[隨機過程] 布朗運動的 Reflection Principle 與 First Passage Time Problem

定義 $\{ W_t\}$ 為標準布朗運動。現給定常數邊界 $b >0$，定義 停止時間 (stopping time) 或稱 首次穿越時間 (First passage time)
\[
\tau_b := \inf \{ t : W_t \ge b\}
\]
我們想要計算 $P(\tau_b \le t) = ?$

上述問題稱為 首次穿越時間問題 (First passage time (FPT) problem)

=========
那麼如何求解上述FPT問題呢?

首先注意到
\[
\{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\}
\] 上式成立由於布朗運動的 sample path 連續性 (Path Continuity)，與 $W(0)=0$，故 $W_t > b  \Rightarrow \tau_b \le t$，亦即 $\{ W_t > b\} \subset \{ \tau_b \le t\}$。故
\[
\{ \tau_b \le t, W_t >b \} \equiv \{ W_t > b\}
\]

現在我們計算 $P(\tau_b \le t) $，利用 Law of total Probability 可得
\[\begin{array}{l}
P({\tau _b} \le t) = P({\tau _b} \le t,{W_t} < b) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b) \\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({\tau _b} \le t,{W_t} > b)\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b) ....\ \ \ \ (*)
\end{array}
\]上式中的 $P(W_t > b)$ 可以由布朗運動定義計算出來，因為 $W_t \sim \cal{N}(0,t)$，故
\[
P(W_t > b) = 1 - P(W_t \le b) = 1 - \Phi(\frac{b}{\sqrt{t}})
\] 其中 $\Phi(\cdot)$ 為 Standard Normal Cumulative Distribution Function.

接著，我們計算 $P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)$，事實上由 Path Continuity 我們可知 $W_{\tau_b} = b$，故在給定 $\tau_b \le t$ 的時候，隨機過程在時刻 $t$ 時 高於 邊界 $b$ 的機率 與 低於 邊界 $b$ 的機率應該相同；亦即
\[
P({W_t} < b|{\tau _b} \le t) = \frac{1}{2}
\]
(上述結果稱為 Reflection Principle ，嚴格證明需要利用 Strong Markov property，但此處我們略過)。下圖亦顯示了 Reflection Principle 的想法

故我們將上述結果代回 $(*)$，可得
\[\begin{array}{l}
P({\tau _b} \le t) = P({W_t} < b|{\tau _b} \le t)P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b)\\
 \Rightarrow P({\tau _b} \le t) = \frac{1}{2}P\left( {{\tau _b} \le t} \right) + P({W_t} > b)\\
 \Rightarrow P\left( {{\tau _b} \le t} \right) = 2P({W_t} > b) = 2\left( {1 - \Phi \left( {\frac{b}{{\sqrt t }}} \right)} \right)
\end{array}\]



Ref: Joseph T. Chang, "Stochastic Processes Lecture Note" Yale University.

[線性系統] 控制性矩陣 與 非奇異轉換 (Controllability matrix & Non-singular transformation)

延續先前線性系統理論 對於非奇異轉換的討論，由於 轉移函數 用 State space 表示實現的方法並不唯一；e.g., controllable canonical form, observable canonical form, digonal form. 故現在我們再進一步審視此問題

給定轉移函數 $H(s)$，現考慮對此轉移函數的任兩種 狀態空間實現 $\Sigma$ 與 $\tilde \Sigma$
\[\left\{ \begin{array}{l}
\Sigma  = (A,B,C,D)\\
\tilde \Sigma  = (\tilde A,\tilde B,\tilde C,\tilde D)
\end{array} \right.\]，亦即
\[
H(s) = H_{\Sigma }(s) = C(sI-A)^{-1}B + D \equiv  \tilde{C} (sI- \tilde A)^{-1} \tilde B + \tilde D = H_{\tilde{\Sigma }}(s)
\]

那麼我們想知道是否存在一個 $n \times n$ 的非奇異轉換矩陣 $T$ 使得 我們有映射 $\Sigma \rightarrow \tilde \Sigma$

