[隨筆] A+焦慮的世代

接住A+世代學生

當了老師之後發現要"接住"學生確實不容易，撇開老師自身可能也有需要被接住的問題不談。我這幾年常常感受到這世代的學生們有著很大的徬徨，不太清楚未來的方向，但是卻有著非得要拿到A/A+不可的糾結，於是課優先選甜涼課，實習競賽投好投滿。好像看著同學做了些什麼，自己也要趕快跟上，深怕落後。想到很多年前讀過的太傻十日談，裡面提到許多跟現在當前學生們的焦慮幾乎如出一徹。

對我而言，拿A+大概意思是對於該科目"學得還行"，對於內容掌握了一定的基礎，但並非完全精通該課程。學海無崖，正如聖經哥林多前書8:2 説到：

若有人以為自己知道什麼，按他所當知道的，他仍是不知道---哥林多前書8:2

這也是我常常提醒我自己的一句話。身為老師總是希望學生們別讓分數成為唯一的目標，能更深入地去理解和應用所學知識。這樣的觀點也許不符合學生的"期待"，但這確實是我一直努力的方向。

職業與學術之間：適合比起優異更加重要

為什麼要拿A+? 或許是為了有漂亮成績單找工作/留學/申請研究所。但是這些知名公司/頂尖名校想要什麼樣的人選？難道是實習超多，獎項拿滿，GPA滿分的人才有機會嗎？我認為對於公司/名校而言真正重視的是想要找到"適合"的人，找到符合該職位或者學術需求的人。那麼適合那個職位的人到底需要些什麼技能我想才是需要被關注的地方。對於公司來說，他們往往重視應聘者能否在特定情況下解決實際問題，或者能否快速融入環境，快速學習。對於留學/申請研究所而言，展示自己具備研究能力，擁有學術熱誠的人，會遠比一張GPA滿分的成績單更具說服力。那麼這些能力該如何具體展示才是重點。

個人選擇 vs 個人夢想的不一致性：

很多人會說要找到自己喜歡的目標/領域，但是多數同學並不清楚自己喜歡的是什麼？有時候礙於家人環境同儕甚或經濟上的壓力，迫不得已折衷選了一條相對妥協的路。如果有機會，我常會建議：

選幾個至少不討厭的目標/領域試試看如何？

這是我常常跟不清楚未來的同學說的一句話，如果不知道自己要做什麼。至少選些"不討厭"的目標或者領域試試看。這可以讓你知道是否願意繼續深入還是提早退出。那麼該怎麼試？如果大學期間，除了本系之外的課程，涉獵自己有興趣的跨領域課程是一種方法，聽聽看各種學/業界的演講，參加有興趣的行業實習，參加社團/比賽也是一種方法，跟老師做做專題也是一種方法。八萬四千法門，選擇一種試試，時間允許的情況下，我想有心人永遠會找到一絲線索。但是永遠記得不是看別人做什麼就跟著做，而是先想清楚自己想要試試看什麼再做也不遲。

以終為始：動態規劃的最優解

如果把你想要的結果給你，你會不會愉快地接受？面對的每個決策，都有代價。確定目標之後，很多人可能會急著從現在開始一步步向目標前進，但是從現在的你看過去，可能的路線何其多，你怎麼知道哪條最正確呢？如果能練習從結果回推，往回看看前一小步所需的條件是什麼或許會更加有效。比如說你設立的一個長期目標：想出國留學，那麼前一步也許是決定領域？未來五年這個領域如何？哪所學校的研究方向更加適合？需要哪些語文能力/研究經驗／特定技能？每一步都從結果回推需求，這樣的動態規劃方式會讓你的前進方向更加具體更符合實際。

原則：尋找你自己

社群媒體的上的多數文章光鮮亮麗，滿手offer的貼文不免讓人稱羨，更甚者不免讓人失去自我，陷入攀比，但是年輕人，"你要保守你的心，勝過一切，因為一生的果效是由心發出的"--箴言4:32。別人的成功之路總是難以複製，那麼問問我們自己能不能勇敢走出屬於自己的路？

最後用詩人 Robert Frost 的 The Road Not Taken 作為結尾：

Two roads diverged in a wood, and I—I took the one less traveled by,
And that has made all the difference.

