[測度論] $\mathbb{R}$ 上的外測度

令 $A \subset \mathbb{R}^*$ ，定義 outer measure $m^*: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \to [0,\infty]$ 滿足
\[{m^*}(A): = \mathop {\inf }\limits_{A \subset \bigcup\limits_j^{} {\left[ {{a_j},{b_j}} \right]} } \sum\limits_j^{} {\left( {{b_j} - a_j^{}} \right)} \]

以下我們檢驗幾個性質

Property of Outer Measure on R:
1. $m^*(\emptyset) = 0$
2. Monotonicity: 若 $A \subset B$ 則 $m^*(A) \subset m^*(B)$
3. Subadditivity: $m^*(\cup_j^\infty A_j) \leq \sum_j^\infty m^*(A_j)$

Proof:
1. 取 $A:= \emptyset$ 則任意區間必定涵蓋 $\emptyset$，故 $m^*(\emptyset) = 0$。

2. 若 $A \subset B$ 則存在一組區間 $I_{j} := [a_{j}, b_{j}]$, $j=1,2...$  使得 $A \subset B \subset \cup_{j=1}^\infty [a_{j}, b_{j}]$，故由定義可知 $m^*(A) \subset m^*(B)$。

3. 首先觀察 $m^*(A_j)$ 定義中有 infimum，故給定 $\varepsilon>0$ 可知必定存在一組區間 $I_{j,k} := [a_{j,k}, b_{j,k}]$, $k=1,2...$  使得 $A_j \subset \cup_{k=1}^\infty [a_{j,k}, b_{j,k}]$
\[
\sum\limits_k^{} {\left( {{b_{j,k}} - a_{j,k}^{}} \right)}  < {m^*}(A_j) + \frac{\varepsilon}{10^j} \]由此可知
\[
\sum\limits_{j,k}^{} {\left( {{b_{j,k}} - a_{j,k}^{}} \right)}  < \sum\limits_j^{} {\left( {{m^*}(A_j) + \varepsilon } \right)}  = \sum_j^\infty {m^*}(A_j) + \varepsilon \sum\limits_j^{} {\left( {\frac{1}{{{{10}^j}}}} \right)}
\]注意到區間 $I_{j,k}$, $j,k=1,2,...$ 涵蓋 $\cup_j A_j$，亦即
\[ \cup _j^\infty {A_j} \subset \bigcup\limits_{j,k}^{} {\left[ {{a_{j,k}},{b_{j,k}}} \right]}
\]故由前述的性質2 (Monotonicity)，
\[{m^*}( \cup _j^\infty {A_j}) \leqslant \sum\limits_{j,k}^{} {\left( {{b_{j,k}} - a_{j,k}^{}} \right)}  < \sum_j^\infty {m^*}(A_j) + \varepsilon \sum\limits_j^{} {\left( {\frac{1}{{{{10}^j}}}} \right)} \]由於 $\varepsilon$ 為任取，讓 $\varepsilon \to 0$ 我們有
$$m^*(\cup_j^\infty A_j) \leq \sum_j^\infty m^*(A_j)$$即為所求。$\square$


Remarks:
上述的性質可以用來定義外測度對任意空間可以給出更為一般的(公理化)定義如下：

Definition: Abstract Outer Measure
我們說 $\mu^*: \mathcal{P}(X) \to [0,\infty]$ 為 abstract outer measure on $X$若下列條件成立
1. $m^*(\emptyset) = 0$
2. Monotonicity: 若 $A \subset B$ 則 $m^*(A) \subset m^*(B)$
3. Subadditivity: $m^*(\cup_j^\infty A_j) \leq \sum_j^\infty m^*(A_j)$

[數學分析] MVT應用：$\sin(x)$ 上界為 $x$

回憶我們在微積分或者高等微積分中，對於連續且可導函數的一個重要結果：均值定理。

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均值定理 (Mean Value Theorem, MVT):
若函數 $f$ 在 閉區間 $[a,b]$ 連續  且 在開區間 $(a,b)$ 上可導，則存在 $c \in (a,b)$ 使得
\[
f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)
\]================

現在我們來看一個 MVT 很棒的應用，可以幫助我們找到 $\sin(x)$ 除了 $1$ 以外 稍微更細緻的上界 ($ x $ 夠小的時候)。

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FACT: 若 $x \in \mathbb{R}$ 且 $x \geq 0$ 則 $\sin(x) \leq x$。
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Proof: 以下我們分幾個 case討論：
CASE 1: 首先觀察當 $x = 0$，則 $\sin(0)  = 0 \leq 0$ 自動成立。

CASE 2: 當 $0 < x < 1$ ，令 $f(t) := \sin(t)$ 則對任意 $t \in \mathbb{R}$， $f$ 為 連續且可導，故 $f$ 在 $(0,x)$ 區間亦為可導。由 MCT 可知 存在 $c \in (0,x)$ 我們有
\[
f(x) - f(0) = f'(c) (b-a) \Rightarrow \sin(x) - 0 =  \cos(c) x
\]換言之，我們有
\[
\cos(c) x = \sin(x)
\]由於 $|\cos(.)| \leq 1$ 故 $\sin(x) \leq x$。

CASE 3: 最後我們考慮 $x \geq 1$ 情況，由於 $|\sin(x)| \leq 1$ 故 當 $x\geq 1$ 時，
\[
\sin(x) \leq x
\]自動成立。至此得證。$\square$


Remarks:
上述結果可以進一步推廣，亦即我們不需要假設 $x$ 為非負：對任意 $x \in \mathbb{R}$，
\[
|\sin(x)| \leq |x|
\]證明雷同在此不做贅述。讀者可以試著證明看看。

[測度論] 非遞減函數必定可測

Claim: 令 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為 非遞減(nondecreasing)函數，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_{\mathbb{R}},\mathcal{B}_{\mathbb{R}})$-measurable 其中 $ \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 為 Borel $\sigma$-algebra

Proof:
令 $a\in \mathbb{R}$，並取開集 $E:= (a, \infty) \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ 。我們要證明 $f$ 可測，亦即要證明
\[
f^{-1}(E) = f^{-1}(a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) > a\} \in \mathcal{B}_{\mathbb{R}}
\]此等價證明 $f^{-1}(E)$ 為 $\mathbb{R}$ 上 interval 即可(因為所有 interval on $\mathbb{R}$ generates $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$)。故取 $c:= \inf f^{-1}(E)$ ，則我們僅需證明
\[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]  以下我們分兩種情況討論：
Case 1: 若 $c \in f^{-1}(E)$ ：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(c) > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]

Case 2: 若 $c \notin f^{-1}(E)$：首先證明 $\subset :$ 取 $x \in f^{-1}(E)$，則 $f(x) > a$，則此 $x \geq c$ by infimum 性質。接著我們證明 $\supset$: 取 $x \in (c, \infty)$，則對任意 $x \geq c$ 而言 ，必定存在 $y \in f^{-1}(E)$ 使得 $x > y \geq c $。由於 $f$ 為非遞減，我們知道
\[
f(x) \geq f(y)  > a
\]此表明 $x \in f^{-1}(E)$，故至此我們證得 \[
f^{-1}(E) = (c, \infty)
\]
由上述兩類情況總結可知 $f^{-1}(a,\infty) = (c, \infty) $ interval，故其必定為 Borel measurable 且 $f$ is Borel measurable。$\square$