由先前文章可知，$\tilde A = T A T^{-1}$，$\tilde B = TB$，$\tilde C = C T^{-1}$，$\tilde D = D$，現在觀察下式
\[\left\{ \begin{array}{l}
\tilde B = TB\\
\tilde A\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TB = TAB\\
{{\tilde A}^2}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^2}B\\
 \vdots \\
{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B = \left( {TA{T^{ - 1}}} \right)TAB = T{A^{n - 1}}B
\end{array} \right.
\] 我們可以看出上式中一些運算的規則，現在將其改寫為更簡潔的形式如下
\[\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\tilde B}&{\tilde A\tilde B}& \cdots &{{{\tilde A}^{n - 1}}\tilde B}
\end{array}} \right]}_{: = {C_{\tilde \Sigma }}} = T\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{AB}&{{A^2}B}& \cdots &{{A^{n - 1}}B}
\end{array}} \right]}_{: = {C_\Sigma }}
\] 亦即 $C_{\tilde \Sigma}= T C_{\Sigma}$ . $(\star)$

上式 $C_{\Sigma}$ 與 $C_{\tilde \Sigma}$ 稱為 控制性矩陣 (Controllability matrix)。故 非奇異矩陣 $T$ 可透過上述關係得到。

注意到如果為單輸入單輸出 (SISO) 系統，且假設  $C_{\Sigma}$ 與 $C_{\tilde \Sigma}$ 為方陣。若 $C_{\Sigma}$ 為 non-singular，則我們可以找到非奇異轉換矩陣 $T$
\[
T = C_{\tilde \Sigma}C_{\Sigma}^{-1}
\]

若 多輸入系統，則無法直接求解反矩陣，故我們需先使 $(\star)$ 左右變成方陣：
\[
\underbrace {{C_{\tilde \Sigma }}{C_\Sigma }^T}_{\underbrace {\left( {n \times nm} \right) \times \left( {mn\times n} \right)}_{n \times n}} = T\underbrace {{C_\Sigma }{C_\Sigma }^T}_{\underbrace {\left( {n \times nm} \right) \times \left( {mn \times n} \right)}_{n \times n}}
\]現在 若  ${{C_\Sigma }{C_\Sigma }}$ 為 non-singular，則我們可以找到非奇異轉換矩陣 $T$
\[
T = {C_{\tilde \Sigma }}{C_\Sigma }^T{\left( {{C_\Sigma }{C_\Sigma }^T} \right)^{ - 1}}
\]

故 我們知道如果要有 非奇異矩陣 $T$，則矩陣 $C_{\Sigma} C_{\Sigma }^T$ 必須非奇異，故我們有下列 Controllability Rank conditon：

Controllability Rank Condition
 $C_{\Sigma} C_{\Sigma }^T$ 為非奇異 若且為若 $\text{rank}{C_{\Sigma}} = n$


Comment:
1. 在 MATLAB中，給定動態系統 $A, B$ 矩陣，則我們可以使用  C = ctrb(A,B) 指令來直接幫助我們計算 Controllability Matrix, C，接著再用 rank(C) 指令確認此矩陣是否滿足我們的 Controllability Rank Condition ，如果滿足我們稱此系統為可控制(controllable)。

2. non-singular transform 不改變 Eigenvalues，亦即
\[eig\left( {TA{T^{ - 1}}} \right) = eig\left( A \right)
\]其中 $eig(\cdot)$ 表特徵值。
Proof
令 $T$ 為 nonsingular transformation matrix，且 $\lambda_i$ 為 $TAT^{-1}$ 矩陣對應的 eigenvalue，也就是說 $TAT^{-1}$ 的 eigenvalues 滿足 $\det(\lambda_i I - TAT^{-1}) =0$。故
\[\begin{array}{l}
\det \left( {{\lambda _i}I - TA{T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {{\lambda _i}T{T^{ - 1}} - TA{T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( {T\left( {{\lambda _i}I - A} \right){T^{ - 1}}} \right) = 0\\
 \Rightarrow \det \left( T \right)\det \left( {{\lambda _i}I - A} \right)\det \left( {{T^{ - 1}}} \right) = 0
\end{array}\]由於 $T$ 為 nonsingular，故 $T^{-1}$ 存在且 $\det(T) \neq 0$,  $\det(T^{-1}) \neq 0$。故只有
\[
\det(\lambda_i I - A) =0
\]亦即 $\lambda_i$ 亦為 矩陣 $A$ 的 eigenvalue。 $\square$

