[測度論] 連續函數必定可測

令 $X,Y$ 為 metric space，定義 $\mathcal{B}_X$ 與 $\mathcal{B}_Y$ 為其上的 Borel $\sigma$-algebra (generated by some open sets)。

Claim: $f:X \to Y$ 為連續函數 on $X$，則 $f$ 為 $(\mathcal{B}_X, \mathcal{B}_Y)$-measurable。

Proof: 令 $E \in \mathcal{B}_Y$，我們要證明 $f^{-1}(E) \in \mathcal{B}_X $。注意到若 $E$ 為 任意 set generates $\mathcal{B}_Y$; e.g., $E$ be open set，則由連續函數性質可知 $f^{-1}(E)$ 亦為 open ，故 $f^{-1}(E) \in \mathcal{B}_X$。$\square$

[凸分析] 任意遞增函數為 quasiconcave 與 quasiconvex

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Theorem:
令 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 為遞增函數，則 $f$ 同時為 quasiconcave 與 quasiconvex。
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Proof:
考慮 $x,y \in \mathbb{R}$ 且 $\lambda \in (0,1)$，在不失一般性情況我們假設 $x>y$，則
\[
x > \lambda x + (1-\lambda)y > y
\]因為 $f$ 遞增，我們有
\[
f(x) > f( \lambda x + (1-\lambda)y) > f(y) \;\;\;\; (**)
\]由上述不等式，我們可寫
 $$
f(x) = \max\{f(x),f(y)\}
$$故由第一部分的不等式，我們有
\[
 \max\{f(x),f(y)\} > f( \lambda x + (1-\lambda)y)
\]此表明 $f$ 為 quasiconvex。

同理，由 $(**)$ 我們亦可寫下
\[
f(y) := \min\{f(x),f(y)\}
\]故由第二部分的不等式，我們有
\[
 f( \lambda x + (1-\lambda)y) >\min\{f(x),f(y)\}
\]此表明 $f$ 為 quasiconcave 至此證明完畢。$\square$