定義 $\{ W_t\}$ 為標準布朗運動。現給定常數邊界 $b >0$,定義 停止時間 (stopping time) 或稱 首次穿越時間 (First passage time) \[ \tau_b := \inf \{ t : W_t \ge b\} \] 我們想要計算 $P(\tau_b \le t) = ?$ 上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem) ========= 那麼如何求解上述FPT問題呢? 首先注意到 \[ \{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\} \] 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity),與 $W(0)=0$,故 $W_t > b \Rightarrow \tau_b \le t$,亦即 $\{ W_t > b\} \subset \{ \tau_b \le t\}$。故 \[ \{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\} \] 現在我們計算 $P(\tau_b \le t) $,利用 Law of total Probability 可得 \[\begin{array}{l} P({\tau _b} \le t) = P({\tau _b} \le t,{W_t} < b) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b) \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({
If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can solve: find it. -George Polya