且對應的上漲選擇權價格為 $f_u$，下跌選擇權價格為 $f_d$，則我們可以繪製如下二項樹圖：
那麼我們該如何求解 $f$ ??
由前述例子可知我們要建構一個投資組合使其到期的payoff 等同於 對應的選擇權價格 ($\Rightarrow$ 今日 payoff 也必須相等)。故如前例所示，我們建立投資組合如下：
----------------------------
假設在"今日" 我們
買入 " $ +\Delta$ 股" 股票
投資 " $ +B$ 元 " 債卷 (此債卷提供投資者 無風險利率 $r$)
----------------------------
則我們可寫出
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_0}u\Delta + B{e^{rT}} = {f_u}}\\
{{S_0}d\Delta + B{e^{rT}} = {f_d}}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}}\\
{B = {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)}
\end{array}} \right.
\]故今日合理的選擇權價格
\[\begin{array}{l}
f = \Delta {S_0} + B\\
\Rightarrow f = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}{S_0} + {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)
\end{array}\]
Comment:
1. ${\Delta = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}u - {S_0}d}}}$ 代表 選擇權 與 股票價格 之間的變化率 (斜率)，
對於 Call option 而言，$0 \leq \Delta_{call} \leq 1$；(當股價上升的時候投資人獲利。)
對於 Put Option而言， $-1 \leq \Delta_{put} \leq 0$。(當股價下跌的時候投資人獲利。)
另外若考慮為連續時間的情況 $\Delta := \frac{{\partial C}}{{\partial S}}$
2. 觀察 前述選擇權定價的式子
\[{f = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}{S_0} + {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)}
\] 我們可發現 定價選擇權需要的資訊為
1. 現時股價 $S_0$
2. 執行價格 $K$ (計算 $f_u, f_d$)
3. 無風險利率 $r$
4. 到期時間 $T$
5. $u$ & $d$ <~ 上升因子/與下降因子乘數；此兩者會與 volatility 有關。會在之後再行介紹。
延伸閱讀
[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (1) -Two-steps tree
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
一種為 二項樹定價法 (Binomial Pricing) 另一種為 Black-Scholes Model (for continuous time)。
NOTE:
1. 事實上 Binomial pricing 取極限會得到Black-Scholes Model)
2. 二項樹定價法有另一個等價的方法求解較為簡便，叫做risk-netural pricng method，關於 risk-netural pricing model 有興趣的讀者可參閱BLOG相關文章: [衍生商品] 風險中性定價 (Risk-Neutral Pricing): 本文在此不討論此法。
這次要介紹的是 Binomial Pricing Method：來幫助我們找出合理的選擇權價格。
基本想法如下：
考慮市場為無套利機會(No-Arbitrage opportunity )的市場，則我們可以建構一組能產生與 選擇權相同的 payoff 的投資組合 。因為既然 payoff 相同則其價值必須相同( 由無套利機會假設兩者等價)。故此我們便可計算選擇權的(合理)價格。
以下為一個簡單的例子說明這個想法
Example
考慮 現時股價 $S_0 = \$ 20$，且已知三個月後股價要麼為 $S_u = \$ 22$ 或者 $ S_d = \$ 18$ (只有此兩種可能)，另外考慮 無風險利率為 $r=12\%$ p.a. (採連續複利)，
現在我們想估計
3個月後到期 ($T=3/12$)、 執行價格(Strike price) $K= \$21$ 的 看漲選擇權 (Call option) 價格應該是多少?
則我們可建構如下二項樹 (點圖放大)：
上圖可以發現如果三個月後的股價為 $22$，看漲選擇權的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{22-21,0 \}=1 $；
反之如果三個月後的股價為 $18$ ，則看漲選擇權對應的payoff為 $\max\{S_T - K, 0 \} = \max\{18-21,0 \}=0 $
那麼現在想要回推 "今日" 看漲選擇權的合理價格應該是多少?
由之前的想法，我們可以建立一個投資組合來 "模仿" or "複製" 看漲選擇權 的收益行為：
故考慮如下投資組合
----------------------------
假設在"今日" 我們
買入 " $ +\Delta$ 股" 股票
投資 " $ +B$ 元 " 債卷 (此債卷提供投資者 無風險利率 $r$)
----------------------------
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{22\Delta + B{e^{12\% \cdot \left( {3/12} \right)}} = 1}\\
{18\Delta + B{e^{12\% \cdot \left( {3/12} \right)}} = 0}
\end{array}} \right.\]上式可求解 $\Delta$ 與 $B$：
\[
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 0.25\\
B = - 4.3670
\end{array} \right.
