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[測度論] $\mathbb{R}$ 上的外測度

令 $A \subset \mathbb{R}^*$ ,定義 outer measure $m^*: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to [0,\infty]$ 滿足 \[{m^*}(A): = \mathop {\inf }\limits_{A \subset \bigcup\limits_j^{} {\left[ {{a_j},{b_j}} \right]} } \sum\limits_j^{} {\left( {{b_j} - a_j^{}} \right)} \] 以下我們檢驗幾個性質 Property of Outer Measure on R: 1. $m^*(\emptyset) = 0$ 2. Monotonicity : 若 $A \subset B$ 則 $m^*(A) \subset m^*(B)$ 3. Subadditivity : $m^*(\cup_j^\infty A_j) \leq \sum_j^\infty m^*(A_j)$ Proof: 1. 取 $A:= \emptyset$ 則任意區間必定涵蓋 $\emptyset$,故 $m^*(\emptyset) = 0$。 2. 若 $A \subset B$ 則存在一組區間 $I_{j} := [a_{j}, b_{j}]$, $j=1,2...$  使得 $A \subset B \subset \cup_{j=1}^\infty [a_{j}, b_{j}]$,故由定義可知 $m^*(A) \subset m^*(B)$。 3. 首先觀察 $m^*(A_j)$ 定義中有 infimum,故給定 $\varepsilon>0$ 可知必定存在一組區間 $I_{j,k} := [a_{j,k}, b_{j,k}]$, $k=1,2...$  使得 $A_j \subset \cup_{k=1}^\infty [a_{j,k}, b_{j,k}]$ \[ \sum\limits_k^{} {\left( {{b_{j,k}} - a_{j,k}^{}} \right)}  < {m^*}(A_j) + \frac{\varepsilon}{10^j} \]由此可知 \[ \sum\limits_{j,k}^{} {

[數學分析] MVT應用:$\sin(x)$ 上界為 $x$

回憶我們在微積分或者高等微積分中,對於連續且可導函數的一個重要結果:均值定理。 ================ 均值定理 (Mean Value Theorem, MVT): 若函數 $f$ 在 閉區間 $[a,b]$ 連續  且 在開區間 $(a,b)$ 上可導,則存在 $c \in (a,b)$ 使得 \[ f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) \]================ 現在我們來看一個 MVT 很棒的應用,可以幫助我們找到 $\sin(x)$ 除了 $1$ 以外 稍微更細緻的上界 ($ x $ 夠小的時候)。 ========== FACT: 若 $x \in \mathbb{R}$ 且 $x \geq 0$ 則 $\sin(x) \leq x$。 ========== Proof: 以下我們分幾個 case討論: CASE 1:  首先觀察當 $x = 0$,則 $\sin(0)  = 0 \leq 0$ 自動成立。 CASE 2:  當 $0 < x < 1$ ,令 $f(t) := \sin(t)$ 則對任意 $t \in \mathbb{R}$, $f$ 為 連續且可導,故 $f$ 在 $(0,x)$ 區間亦為可導。由 MCT 可知 存在 $c \in (0,x)$ 我們有 \[ f(x) - f(0) = f'(c) (b-a) \Rightarrow \sin(x) - 0 =  \cos(c) x \]換言之,我們有 \[ \cos(c) x = \sin(x) \]由於 $|\cos(.)| \leq 1$ 故 $\sin(x) \leq x$。 CASE 3:  最後我們考慮 $x \geq 1$ 情況,由於 $|\sin(x)| \leq 1$ 故 當 $x\geq 1$ 時, \[ \sin(x) \leq x \]自動成立。至此得證。$\square$ Remarks: 上述結果可以進一步推廣,亦即我們不需要假設 $x$ 為非負:對任意 $x \in \mathbb{R}$, \[ |\sin(x)| \leq |x| \]證明雷同在此不做贅述。讀者可以試著證明看看。

[測度論] 非遞減函數必定可測

Claim:  令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 非遞減(nondecreasing)函數,則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$-measurable 其中 $ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel $\sigma$-algebra Proof: 令 $a\in \mathbb{R}$,並取開集 $E:= (a, \infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 。我們要證明 $f$ 可測,亦即要證明 \[ f^{-1}(E) = f^{-1}(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\} \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}} \]此等價證明 $f^{-1}(E)$ 為 $\mathbb{R}$ 上 interval 即可(因為所有 interval on $\mathbb{R}$ generates $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$)。故取 $c:= \inf f^{-1}(E)$ ,則我們僅需證明 \[ f^{-1}(E) = (c, \infty) \]  以下我們分兩種情況討論: Case 1:  若 $c \in f^{-1}(E)$ :首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$,則 $f(x) > a$,則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$,則對任意 $x \geq c$ 而言 ,由於 $f$ 為非遞減,我們知道 \[ f(x) \geq f(c) > a \]此表明 $x \in f^{-1}(E)$,故至此我們證得 \[ f^{-1}(E) = (c, \infty) \] Case 2: 若 $c \notin f^{-1}(E)$:首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$,則 $f(x) > a$,則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\s