選擇一條少有人走的路，因為可能他帶給你最美的風景。並且譜寫成只屬於你的故事

後記：我大概有點資格談談這件事， 我本身研究橫跨隨機控制，優化理論與財務工程，走在這條路上的同行者寥寥。但是一路走來，我慶幸自己能有機會欣賞這條少有人走的道路以及沿途的特有風景。

[轉載] My University Is Better Than Your University

A funny gameplay: My University Is Better Than Your University

by Zizheng Fang

https://www.zizhengfang.com/tr?a=680&b=1277

[轉載] PhD Simulator by Mianzhi Wang

模擬讀博士的小遊戲 by Mianzhi Wang ，個人覺得蠻貼近真實世界的情況，推薦給有興趣的朋朋玩玩看(見以下連結)。

 PhD Simulator (wmz.ninja)

只要發三篇論文就可以畢業，我想應該不會太難 (？)

[隨筆] 指導教授的要求與省思

這一學期以來，我很幸運陸續有幾位碩士班同學表達有意願想找我當指導教授，我對每一位來訪的同學都表明如果想找我當指導教授的話需要有 (or 致力達成) 以下兩個條件：

1. 修習過 高等微積分 (or 數學分析或者等價的課程) 
2. 至少能使用一種程式語言(Matlab, Python, R, C,...)實現各種算法。

我對(碩士班)學生的畢業期許是至少有一篇我認可的領域內會議論文投稿。

我知道上述的要求(特別是條件1)對許多同學而言是極為*沈重*的負擔，因為學生們大多沒有接受過嚴格的數理論證訓練，也並不是每一位都志在學術，大多數同學也許更在乎的是找實習/找工作機會加入業界崗位，更在意的大多都不是碩士論文做了什麼題目，而是能不能準時畢業。我曾經也是學生，我想我大概可以體會這些同學的想法。

然而，另一方面，我是做*理論*研究的學者，我感興趣的研究領域(隨機系統與投資組合優化理論)中許許多多的研究確實需要使用各種 數學工具 與 數學論證的手法。領域內的研究工作者需要能大致讀懂領域內相關文獻，並據此發想可能的新研究主題，接著利用各種(數學/優化/統計)工具來解決這些問題。陳述自己的研究成果方法多半是以定義/定理/證明的形式或者 算法/證明/實證模擬結果。最後實證的部分需使用真實資料輔以程式來實現。如果沒有受過一些嚴格論證的訓練與洗禮以及一定的程式撰寫經驗，要達成上述目標幾乎是寸步難行，特別是論證這塊，除了高微這門課之外我實在很難找到更好的替代方案。

學生們感到(辛苦)困難，老師也感到困難。或許我應該再想想有沒有更好的解決方案？

相關閱讀：

彭明輝，2012，指導教授的角色與責任，清大彭明輝的部落格

[轉載] 錢本草-張說

錢味甘，大熱有毒，偏能駐顏，彩澤流潤，善療饑寒困戹之患，立驗。能利邦國，汙賢達，畏清廉。貪婪者服之，以均平為良，如不均平，則冷熱相激，令人霍亂。其藥采無時，采至非理則傷神。此既流行，能役神靈，通鬼氣。如積而不散，則有水火盜賊之災生；如散而不積，則有饑寒困厄之患至。一積一散謂之道，不以為珍謂之德，取與合宜謂之義，無求非分謂之禮，博施濟眾謂之仁，出不失期謂之信，入不妨己謂之智，以此七術精煉方可。久而服之，令人長壽；若服之非理，則弱誌傷神，切須忌之。

作者：唐  張說

譯文(編修版)

錢，味甜，性熱有毒，卻能預防衰老，駐容養顏。可以治療飢餓寒冷，解決困難，效果明顯。可以有利於國家和百姓，可以污損賢達，只是害怕清廉。貪婪之人服用以不過分為好，如果過度，則冷熱不均，引發霍亂。這味藥，沒有固定的採摘時節，無理採摘的使人精神損傷。如果只積攢不發散，會有水火盜賊等災難。如果只發散不積攢，會有饑寒困頓等禍患。一邊積攢一邊施財可稱為道，不把錢財當作珍寶稱為德，取得給予適宜稱為義，不求非份之財使用正當稱為禮，接濟大眾稱為仁，支出有度歸還有期稱為信，得錢財又不傷自己稱為智，用道，德，仁，義，禮，智，信這七種方法精鍊此藥，才可以長久地服用他。可以使人延年益壽，如果不這麼服用，則會智力減弱精神損傷，這點需要特別避免。