\] 注意到 $B$ 為負值，亦即我們原本假設為 要投資 $B$ 元 到無風險利率的債卷，但事實上是要 "借入" $4.367$ 元。
那麼有了 $\Delta$ 與 $B$ 便可以回答到底 今日 看漲選擇權的合理價格是多少？ 我們說此價格必須等同於我們所建構的投資組合：亦即買入 0.25股 股價為 $20$ 的股票 再借入 $4.367$元，亦即
\[
20 \Delta + B = 20 \cdot (0.25) - 4.367 = 0.633
\] 此即為我們 看漲選擇權的 (今日購入) 合理價格。 $\square$
Comment:
1. 上述唯一的假設是市場為 無套利機會 。注意到我們並不須知道股票上漲的機率是多少。
2. 如果 賣出一份看漲選擇權 (Short a call) + 購入 0.25股的股票 (Long 0.25 $\Delta$ share) 所建構而成的投資組合會發生甚麼情況?
如果我們在今日用 $0.633$ 賣出看漲選擇權，
現在考慮當三個月後股票價格上漲到 $22$ 時：
看漲選擇權會被執行 (因為 in the money, $22 > 21 = K$)，故要付1元出去，但我們因為在今日買入 $0.25$ 股 股票，故三個月後此 Short a call + Long $0.25 \Delta$ share 的組合價值為$0.25 \cdot 22 -1 = 4.5$
如果考慮當三個月後股票價格下跌到 $18$時：
則看漲選擇權 不會被執行 (因為 out of money, $18 < K=21$)，故我們三個月後 Short a call + Long $0.25 \Delta$ share 的組合價值為
$0.25 \cdot 18 +0 = 4.5$
會發現不論股票上漲或下跌，我們的組合價值都固定為 $4.5$。故此組合為無風險組合(riskless portfolio)。
=============
Generalization of the example
現在我們可以將上述的例子推廣到一般的情況：
現在考慮 當前股價 $S_0$ ，且 當前 選擇權 (可為call option / put option)價格為 $f$ (我們要求解此 $f=?$)， 假定選擇權的到期時間為 $T$ ，在期限內股票價格會由 $S_0$ 上漲到 $S_0 \cdot u$ 或者由 $S_0$ 下降到 $S_0 \cdot d$，其中 $u >1, d<1$；且對應的上漲選擇權價格為 $f_u$，下跌選擇權價格為 $f_d$，則我們可以繪製如下二項樹圖：
那麼我們該如何求解 $f$ ??
由前述例子可知我們要建構一個投資組合使其到期的payoff 等同於 對應的選擇權價格 ($\Rightarrow$ 今日 payoff 也必須相等)。故如前例所示，我們建立投資組合如下：
----------------------------
假設在"今日" 我們
買入 " $ +\Delta$ 股" 股票
投資 " $ +B$ 元 " 債卷 (此債卷提供投資者 無風險利率 $r$)
----------------------------
則我們可寫出
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S_0}u\Delta + B{e^{rT}} = {f_u}}\\
{{S_0}d\Delta + B{e^{rT}} = {f_d}}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}}\\
{B = {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)}
\end{array}} \right.
\]故今日合理的選擇權價格
\[\begin{array}{l}
f = \Delta {S_0} + B\\
\Rightarrow f = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}{S_0} + {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)
\end{array}\]
Comment:
1. ${\Delta = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}u - {S_0}d}}}$ 代表 選擇權 與 股票價格 之間的變化率 (斜率)，
對於 Call option 而言，$0 \leq \Delta_{call} \leq 1$；(當股價上升的時候投資人獲利。)
對於 Put Option而言， $-1 \leq \Delta_{put} \leq 0$。(當股價下跌的時候投資人獲利。)
另外若考慮為連續時間的情況 $\Delta := \frac{{\partial C}}{{\partial S}}$
2. 觀察 前述選擇權定價的式子
\[{f = \frac{{{f_u} - {f_d}}}{{{S_0}\left( {u - d} \right)}}{S_0} + {e^{ - rT}}\left( {\frac{{u{f_d} - d{f_u}}}{{u - d}}} \right)}
\] 我們可發現 定價選擇權需要的資訊為
1. 現時股價 $S_0$
2. 執行價格 $K$ (計算 $f_u, f_d$)
3. 無風險利率 $r$
4. 到期時間 $T$
5. $u$ & $d$ <~ 上升因子/與下降因子乘數；此兩者會與 volatility 有關。會在之後再行介紹。
延伸閱讀
[衍生商品] 淺談 Binomial Pricing Model (1) -Two-steps tree
ref: John C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives 7th.
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