[線性系統] 實現定理 與 非奇異轉換

這次要介紹 線性系統理論 中的一個重要結果：稱作實現理論 ( Realization Theory )

考慮一個轉移函數 $H(s)$ 可以將其由 狀態空間表示，我們記做 $\Sigma$。
其中
\[\Sigma : = \left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array} \right.
\] 則我們有以下定義：
==============
Definition: Realization
令 $H(s)$ 為給定轉移函數，則我們說 其狀態空間 $\Sigma $  為 $H(s)$ 的實現 (Realization) 若下列條件成立：
\[
C(sI-A)^{-1}B + D = H(s)
\]
=============
Comments:
1. 上述 實現(Realization) 意指可以透過 實體電路 (e.g., OP放大器等) "實現" 狀態方程。
2. 設 $\sum = (A,B,C,D) $ 為 $H(s)$ 的實現，現在定義 $T$ 為任意 $n \times n$ 的非奇異矩陣 (non-singular matrix)，則我們可以定義下列 新系統 以狀態空間表示：
\[
\tilde {\sum} = (\tilde A, \tilde B, \tilde C, \tilde D)
\]
其中 $\tilde A = TAT^{-1}$, $\tilde B = TB$, $\tilde C = CT^{-1}$, $\tilde D = D$。

那麼現在我們來看看此新系統的轉移函數為何?

\[\begin{array}{l}
\tilde C{(sI - \tilde A)^{ - 1}}\tilde B + \tilde D = C{T^{ - 1}}{(sI - TA{T^{ - 1}})^{ - 1}}TB + D\\
 \ \ \ \ \ \ \ \ = C{T^{ - 1}}{(sT{T^{ - 1}} - TA{T^{ - 1}})^{ - 1}}TB + D\\
  \ \ \ \ \ \ \ \ = C{T^{ - 1}}{\left( {T\left( {sI - A} \right){T^{ - 1}}} \right)^{ - 1}}TB + D\\
 \ \ \ \ \ \ \ \  = C{T^{ - 1}}\left( {T{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}{T^{ - 1}}} \right)TB + D\\
  \ \ \ \ \ \ \ \ = C{\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}B + D \\
  \ \ \ \ \ \ \ \ = H(s)
\end{array}\]

上述結果告訴我們

1. 狀態空間表示 若透過 非奇異轉換 (Non-singular transformation)，其轉移函數不變 (invariant)

2. 上式non-singular transformation 等價於 將系統以新的狀態變數 $z := T x$ 改寫。
由於 $z = Tx \Rightarrow \dot z = T\dot x \Rightarrow \dot x = {T^{ - 1}}\dot z$，故原系統狀態表示可改寫為
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{T^{ - 1}}\dot z = A{T^{ - 1}}z + Bu\\
y = C{T^{ - 1}}z + Du
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dot z = \underbrace {TA{T^{ - 1}}}_{\tilde A}z + \underbrace {TB}_{\tilde B}u\\
y = \underbrace {C{T^{ - 1}}}_{\tilde C}z + \underbrace D_{\tilde D}u
\end{array} \right.
\end{array}\]

有了上述結果之後，我們知道同一系統的 任意狀態空間實現 都可透過 非奇異轉換 求得相同的轉移函數，那麼現在問題變成怎樣的轉移函數才可以被實現??

以下我們給出一個重要且簡潔的定理來回答這個問題：

=======================
Theorem: Realization Theorem
任意 proper (分母階數大於或者等於分子階數) 轉移函數皆為可實現 (realizable)。 
=======================

那麼問題變成已知 proper 轉移函數可以實現 (有狀態空間表示)，那麼該如何實現呢? 我們用下面這個例子來說明：

現在考慮 轉移函數
\[
H(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + ... + b_1 s^1 + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + a_{n-2}s^{n-2} + ... + a_1 s^1 + a_0} + r
\] 其中 $m < n$ (properness)