[機率論] 兩隨機變數相等表示兩者有相同分布但反之不然

Claim: 給定機率空間 \((\Omega, \mathcal{F}, P)\)，令\(X\)與\(Y\)為兩隨機變數。若 $P(X=Y)=1$ 則$X$與$Y$有相同分布，亦即對任意可測集合 $A \in \mathcal{F}$，

$$P(X \in A) = P(Y \in A)$$

Proof: 令$A \in \mathcal{F}$，我們觀察
$$
P(X\in A\cap X\neq Y)\leq P(X\neq Y)=0
$$ 故可推得 $P(X\in A\cap X\neq Y)=0$。利用此結果，我們注意到
$$
P(X\in A)=P(X\in A\cap X=Y)+\underbrace{P(X\in A\cap X\neq Y)}_{=0}=P(X\in A\cap X=Y)
$$ 同理我們亦可觀察 $P(Y\in A)=P(Y\in A\cap X=Y)$。注意到若我們可證明 $$P(X\in A\cap X=Y) = P(Y\in A\cap X=Y) \;\;\;\;\; (*)$$則 $$P(X\in A)=P(X\in A\cap X=Y)=P(Y\in A\cap X=Y)=P(Y\in A)$$即為所求。

現在我們回頭證明等式$(*)$。我們僅須證明下列事件集合等式關係成立 $$\{X\in A\cap X=Y\} = \{Y\in A\cap X=Y\} $$即可。首先證明 $\{X\in A\cap X=Y\} \subset \{Y\in A\cap X=Y\} $: 令 $\omega \in \{ X \in A\cap X=Y\}$ 即表明 $X(\omega) \in A$ 且 $X(\omega) = Y(\omega)$。 故我們可推得 $Y(\omega) \in A$ 故此，$\omega \in \{Y \in A\cap X=Y\}$。亦即$$\{X\in A\cap X=Y\} \subset \{Y\in A\cap X=Y\} $$ 同理不難證得 $\{X\in A\cap X=Y\} \supset \{Y\in A\cap X=Y\} $。故我們得到 $\{X\in A\cap X=Y\} = \{Y\in A\cap X=Y\} $至此證明完畢。$\square$

上述 Claim 的反面論述並不成立。以下我們給個反例：考慮均勻分布 $X$為隨機變數服從均勻分布 $U[-1,1]$ 現在取另一隨機變數 $Y:=-X$則 $Y$亦為在 $[-1,1]$上均勻分布，亦即 $X$與 $Y$具有同分布。然而

$$P(X = Y) = 0$$

[機率論] 一類含有supremum運算與期望值的不等式問題

令 $X,Y$ 為兩隨機變數定義在某機率空間 $(\Omega, \mathcal{B}, P)$ 且 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 為一連續函數。若對 $X$ 的實現 $X=x$ 而言 (亦即，存在 $\omega \in \Omega$ 使得 $X(\omega) = x$ )，我們顯然有 

$$\mathbb{E}[f(x,Y)] \leq \sup_x \mathbb{E}[f(x,Y)]$$ 

試問上述不等式左方若將 $x$ 換回隨機變數 $X$ 時仍然成立?亦即我們想問 $$\mathbb{E}[f(X,Y)] \leq ? \sup_x \mathbb{E}[f(x,Y)]$$

答案是否定的，我們看以下的反例：

Counterexample

考慮隨機變數 $X=Y$ 且 $P(X=1)=P(X=-1) = 1/2$ 且 $f(x,y) := xy$ 則我們可驗證 $$\mathbb{E}[f(X,Y)] = \mathbb{E}[X^2] = 1/2 + 1/2 = 1$$然而如果我們觀察 $$\mathbb{E}[f(1,Y)] = \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}[X] = 0$$ 另外 $$\mathbb{E}[f(-1,Y)] = \mathbb{E}[-Y] = -\mathbb{E}[X] = 0$$ 故 $\sup_x\mathbb{E}[f(x,Y)] = 0$但是 $$\sup_x\mathbb{E}[f(x,Y)] < \mathbb{E}[f(X,Y)]$$