謝宗翰的隨筆

定義 $\{ W_t\}$ 為標準布朗運動。現給定常數邊界 $b >0$，定義 停止時間 (stopping time) 或稱 首次穿越時間 (First passage time)
\[
\tau_b := \inf \{ t : W_t \ge b\}
\]
我們想要計算 $P(\tau_b \le t) = ?$

上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem)

=========
那麼如何求解上述FPT問題呢?

首先注意到
\[
\{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\}
\] 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity)，與 $W(0)=0$，故 $W_t > b  \Rightarrow \tau_b \le t$，亦即 $\{ W_t > b\} \subset \{ \tau_b \le t\}$。故
\[
\{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\}
\]

現在我們計算 $P(\tau_b \le t) $，利用 Law of total Probability 可得
\[\begin{array}{l}
P({\tau _b} \le t) = P({\tau _b} \le t,{W_t} < b) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b) \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b) ....\ \ \ \ (…

延續先前線性系統理論 對於非奇異轉換的討論，由於 轉移函數 用 State space 表示實現的方法並不唯一；e.g., controllable canonical form, observable canonical form, digonal form. 故現在我們再進一步審視此問題

給定轉移函數 $H(s)$，現考慮對此轉移函數的任兩種 狀態空間實現 $\Sigma$ 與 $\tilde \Sigma$
\[\left\{ \begin{array}{l}
\Sigma  = (A,B,C,D)\\
\tilde \Sigma  = (\tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D)
\end{array} \right.\]，亦即
\[
H(s) = H_{\Sigma }(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \equiv  \tilde{C} (sI- \tilde A)^{-1} \tilde B + \tilde D = H_{\tilde{\Sigma }}(s)
\]

那麼我們想知道是否存在一個 $n \times n$ 的非奇異轉換矩陣 $T$ 使得 我們有映射 $\Sigma \rightarrow \tilde \Sigma$

由先前文章可知，$\tilde A = T A T^{-1}$，$\tilde B = TB$，$\tilde C = C T^{-1}$，$\tilde D = D$，現在觀察下式
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde B = TB\\
\tilde A\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TB = TAB\\
{{\tilde A}^2}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^2}B\\
 \vdots \\
{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^{n - 1}}B
\end{array} \right.
\] 我們可以看出上式中一些運算的規則，現在將其改寫為更簡潔的形式如下
\[\underbrace {\left[ {\begin{array…

這次要介紹 線性系統理論 中的一個重要結果：稱作實現理論 ( Realization Theory )

考慮一個轉移函數 $H(s)$ 可以將其由 狀態空間表示，我們記做 $\Sigma$。
其中
\[\Sigma : = \left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array} \right.
\] 則我們有以下定義：
==============
Definition: Realization
令 $H(s)$ 為給定轉移函數，則我們說 其狀態空間 $\Sigma $  為 $H(s)$ 的實現 (Realization) 若下列條件成立：
\[
C(sI-A)^{-1}B + D = H(s)
\]
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Comments:
1. 上述 實現(Realization) 意指可以透過 實體電路 (e.g., OP放大器等) "實現" 狀態方程。
2. 設 $\sum = (A,B,C,D) $ 為 $H(s)$ 的實現，現在定義 $T$ 為任意 $n \times n$ 的非奇異矩陣 (non-singular matrix)，則我們可以定義下列 新系統 以狀態空間表示：
\[
\tilde {\sum} = (\tilde A, \tilde B, \tilde C, \tilde D)
\]
其中 $\tilde A = TAT^{-1}$, $\tilde B = TB$, $\tilde C = CT^{-1}$, $\tilde D = D$。

那麼現在我們來看看此新系統的轉移函數為何?

\[\begin{array}{l}
\tilde C{(sI - \tilde A)^{ - 1}}\tilde B + \tilde D = C{T^{ - 1}}{(sI - TA{T^{ - 1}})^{ - 1}}TB + D\\
 \ \ \ \ \ \ \ \ = C{T^{ - 1}}{(sT{T^{ - 1}} - TA{T^{ - 1}})^{ - 1}}TB + D\\
  \ \ \ \ \ \ \ \ = C{T^{ - 1}}{\left( {T\left( {sI - A} \right){T^{ - 1}}} \righ…

這次要介紹線性系統理論中對於動態系統的表示方法：
一般而言，線性動態系統 可以用 線性微分方程(O.D.E.) 來表達，但在控制理論中亦提供兩種不同的方法來表達動態系統：

一種稱為 轉移函數(transfer function) 表示法 (主要工具為 拉式轉換)
一種稱為 狀態空間(state space) 表示法 (主要工具為 矩陣線性代數)

那麼同一種 動態系統間，不同的表示法 可以互相等價轉換，現在我們先看個例子：

Example: Dynamic System to Transfer function
考慮下列動態系統微分方程
\[
\frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} + 6\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy}}{{dt}} - 4y = u\left( t \right) + 2\frac{{du\left( t \right)}}{{dt}}
\] 那麼我們可以對其取拉式轉換(Laplace Transform) $\mathcal{L}(\cdot)$ 來求取轉移函數，亦即
\[\begin{array}{l}
{{\cal L}}\left\{ {\frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} + 6\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy}}{{dt}} - 4y} \right\} = {{\cal L}}\left\{ {u\left( t \right) + 2\frac{{du\left( t \right)}}{{dt}}} \right\}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - s{y^{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right) - {y^{\left( 2 \right)}}\left( 0 \right)\\
 + 6\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - {y^{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right)} \right)\\
 + 5\left( {sY\left( s \…