在不失一般性的情況，我們設 $m = n-1$，則我們由 Realization Theorem 可知 此轉移函數存在 狀態空間表示 (可以實現)，故我們可寫成
\[\begin{array}{l}
A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0&0& \cdots &0\\
0&0&1&0& \cdots &0\\
0&0&0&1&{0 \cdots }&0\\
 \vdots & \vdots &{}&\begin{array}{l}
0\\
 \vdots
\end{array}& \ddots & \vdots \\
0&0& \cdots & \cdots &0&1\\
{ - {a_0}}&{ - {a_1}}&{ - {a_2}}& \cdots &{ - {a_{n - 2}}}&{ - {a_{n - 1}}}
\end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
0\\
 \vdots \\
0\\
1
\end{array}} \right]\\
C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_0}}&{{b_1}}&{{b_2}}& \cdots &{{b_{m - 1}}}&{{b_m}}
\end{array}} \right]\\
D = r
\end{array}\]
上式實現 稱為 可控典型式 (Controllable Canonical form)。

Comments:
1. 為何上述實現被稱為可控典型式?

觀察上式
\[\begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu = A\\
 \Rightarrow \dot x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0&0& \cdots &0\\
0&0&1&0& \cdots &0\\
0&0&0&1&{0 \cdots }&0\\
 \vdots & \vdots &{}&{\begin{array}{*{20}{l}}
0\\
 \vdots
\end{array}}& \ddots & \vdots \\
0&0& \cdots & \cdots &0&1\\
{ - {a_0}}&{ - {a_1}}&{ - {a_2}}& \cdots &{ - {a_{n - 2}}}&{ - {a_{n - 1}}}
\end{array}} \right]x + B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
0\\
 \vdots \\
0\\
1
\end{array}} \right]u
\end{array}
\] 現在計算對應的特徵方程式 $\det( sI - A)$，我們可得
\[
\det(sI-A) = s^n + a_{n-1}s^{n-1} + ... + a_0
\] 現在如果我們讓控制力 $ u = Kx$亦即
\[u = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{k_1}}&{{k_2}}& \cdots &{{k_n}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
 \vdots \\
{{x_n}}
\end{array}} \right]
\]則 受控制的動態系統可以改寫為
\[
\dot x = Ax + Bu = Ax + B(Kx ) = (A+BK)x
\]此時
\[\begin{array}{l}
 \Rightarrow A + BK = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0& \cdots &0\\
0&0&1&{0 \cdots }& \vdots \\
0&0&0& \ddots &0\\
 \vdots & \vdots &{}&0&1\\
{ - {a_0}}&{ - {a_1}}& \cdots & \cdots &{ - {a_{n - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
 \vdots \\
0\\
1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{k_1}}&{{k_2}}& \cdots &{{k_n}}
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}
{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0& \cdots &0\\
0&0&1&{0 \cdots }& \vdots \\
0&0&0& \ddots &0\\
 \vdots & \vdots &{}&0&1\\
{{k_1} - {a_0}}&{{k_2} - {a_1}}& \cdots & \cdots &{{k_n} - {a_{n - 1}}}
\end{array}} \right]
\end{array}\]上式可以發對每一個參數 $a_i, \forall i =0, ...,n$ 都有一個對應的控制力參數 $k_j, j=1,...,n$來與之調整，故對應的特徵方程 $\det(sI-(A+BK))$ 的特性根根 (亦即 poles)亦會被 $K$ 直接。此poles 的位置將直接影響到系統性能，故如果某動態系統可寫為可控典型式，則我們可透過上述的控制力 $u=Kx $ 直接改變每一個系統的特性根位置。

2.
在 MATLAB 中 由轉移函數轉成狀態空間實現，可以透過指令 tf2ss.m 來達成。在此不贅述

以下我們看個例子:

Example
考慮轉移函數
\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{{{b_2}{s^2} + {b_1}{s^1} + {b_0}}}{{a_3^{}{s^3} + {a_2}{s^2} + {a_1}{s^1} + {a_0}}} + r
\]其中 $r$ 為常數。試求出 controllable canonical form：
Solution
注意到我們有額外的常數 $r$ 故可知 $D =r$ (此額外的項，表示輸入可直接影響輸出)

故我們只需專心在 strictly proper 的轉移函數部分即可。另外此例由於階數較低，我們可以用推導的方式求得 controllable canonical form。現在我們觀察轉移函數，並將其繪製成方塊圖

