跳到主要內容

發表文章

目前顯示的是 7月, 2014的文章

[隨機過程] 布朗運動的 Reflection Principle 與 First Passage Time Problem

定義 $\{ W_t\}$ 為標準布朗運動。現給定常數邊界 $b >0$,定義 停止時間 (stopping time) 或稱 首次穿越時間 (First passage time) \[ \tau_b := \inf \{ t : W_t \ge b\} \] 我們想要計算 $P(\tau_b \le t) = ?$ 上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem) ========= 那麼如何求解上述FPT問題呢? 首先注意到 \[ \{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\} \] 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity),與 $W(0)=0$,故 $W_t > b  \Rightarrow \tau_b \le t$,亦即 $\{ W_t > b\} \subset \{ \tau_b \le t\}$。故 \[ \{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\} \] 現在我們計算 $P(\tau_b \le t) $,利用 Law of total Probability 可得 \[\begin{array}{l} P({\tau _b} \le t) = P({\tau _b} \le t,{W_t} < b) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b) \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{} \end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({

[線性系統] 控制性矩陣 與 非奇異轉換 (Controllability matrix & Non-singular transformation)

延續先前線性系統理論 對於非奇異轉換的討論,由於 轉移函數 用 State space 表示實現的方法並不唯一;e.g., controllable canonical form, observable canonical form, digonal form. 故現在我們再進一步審視此問題 給定轉移函數 $H(s)$,現考慮對此轉移函數的任兩種 狀態空間實現 $\Sigma$ 與 $\tilde \Sigma$ \[\left\{ \begin{array}{l} \Sigma  = (A,B,C,D)\\ \tilde \Sigma  = (\tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D) \end{array} \right.\],亦即 \[ H(s) = H_{\Sigma }(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \equiv  \tilde{C} (sI- \tilde A)^{-1} \tilde B + \tilde D = H_{\tilde{\Sigma }}(s) \] 那麼我們想知道是否存在一個 $n \times n$ 的非奇異轉換矩陣 $T$ 使得 我們有映射 $\Sigma \rightarrow \tilde \Sigma$ 由先前文章可知,$\tilde A = T A T^{-1}$,$\tilde B = TB$,$\tilde C = C T^{-1}$,$\tilde D = D$,現在觀察下式 \[\left\{ \begin{array}{l} \tilde B = TB\\ \tilde A\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TB = TAB\\ {{\tilde A}^2}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^2}B\\  \vdots \\ {{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^{n - 1}}B \end{array} \right. \] 我們可以看出上式中一些運算的規則,現在將其改寫為更簡潔的形式如下 \[\underbrace

[線性系統] 實現定理 與 非奇異轉換

這次要介紹 線性系統理論 中的一個重要結果:稱作實現理論 ( Realization Theory ) 考慮一個轉移函數 $H(s)$ 可以將其由 狀態空間表示,我們記做 $\Sigma$。 其中 \[\Sigma : = \left\{ \begin{array}{l} \dot x = Ax + Bu\\ y = Cx + Du \end{array} \right. \] 則我們有以下定義: ============== Definition: Realization 令 $H(s)$ 為給定轉移函數,則我們說 其狀態空間 $\Sigma $  為 $H(s)$ 的 實現 (Realization) 若下列條件成立: \[ C(sI-A)^{-1}B + D = H(s) \] ============= Comments: 1. 上述 實現(Realization) 意指可以透過 實體電路 (e.g., OP放大器等) "實現" 狀態方程。 2. 設 $\sum = (A,B,C,D) $ 為 $H(s)$ 的實現,現在定義 $T$ 為任意 $n \times n$ 的非奇異矩陣 (non-singular matrix),則我們可以定義下列 新系統 以狀態空間表示: \[ \tilde {\sum} = (\tilde A, \tilde B, \tilde C, \tilde D) \] 其中 $\tilde A = TAT^{-1}$, $\tilde B = TB$, $\tilde C = CT^{-1}$, $\tilde D = D$。 那麼現在我們來看看此新系統的轉移函數為何? \[\begin{array}{l} \tilde C{(sI - \tilde A)^{ - 1}}\tilde B + \tilde D = C{T^{ - 1}}{(sI - TA{T^{ - 1}})^{ - 1}}TB + D\\  \ \ \ \ \ \ \ \ = C{T^{ - 1}}{(sT{T^{ - 1}} - TA{T^{ - 1}})^{ - 1}}TB + D\\   \ \ \ \ \ \ \ \ = C{T^{ - 1}}{\left( {T\left( {

[線性系統] 線性動態系統的表示法: 轉移函數 與 狀態空間表示

這次要介紹線性系統理論中對於動態系統的表示方法: 一般而言,線性動態系統 可以用 線性微分方程(O.D.E.) 來表達,但在控制理論中亦提供兩種不同的方法來表達動態系統: 一種稱為 轉移函數(transfer function) 表示法 (主要工具為 拉式轉換) 一種稱為 狀態空間(state space) 表示法 (主要工具為 矩陣線性代數) 那麼同一種 動態系統間,不同的表示法 可以互相等價轉換,現在我們先看個例子: Example: Dynamic System to Transfer function 考慮下列動態系統微分方程 \[ \frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} + 6\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy}}{{dt}} - 4y = u\left( t \right) + 2\frac{{du\left( t \right)}}{{dt}} \] 那麼我們可以對其取拉式轉換(Laplace Transform) $\mathcal{L}(\cdot)$ 來求取轉移函數,亦即 \[\begin{array}{l} {{\cal L}}\left\{ {\frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} + 6\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy}}{{dt}} - 4y} \right\} = {{\cal L}}\left\{ {u\left( t \right) + 2\frac{{du\left( t \right)}}{{dt}}} \right\}\\  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - s{y^{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right) - {y^{\left( 2 \right)}}\left( 0 \right)\\  + 6\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - {y^{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right)} \right)\\  + 5\l