其中我們引入中繼函數 $X(s)$，則透過上圖我們可將轉移函數改寫回微分方程如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{X(s)}}{{U(s)}} = \frac{1}{{{s^3} + {a_2}{s^2} + {a_1}{s^1} + {a_0}}}\\
\frac{{Y(s)}}{{X(s)}} = {b_2}{s^2} + {b_1}{s^1} + {b_0}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^{\left( 3 \right)}} + {a_2}\ddot x + {a_1}\dot x + {a_0}x = u\\
{b_2}\ddot x + {b_1}\dot x + {b_0}x = y
\end{array} \right.\]現在我們定義狀態 $x: = {x_1},\dot x: = {x_2},\ddot x: = {x_3}$ 則上式改寫如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
a_3^{}{x^{\left( 3 \right)}} + {a_2}\ddot x + {a_1}\dot x + {a_0}x = u\\
{b_2}\ddot x + {b_1}\dot x + {b_0}x = y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{{\dot x}_3} + {a_2}{x_3} + {a_1}{x_2} + {a_0}{x_1} = u\\
{b_2}{x_3} + {b_1}{x_2} + {b_0}{x_1} = y
\end{array} \right.\]且我們有 ${{\dot x}_1} = {x_2},\;{{\dot x}_2} = {x_3}$ 故我們可寫成
\[\begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array}\]如下
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\dot x}_1}}\\
{{{\dot x}_2}}\\
{{{\dot x}_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0\\
0&0&1\\
{ - {a_0}}&{ - {a_1}}&{ - {a_2}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
1
\end{array}} \right]u\\
y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_0}}&{{b_1}}&{{b_2}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right]
\end{array} \right.\]上式即為 controllable canonical form。

現在合併先前我們的 $D=r$ 故可得最終表示為
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\dot x}_1}}\\
{{{\dot x}_2}}\\
{{{\dot x}_3}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0\\
0&0&1\\
{ - {a_0}}&{ - {a_1}}&{ - {a_2}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
1
\end{array}} \right]u\\
y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{b_0}}&{{b_1}}&{{b_2}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] + ru \ \ \ \ \ \ \ \square
\end{array} \right.\]

上述可控典型式 與 實現定裡之間關係 我們會留待下一篇文章在做介紹。
[線性系統] Controllability Matrix

另外亦會對非奇異轉換矩陣 $T$ 的求得?? 也就是是否可以找到一個非奇異轉換矩陣 來幫助我們從一個狀態空間的實現 變成 另一個呢?? 做額外補充。

[線性系統] 線性動態系統的表示法: 轉移函數 與 狀態空間表示

這次要介紹線性系統理論中對於動態系統的表示方法：
一般而言，線性動態系統 可以用 線性微分方程(O.D.E.) 來表達，但在控制理論中亦提供兩種不同的方法來表達動態系統：

一種稱為 轉移函數(transfer function) 表示法 (主要工具為 拉式轉換)
一種稱為 狀態空間(state space) 表示法 (主要工具為 矩陣線性代數)

那麼同一種 動態系統間，不同的表示法 可以互相等價轉換，現在我們先看個例子：

Example: Dynamic System to Transfer function
考慮下列動態系統微分方程
\[
\frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} + 6\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy}}{{dt}} - 4y = u\left( t \right) + 2\frac{{du\left( t \right)}}{{dt}}
\] 那麼我們可以對其取拉式轉換(Laplace Transform) $\mathcal{L}(\cdot)$ 來求取轉移函數，亦即
\[\begin{array}{l}
{{\cal L}}\left\{ {\frac{{{d^3}y}}{{d{t^3}}} + 6\frac{{{d^2}y}}{{d{t^2}}} + 5\frac{{dy}}{{dt}} - 4y} \right\} = {{\cal L}}\left\{ {u\left( t \right) + 2\frac{{du\left( t \right)}}{{dt}}} \right\}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{s^3}Y\left( s \right) - {s^2}y\left( 0 \right) - s{y^{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right) - {y^{\left( 2 \right)}}\left( 0 \right)\\
 + 6\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - {y^{\left( 1 \right)}}\left( 0 \right)} \right)\\
 + 5\left( {sY\left( s \right) - y\left( 0 \right)} \right) \\
- 4Y\left( s \right)
\end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{l}
U\left( s \right)\\
 + 2\left( {sU\left( s \right) - u\left( 0 \right)} \right)
\end{array} \right\}
\end{array}
\] 上述中 $s$ 表示 微分器；反之 $s^{-1}$ 稱之為積分器。

現在考慮 $y^{(k)} =0, \forall k =0,1,2,...$ 且 $u(0) =0$ 亦即我們考慮整個動態系統的初始狀態為休止 (initially at rest)，且亦無初始控制力，則上述拉式轉換式可得
\[\begin{array}{l}
{s^3}Y\left( s \right) + 6{s^2}Y\left( s \right) + 5sY\left( s \right) - 4Y\left( s \right) = U\left( s \right) + 2sU\left( s \right)\\
 \Rightarrow \left( {{s^3} + 6{s^2} + 5s - 4} \right)Y\left( s \right) = \left( {1 + 2s} \right)U\left( s \right)\\
 \Rightarrow \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{ 2s + 1}}{{{s^3} + 6{s^2} + 5s - 4}}
\end{array}
\] 我們稱上述 $H(s) := \frac{Y(s)}{U(s)}$ 為轉移函數 transfer function。接著除了 轉移函數表示法之外，我們亦可將其用矩陣的方式表示：這邊僅簡單介紹可控典型式(controllable canonical form)：
考慮上述轉移函數
\[H\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{1 + 2s}}{{{s^3} + 6{s^2} + 5s - 4}}\]可將其改寫為以下狀態空間模型
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1&0\\
0&0&1\\
4&{ - 5}&{ - 6}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0\\
0\\
1
\end{array}} \right]u\\
y = Cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}}\\
{{x_2}}\\
{{x_3}}
\end{array}} \right]
\end{array} \right.\]

Comments:
1. 一般在 MATLAB中，建構轉移函數可以使用 tf(NUM,DEN) 指令，其中 NUM 表示分子係數，DEN表示分母係數：以上例而言，轉移函數透過 MATLAB 建構為

tf( [2 1], [1 6 5 -4])

2. 在MATLAB 中，如果已知轉移函數欲將其轉換到狀態空間模型 (亦即 欲得到 $A,B,C,D$ 矩陣) 有一個非常簡便的指令：[A,B,C,D] = tf2ss(NUM,DEN)



有了上述例子之後我們可以回頭看看 如何從 狀態空間模型 來 求得 轉移函數：

State-Space Method to Transfer Function

現在我們考慮狀態空間模型：
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu\\
y = Cx + Du
\end{array} \right.
\]其中 $x$ 為 $n \times 1$狀態變數向量，$u$ 為 $m \times 1$ 控制力向量，$y$ 為 $r \times 1$ 輸出向量，$A$為 $n \times n$ 矩陣，$B$ 為 $n \times m$ 矩陣， $C$ 為 $r \times n$ 矩陣，$D$ 為 $r \times m $矩陣。

對上式取拉式轉換 $\cal{L}(\cdot)$ 並令初值為零，則可得
\[\left\{ \begin{array}{l}
sX\left( s \right) = AX\left( s \right) + BU\left( s \right)\\
Y\left( s \right) = CX\left( s \right) + DU\left( s \right)
\end{array} \right.
\]現在整理上式可得
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {sI - A} \right)X\left( s \right) = BU\left( s \right)\\
Y\left( s \right) = CX\left( s \right) + DU\left( s \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
X\left( s \right) = {\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}BU\left( s \right)\\
Y\left( s \right) = CX\left( s \right) + DU\left( s \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow Y\left( s \right) = C{\left( {sI - A} \right)^{ - 1}}BU\left( s \right) + DU\left( s \right)\\
 \Rightarrow Y\left( s \right) = \left[ {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B + D} \right]U\left( s \right)\\
 \Rightarrow \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \underbrace {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B + D}_{H\left( s \right)}
\end{array}
\]上述 $H(s)$ 即為轉移函數

且注意到
\[ \Rightarrow \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \underbrace {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B + D}_{H\left( s \right)} = C\frac{{adj\left( {sI - A} \right)}}{{\det \left( {sI - A} \right)}}B + D\]故 轉移函數 $H(s)$ 的分母等於 $\det (sI-A)$ 亦即 $\det(sI-A)=0$為系統特徵方程；且 $H(s)$ 的 pole 等於 $A$ 矩陣的 特徵值(eigenvalue)。


Comments:
1. 對線性動態系統而言，狀態空間表示法並非唯一 (故選取的 $A,B,C,D$ 矩陣稱為轉移函數的 實現 realization)。

2. 轉移函數 $H(s)$ 為唯一。亦即轉移函數具備不變性 (invariant).

3. 若 轉移函數 $H(s)$ 分母階數 $\ge$ 分子階數，我們稱此轉移函數為 proper。若 分母階數 $>$ 分子階數，則稱此轉移函數為 strictly proper。若 分母階數 $<$ 分子階數，稱此轉移函數為 improper。同理我們可直接對矩陣形式做判斷
\[ \Rightarrow \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \underbrace {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B + D}_{H\left( s \right)}\]若 $D=0$，則 $H(s)$ 為 stirctly proper ；若 $D \neq  0$ 則 $H(s)$ 並非 strictly proper。

對於上述 comments 有興趣的讀者請閱讀
 [線性系統] Realization Theory and Non-singular Transformation

Example 1.: The simplest improper transfer function
\[
H(s) = s
\]亦即，若轉移函數為一 微分器 ，則此時分母為常數 $1$，階數為0階 小於 分子 $s$ 的一階。故為 improper transfer function。

Example 2
考慮系統
\[\left\{ \begin{array}{l}
\dot x = Ax + Bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 0.1}&1\\
0&{ - 1}
\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right]u\\
y = Cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0
\end{array}} \right]x
\end{array} \right.
\](a) 試求 系統輸入輸出轉移函數。
(b) 若 $y(t) = 1 - {e^{ - t}}$ 且 $x(0)=0$ 試求對應的 $u(t)$。
Solution
(a):
\[\begin{array}{l}
\frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \underbrace {C{{\left( {sI - A} \right)}^{ - 1}}B + D}_{H\left( s \right)}\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0
\end{array}} \right]{\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
s&0\\
0&s
\end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 0.1}&1\\
0&{ - 1}
\end{array}} \right]} \right)^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right] + 0\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0
\end{array}} \right]{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{s + 0.1}&{ - 1}\\
0&{s + 1}
\end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0
\end{array}} \right]\frac{1}{{\left( {s + 0.1} \right)\left( {s + 1} \right)}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{s + 1}&1\\
0&{s + 0.1}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
1
\end{array}} \right]\\
\begin{array}{*{20}{c}}
{}&{}&{}&{}
\end{array} = \frac{{s + 2}}{{\left( {s + 0.1} \right)\left( {s + 1} \right)}}
\end{array}\]
(b)：由於 $y(t) = 1 - \frac{10}{9} e^{-t} + \frac{1}{9} e^{-10t}$ 對此取拉式轉換可得
\[y(t) = 1 - {e^{ - t}} \Rightarrow Y\left( s \right) = \frac{1}{s} - \frac{1}{{s + 1}}\]故由輸入與輸出關係
\[\begin{array}{l}
H\left( s \right) = \frac{{Y\left( s \right)}}{{U\left( s \right)}} = \frac{{s + 2}}{{\left( {s + 0.1} \right)\left( {s + 1} \right)}} \Rightarrow Y\left( s \right) = \frac{{s + 2}}{{\left( {s + 0.1} \right)\left( {s + 1} \right)}}U\left( s \right)\\
 \Rightarrow \frac{1}{s} - \frac{1}{{s + 1}} = \frac{{s + 2}}{{\left( {s + 0.1} \right)\left( {s + 1} \right)}}U\left( s \right)\\
 \Rightarrow U\left( s \right) = \frac{{\left( {s + 0.1} \right)\left( {s + 1} \right)}}{{s\left( {s + 2} \right)}} - \frac{{s + 0.1}}{{s + 2}}
\end{array}\]再取反拉式轉換即可求得所需結果。